高中數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)歸納法》同步檢測試卷與答案解析

選擇性必修二《4.4數(shù)學(xué)歸納法》同步檢測試卷

注意事項(xiàng)：

本試卷滿分100分，考試時(shí)間45分鐘，試題共16題.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色

簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、單選題

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項(xiàng)是a”公差是d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是S0=nai+

〃(31)d時(shí),假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),

公式成立，則&=()

2

Z(q+日)

A.ai+(k—1)dB.

2

k(k—1)/,、k(k+1)

C.kaH--------dD.(k+l)aH--------d

22

2.已知f(n)=4+」T+—^+???-4，貝lj()

nH+1〃+2n~

A.f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=L+』

23

B.f(n)中共有n+1項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=1---1—

234

C.f(n)中共有胡一n項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)--+-

23

D.f(n)中共有n°—n+1項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)——+—+—

234

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明n+(n+l)+(n+2)+…+(3n—2)=(2n—l)“neN*)時(shí)，若記f(n)

=n+(n+1)+(n+2)+…+(3n—2),則f(k+1)—f(k)等于()

A.3k-1B.3k+lC.8kD.9k

4.證明等式J+22+32+…+r?=++seN*)時(shí),某學(xué)生的證明過程如下：

6

①…當(dāng)n=l時(shí)，_1x2x3等式成立；

6

②假設(shè)n=k(k￡N*)時(shí)，等式成立，

%(攵+1)(22+1)

即l2+22+32+-+k2=———-----則當(dāng)n=k+l時(shí)，

l2+22+32+-+k2+(k+l)2

=-+(k+D2

6

_伏+1)[Z(2Z+1)+6(Z+1)]

6

(k+1)[2k2+7k+6]

6

伏+1)[(Z+1)+1][2(Z+1)+1]

=6，

所以當(dāng)n=k+l時(shí)，等式也成立，故原式成立.

那么上述證明()

A.過程全都正確

B.當(dāng)n=l時(shí)驗(yàn)證不正確

C.歸納假設(shè)不正確

D.從n=k到n=k+l的推理不正確

5.已知1+2X3+3X32+4X33〉---FnX3nr=3n(na—b)+c對一切n￡N*都成立，那么

a,b,c的值為()

111

A.a=—，b=c=—B.a=b=c=—

244

1

C.a=0,b=c=—D.不存在這樣的a,b,c

4

6.用數(shù)學(xué)歸納法證明3n2n3(n23,n￡N*),第一步驗(yàn)證()

A.n=lB.n=2C.n=3D.n=4

7.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+；+；+“?+京。(侖2,13*)的過程中，由n=k變到n=k+l

23211—11

時(shí)，左邊增加了()

A.1項(xiàng)B.k項(xiàng)C.2k-1項(xiàng)D.2k項(xiàng)

8.觀察下列式子：1+/<g,l+/+"<g，1+/+"+好<：’…’則可歸納出

,111

FLr西小于，)

n2/1-12n+l2n

A.B.C.D.

n+\71+1〃+l〃+l

二、多選題

9.一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n=2時(shí)命題成立,且由n=k時(shí)命題成立可以推得n=k+2時(shí)

命題也成立,則下列說法正確的是（）

A.該命題對于n=6時(shí)命題成立

B.該命題對于所有的正偶數(shù)都成立

C.該命題何時(shí)成立與k取值無關(guān)

D.以上答案都不對

10.在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學(xué)文化是其中的一朵絢麗的奇葩.《張丘建算經(jīng)》是

我國古代有標(biāo)志性的內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學(xué)名著之一，大約創(chuàng)作于公元五世紀(jì).書中有如下

問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？”.其

大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多

織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個(gè)月共織了九匹三丈，問從第二天起，每天比前一天

多織多少尺布？”.已知1匹=4丈，1丈=10尺，若這一個(gè)月有30天，記該女子這一個(gè)

