高中數(shù)學(xué)模塊素養(yǎng)評價一蘇教版選擇性必修第一冊 (一)

模塊素養(yǎng)評價（一）

(120分鐘150分)

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

泰州高二檢測)過兩直線的交點(diǎn)且與

1.(2021?/i：x-3y+1=0,12：x+2y+6=03x+y-1=0

平行的直線方程為（）

A.x-3y+l=0B.3x+y+7=0

C.x-3y-11=0D.3x+y+13=0

x-3y+1=0,

【解析】選D.由題意列方程組，

x+2y+6=0

x=-4

解得1，即兩直線/i：x-3y+l=0,右：x+2y+6=0的交點(diǎn)為(-4,-1);

y=-1'

設(shè)與平行的直線方程為則,解得

3x+y-1=03x+y+m=0f3x(-4)+(-1)+m=0m=13z

故所求的直線方程為3x+y+13=0.

2.（2021?遵義高二檢測）雙曲線9-y2=l的焦點(diǎn)到漸近線的距離是（）

A.1B.5C.y[3D.2

【解析】選A.雙曲若-y2=l的漸近線為y=±乎x,

a2=3,b2=l,c2=a2+b2=3+l=4,gPc=2,

則一個焦點(diǎn)F(2,0),漸近線方程為坐x+y=0,

則焦點(diǎn)F到其漸近線的距離d==1.

（紹興高二檢測）已知數(shù)列斜｝是等差數(shù)列，若,且數(shù)列同｝的前

3.2021a9+3au<0,a10-ail<0

項(xiàng)和有最大值，那么取得最小正值時等于（

nSnSnn)

A.20B.17C.19D.21

【解析】選C.因?yàn)閍9+3an=(a9+an)+2ali=2aio+2ali=2(aio+an)<0.

所以aio+an<0,又aio-an<O且Sn有最大值，得公差為負(fù)，可得aio>O,an<0,

又可得：Si9=19aio>O,而S20=lO(aio+au)<0,進(jìn)而可得Sn取得最小正值時n=19.

4.(2021靖遠(yuǎn)高二檢測)函數(shù)f(x)=(1-乂同有()

A.最大值為1B.最小值為1

C.最大值為eD.最小值為e

【解析】選A.f(x)=-ex+(l-x)ex=?xl,當(dāng)xvO時，F(xiàn)(x)>0，當(dāng)x>0時,f(x)<0,

所以f(x)在(--,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以f(x)有最大值為f(0)=1.

5.(2021宜賓高二檢測)已知圓心在y軸上的圓C與直線x=3切于點(diǎn)M(3,2)若直線3x+4y

+m=0與圓C相切，則m的值為()

A.9B.7

C?-21或9D.-23或7

【解析】選D.圓心在y軸上的圓C與直線x=3切于點(diǎn)M(3,2).

可得圓C的半徑為3,圓心為(0,2).

因?yàn)橹本€3x+4y+m=0與圓C相切，

8+m

所以由切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離公式可得I=3,解得m=-23或7.

A/32+42

1

6.已知正項(xiàng)數(shù)列｛加｝的前n項(xiàng)和為％,且ai=1,a"1=26+n+l(nCN*),設(shè)數(shù)列

3n3n+1

的前n項(xiàng)和為Tn,則Tn的取值范圍為()

A.(o,；B.(0,1)

C.,1)D.1,1)

【解析】選因?yàn)楹?

D.i2Sn+n+1,

所以鼠=2Sn-i+n(n>2)/

2

因此染+1-3n=2(Sn-Sn-1)+1=2an+1,BPa?+1=(an+1),

又｛an｝為正項(xiàng)數(shù)列，所以an+i=an+l(n>2)=2+14-1=4,a2=2滿足，

故數(shù)列｛加｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以an=n(neN-),

11_11

因^-----

3n3n+1n(n+l)nn+l

所以Tn=(lJ11'111

+-+...+n-n+l=1---------

23n+l

因?yàn)閚6N",

所以/<Tn<l.

7.(2021?合肥高二檢測)已知拋物線C：y2=2Px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K,過點(diǎn)K

作圓(x-|)2+y2=9的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B.若AB他，則p的值為()

因?yàn)镕就是圓(x-外2+y2=.的圓心,

所以FA_LKA，且FA=5.

又KF=p,

所以NAKF=30°,那么NAKB=60。，

所以^AKB是等邊三角形，

所以AB二AK=2P-

又AB二小,所以p=2.

8.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)V=張)的導(dǎo)函數(shù)為V=%),當(dāng)x>0時,xf(x)-f(x)<0,若

f(e)f(ln2)f(-3)

a=-y，b二號，。=七^，則a,b,c的大小關(guān)系正確的是()

A.a<b<cB.b<c<a

C.a<c<bD.c<a<b

f(x)

【解析】選D.構(gòu)造函數(shù)蹌)=第，

xf'(x)-f(x)

所以g'(x)=

因?yàn)閤f'(x)-f(x)<0,

所以g'(x)<0,所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

f(x)

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以83=第是偶函數(shù)，

、f(-3)

所以c=—=g(-3)=g(3),

-3

因?yàn)閍=~^-=g(e),b=~j^y=g(/n2),

所以g(3)<g(e)<g(/n2),所以c<a<b.

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分)

9.(2021.撫順高二檢測)已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=25,直線/：(2m+l)x+(m+l)y

-7m-4=0.則以下幾個說法正確的有()

A.直線/恒過定點(diǎn)(3,1)

B.圓C被y軸截得的弦長為4枳

C.直線/與圓C恒相交

D.直線/被圓C截得的弦最長時,直線/的方程為2x-y-5=0

【解析】選ABC直線/的方程整理得m(2x+y-7)+x+y-4=0,

2x+y-7=0

由彳，

x+y-4=0

x=3

解得,所以直線/恒過定點(diǎn)(3,1),A正確；

[y=i

在圓方程中令x=0，得l+(y-2)2=25,y=2±2&,

所以y軸上的弦長為4#,B正確；

(3-1)2+(1-2尸=5<25,

所以點(diǎn)(3,1)在圓內(nèi)，直線/與圓一定相交，C正確；

直線/被圓C截得弦最長時，直線過圓心(1,2),

1125

則(201+1)+2g+1)-7|11-4=0,得m=,直線方程為§x+§y-§=0,即x+2y-5

=0,D錯.

-J5-1

10.(202L無錫高二檢測