月中的第〃天所織布的尺數(shù)為4,2=2〃”，對于數(shù)列｛4｝、｛bn｝,下列選項(xiàng)中正確的

為（）

A.々0=84B.也,｝是等比數(shù)列

%+%+%_209

C.哂0=105

?。2+%+。6193

11.意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，

斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列｛%｝滿足：q=l,。2=1，

%=%+a,,_2（n>3,n&N^.若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子

的邊長為1,記前“項(xiàng)所占的格子的面積之和為S,，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成

的扇形面積為，則下列結(jié)論正確的是（）

B.q+。2+。3+???+="”+2—1

C.4+。3+〃5+?一+。2〃-1=%〃-1D-4（c?-c?_l）=^?_2-a?+l

12.用數(shù)學(xué)歸納法證明之二！〉」一對任意〃，左WN)的自然數(shù)都成立，則以下滿足

2"+1?+1

條件的人的值為()

A.1B.2C.3D.4

三、填空題

13.用數(shù)學(xué)歸納法證明"當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，x"+y"能被x+y整除"，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n=2k

-1(k《N*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n=_一時(shí)，命題亦真.

14.用數(shù)學(xué)歸納法證明"當(dāng)n6N*時(shí)，求證：1+2+22+2'+…+22’是31的倍數(shù)”時(shí)，當(dāng)

n=l時(shí)，原式為,從n=k到n=k+l時(shí)需增添的項(xiàng)是.

16.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“兩兩相交且不共點(diǎn)的n條直線把平面分為f(n)部分，則f(n)=

1+絲”.”證明第二步歸納遞推時(shí)，用到f(k+l)=f(k)+

2

16.用數(shù)學(xué)歸納法證明+；+???+[-—=—+上+…+；時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證的等式

2342n-l2nn+1n+22n

是;從“n=k”到“n=k+l”左邊需增加的等式是.

四、解答題

17.設(shè)f(n)=l+L+1-|-1--(nSN*).

23n

求證：f(1)+f(2)4---l-f(n—1)=n[f(n)—1](n>2,n￡N*).

==

18.已知數(shù)列｛%｝中，ai1,an+i"―(nGN).

1+4

(1)計(jì)算a2,8L3>HI；

(2)猜想a0的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

19.已知數(shù)列⑸｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足ai=l,a?+i=-a?(4—a?),nGN*.證明a,Va“+i

2

<2(nGN*).

20.平面內(nèi)有n(n22)個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一

點(diǎn)，記這n個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(n),猜想f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

二，、1111,、31.

20.已知f(n)=lH—^+工-|—-H--1—7,g(〃)=--------<nGN.

233343/7322n2

(1)當(dāng)n=l,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系；

(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明.

21.已知數(shù)列也｝中，S”是｛"，，｝的前〃項(xiàng)和且S.是2a與-2〃。,的等差中項(xiàng)，其中a是

不為°的常數(shù).

(1)求“嗎，％.

(2)猜想4的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

22.觀察下列等式：

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

按照以上式子的規(guī)律：

(1)寫出第5個(gè)等式，并猜想第個(gè)等式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第〃(〃eN*)個(gè)等式成立.

答案解析

一、單選題

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項(xiàng)是小，公差是d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是S0=na—

時(shí),假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，公式成立，則Sk=()

2

,、k(a,+a..)k(k-l),、&(Z+l)

A.ai+(k-l)dB.——C.ka,+———-dD.(k+l)a,+———-d

222

【答案】C

【解析】假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，公式成立，只需把公式中的n換成k即可，即Sk=kai+

—

-------d.

2

2.已知f(n)——I----1-------1-----，則()

nH+1n+2n~

A.f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n=2E^,f(2)=g+?

23

B.f(n)中共有n+1項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=-+-+-

234

C.f(n)中共有n?—n項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=—+-

23

D.f(n)中共有r?—n+1項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=—+—+—

234

【解析】選D由f(n)可知，f(n)中共有r?-n+1項(xiàng)，且n=2EI寸，f(2)=~+—+—

234

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明n+(n+l)+(n+2)+…+(3n—2)=(2n—l)2(n￡N*)時(shí)，若記f(n)

=n+(n+1)+(n+2)+…+(3n—2),則f(k+1)—f(k)等于()

A.3k-1B.3k+lC.8kD.9k

【答案】C

【解析J因?yàn)槲鰇)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k—2),

f(k+1)=(k+1)+(k+2)+???+(3k-2)+(3k-l)+3k+(3k+l),則f(k+l)-f(k)=

3k-l+3k+3k+l-k=8k.

4.證明等式『+22+32+…+r?=++geN*)時(shí),某學(xué)生的證明過程如下：

6

—_1x2x3

①當(dāng)n=l時(shí)，1-=---------,等式成立；

6

②假設(shè)n=k(k￡N*)時(shí)，等式成立，

2k(k+1)(2%+1)

即l2+22+32+-+k2=-----------------則當(dāng)n=k+l時(shí)，

6

l2+22+32+-+k2+(k+l)2

妖氏+1)(2氏+1)」—2

=------------------------1-(k+1)

6

_伏+1)伏(2攵+1)+6伏+1)]

6

(%+1)[2女2+7女+6]

6

伏+1)[(攵+1)+1][2(%+1)+1]

6，

所以當(dāng)n=k+l時(shí)，等式也成立，故原式成立.

那么上述證明()

A.過程全都正確

B.當(dāng)n=l時(shí)驗(yàn)證不正確

C.歸納假設(shè)不正確

D.從11=1＜到11=卜+1的推理不正確

【答案】A

【解析】通過對上述證明的分析驗(yàn)證知全都正確，故選A.

5.已知1+2X3+3X32+4X33H---FnX3i=3"(na—b)+c對一切nWN-都成立，那么

a,b,c的值為（）

1

A.a=_,b=c=-B.a=b=c=-

244

C.a=0,b=c=—D.不存在這樣的a,b,c

4

【答案】A

【解析】令n=l,2,3,

1=3(a-Z?)+c,

得v1+2x3=32(2a—Z?)+c,

1+2X3+3X3~=3,(3d-b)4~c.

3a-3b+c=1,

即<18。-9b+c=7,

81Q-27〃+C=34,

〃”口1II

解得a=一,b=—,c=—.

244

6.用數(shù)學(xué)歸納法證明3n2n3（n23,n￡N*）,第一步驗(yàn)證（）

A.n=lB.n=2C.n=3D.n=4

【答案】C

【解析】由題知,n的最小值為3,所以第一步驗(yàn)證n=3時(shí)不等式是否成立.

7.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+=+:+—+47。（11》2,116碼）的過程中，由n=k變到n=k+l

23211—1

時(shí)，左邊增加了（）

A.1項(xiàng)B.k項(xiàng)C.2kT項(xiàng)D.2k項(xiàng)

【答案】D

【解析】當(dāng)n=k時(shí),不等式左邊的最后一項(xiàng)為六,而當(dāng)n=k+l時(shí),最后一項(xiàng)為方三=

2-1Z1

并且不等式左邊和式每一項(xiàng)分母的變化規(guī)律是每一項(xiàng)比前一項(xiàng)加1，故增加了2k

2K—1+2K

項(xiàng).

8.觀察下列式子：1+>vT，1+級+?<1，1+了"+?+不則可歸納出

111

1+齊+系+…+詢7小于（)

n2n-l2〃+12n

A.B.-----C.-----D.----

〃+lH+l〃+l

【答案】C

【解析】由已知式子可知所猜測分式的分母為〃+1,分子第〃+1個(gè)正奇數(shù)，即2〃+1,

11112"+1

???1+齊+系+???+而了〈百.故選：C.

二、多選題

9.一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,當(dāng)n=2時(shí)命題成立,且由n=k時(shí)命題成立可以推得n=k+2時(shí)

命題也成立，則下列說法正確的是（）

A.該命題對于n=6時(shí)命題成立

B.該命題對于所有的正偶數(shù)都成立

C.該命題何時(shí)成立與k取值無關(guān)

D.以上答案都不對

【答案】AB

【解析】由n=k時(shí)命題成立可以推出n=k+2時(shí)命題也成立,且n=2時(shí),命題成立,故對所有的

正偶數(shù)都成立.故選AB.

10.在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學(xué)文化是其中的一朵絢麗的奇葩.《張丘建算經(jīng)》是

我國古代有標(biāo)志性的內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學(xué)名著之一，大約創(chuàng)作于公元五世紀(jì).書中有如下

問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？”.其

大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多

織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個(gè)月共織了九匹三丈，問從第二天起，每天比前一天

多織多少尺布？”.已知1匹=4丈，1丈=10尺，若這一個(gè)月有.30天，記該女子這一個(gè)

月中的第〃天所織布的尺數(shù)為%,勿=2""，對于數(shù)列｛〃“｝、｛2｝,下列選項(xiàng)中正確的

為（）

A.々0=8優(yōu)B.{〃}是等比數(shù)列

/+%+%_209

C.4%=105

。2++。6193

【答案】BD

【解析】由題意可知，數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛q｝的公差為d,6=5,

由題意可得30q+30x；9"=390,解得d=

“q+(…二則/

b2"同

Qd=2"”，二3==2""「?！?2”(非零常數(shù))，

b”2冊

則數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列，B選項(xiàng)正確；

v5J=5x—=—^3,等=(2,丫=25、23,.?./,#8a，A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

29294

%。=%+291=5+16=21,.?.她0=5x221>105,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

g=q+3"=5+3x3=.—q+4d=5+4x幺變

412929512929

d+4+兄3aa209

所以，-一-一^=尸=上==7，。選項(xiàng)正確.故選：BD

a2+a4+ab34%193

11.意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，

斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列｛4｝滿足：弓=1,%=1，

%=a,i+a“_2(〃N3,"eN*).若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子

的邊長為1,記前〃項(xiàng)所占的格子的面積之和為S“，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成

的扇形面積為C,,,則下列結(jié)論正確的是(

A.B.4+。2+4+,??+?！??！?2-1

C.4+%+〃5+,??+儀2〃一］=—1D.4（%—。,1）=乃％_2y“+|

【答案】ABD

【解析】對于A選項(xiàng)，因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列總滿足“-2（〃N3,〃eN*），

所以a：=%%,

cLy=a^a）—（^3q）~a5c%—612al，

9

ci2t=cicely—a、（ciqcLy）—■ci2a4—a?。2

類似的有，=anan=an（4用一。,一）=anan+i-anan_x,

累加得a：+?2+a：-1---Han=an'an+\>

由題知S“+|=a；+a；+a；+?..+a：+a^l+l=a?+i-all+2=a；l+l+an+l-an,

故選項(xiàng)A正確，

對于B選項(xiàng)，因?yàn)閝=q,。2=%一4，4=%-%，

類似的有a“=%+「a,i，

累加得力+%+/+…+%=4+??+|-?2=4+2-1，

故選項(xiàng)B正確，

對于C選項(xiàng)，因?yàn)?=4，%=。4-。2，%=。6-。4，

類似的有a2n-i—a2n~O2n-2>

累加得4+生+…+4,1=4+?2?-?2=ain，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

對于D選項(xiàng)，可知扇形面積％=工孑，

故4（?！耙蝗鏮|）=4=乃（4；一。3）="4-2乜用,

I44J

故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.

12.用數(shù)學(xué)歸納法證明'三>一\對任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足

條件的Z的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】CD

【解析】取〃=1,則馬二2"-1〉一Ln不成立;

2+1371+122"+1〃+1

2"-13n_22"-1

則>—不成立;

取〃=2,Z,-

2+15〃+132"+1M+1

2"-17n_3匕1>.成立;

取〃=3,則

2"+19〃+142"+1〃+1

2"-115/?42n-1

取〃=4,則nl-----=—,——=-〉——成立;

2"+117”+152"+1〃+1

下證：當(dāng)〃23時(shí)，-2"~-1—n成立

2"+1〃+1

當(dāng)則〉"2"-1

〉——成立;

2"+1n+\

2*-1

設(shè)當(dāng)〃=左依23)時(shí),有----->------成立,

2上+1Z+1

2%-1

2J_3否j+1

則當(dāng)"=左+1時(shí)，有

2*+|+12A-1

+3

2"+1

A+I

人2*一1nil2-13r+l)8

々t=—;------,則一TT；--=-------3----->

2*+12A+1+1r+3r+3

k"匚>3——4左+1

因?yàn)?故2"〔+1k04A+3，

&+1-T+3

k+\

4%+1k+l2k2t+l-lk+lk+\

因?yàn)?%+3-1+2>0,所以>17i-化+1)+］，

(4Z+3)(Z+2)

所以當(dāng)〃=k+l時(shí),不等式也成立,

2"-1n

由數(shù)學(xué)歸納法可知,對任意的都成立.故選：CD.

2"+1/?+1

三、填空題

13.用數(shù)學(xué)歸納法證明"當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，x"+y"能被x+y整除"，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n=2k

—1(keN*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n時(shí)，命題亦真.

【答案】2k+l

【解析】「n為正奇數(shù)，且與2k—1相鄰的下一個(gè)奇數(shù)是2k+l,.?.需證n=2k+l時(shí)，命

題成立.

14.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)ndN*時(shí)，求證：1+2+22+2'+…+22’是31的倍數(shù)”時(shí)，當(dāng)

n=l時(shí)，原式為,從n=k到n=k+l時(shí)需增添的項(xiàng)是_

【答案】1+2+22+23+2425k+25k+1+25k+2+2Sk+3+25k+4

【解析】當(dāng)n=l時(shí)，原式應(yīng)加到25X1=2',

所以原式為1+2+T+23+2',

從n=k到n=k+l時(shí)需添25k+25k+1+-+25<k+1)-1.

16.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“兩兩相交且不共點(diǎn)的n條直線把平面分為f(n)部分，則f(n)=

1+”證明第二步歸納遞推時(shí),用到f(k+l)=f(k)+

2

【答案】k+1

【解析】f(k)=l+幺誓，

2

,,、(Z+1)伙+2)

f(k+l)=l+------------,

2

.,.f(k+l)-f(k)

=;+o+w+2)i_r1+k(k+\)~

__2J_L_2_

=k+l,

Af(k+l)=f(k)+(k+l).

16.用數(shù)學(xué)歸納法證明卜；+；-；+…+[——=—+工+…+；時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證的等式

2342n-l2nn+1n+22n

是;從“n=k”到“n=k+l”左邊需增加的等式是.

【答案】=3/一就

【解析】當(dāng)n=l時(shí),應(yīng)當(dāng)驗(yàn)證的第一個(gè)式子是1-：=也從“n=k”到“n=k+l”左邊需增加的

“式丁子正是2/k+_l____2(1k—+l),

四、解答題

17.設(shè)f(n)=1+'+』+…+L(0WN*).

23n

求證：f(1)+f(2)+…+f(n—1)=n[f(n)—1](n^2,n￡N*).

【解析】當(dāng)n=2時(shí)，左邊=f(1)=1,

右邊=2x[l+g-l)=1,左邊=右邊，等式成立.

假設(shè)n=k(k22,kWN*)時(shí)，等式成立，即

f(l)+f(2)+--+f(k-l)=k[f(k)-l],

那么，當(dāng)n=k+l時(shí)，

f(1)+f(2)+-+f(k-1)+f(k)

=k[f(k)-l]+f(k)

=(k+l)f(k)—k

=(k+l)/(Z+l)-丁1-k

_k+\

=(k+l)f(k+l)—(k+1)

=(k4-l)[f(k+l)-l],

.?.當(dāng)n=k+l時(shí)等式仍然成立.

f(1)+f(2)+…+f(n—1)=n[f(n)—1](n22,nGN*).

a

18.己知數(shù)列瓜｝中，ai=l,an+i=——(nGN).

1+?！?/p>

(1)計(jì)算a2,a3,ai；

⑵猜想心的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【解析】(1)：=1,@2=;4=g,

1+G2

a121

a=----2---=-,ai=--------=—?

31+Q,31+/4

(2)由(1)的計(jì)算猜想a?--.

n

下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

①當(dāng)n=l時(shí)，ai=l,猜想成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即ak=：,

k

J_

那么ak+尸”=—^―=」一,

1+WJk+1

k

即當(dāng)n=k+l時(shí)，猜想也成立.

根據(jù)①②可知，對任意nCN*都有a.=

n

19.已知數(shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足ai=l,a?+i——a?(4—a?),nGN*.證明a“<a"+i

2

V2(nGN*).

13

【解析】①當(dāng)n=l時(shí)，a】=l,az=二ai(4—ai)=一,

22

2V2,命題正確.

②假設(shè)n=k時(shí),<ak<ak+i<2,貝Un=k+1時(shí)，

1/、?/、

ax+i-ak+2——ak(4—aj---ax+i(4-ak+i)

—2(ak-at+i)——(Sk-ak+i),(ak+au+i)

——(ak—ak+i)(4—ak-ak+i).

2

而ak—ak+t<0,4—ak—ak+i>0,

?*久+1-ai<+2<0.

pI、1

又a+2=—ai(4-a+i)=—[4—(a)(+i—2)2]<2,

k2k+k2

...n=k+l時(shí)命題正確.

由①②知，對一切nGN*都有ak<a一<2.

20.平面內(nèi)有n(n22)個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一

點(diǎn)，記這n個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(n),猜想f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【解析】n=2時(shí)，f⑵=2=1X2,

n=3時(shí)，f(3)=2+4=6=2X3,

n=4時(shí)，f(4)=6+6=12=3X4,

n=5時(shí)，f(5)=12+8=20=4X5,

猜想f(n)=n(n—1)(n22).

下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：

①當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=2=2義(2—1),猜想成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k(k》2,kdN*),時(shí)猜想成立，即f(k)=k(k—1),

則1I=1<+1時(shí)，其中圓0與其余k個(gè)圓各有兩個(gè)交點(diǎn)，而由假設(shè)知這k個(gè)圓有f(k)個(gè)交

點(diǎn)，

所以這k+1個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(k+1)=f(k)+2k=k(k-l)+2k=k2+k=(k+1)[(k+1)-

1],

即n=k+l時(shí)猜想也成立.

由①②知:f(n)=n(n-1)(n22).

「，、1111,、31

20.已知f(n)=1+；^■+石+方H----F-,g(n)=———y,neN.

234n'22n

(1)當(dāng)n=l,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系；

(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明.

【解析】(1)當(dāng)n=l時(shí)，f(1)=1,g(l)=1,所以f(l)=g(l)；

911

當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=-,g(2)=—,所以f(2)Vg(2)；

88

251312

當(dāng)n=3時(shí)，f(3)=--,g(3)=-所以f(3)Vg(3).

216216

(2)由(1)猜想：f(n)〈g(n),用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=l,不等式顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k(kGN,)時(shí)不等式成立，即1+/+*+**+1--p-y—,

則當(dāng)n=k+l時(shí)，

1311

f(k+l)=f(k)+^7I7<--iF+^7I7

_31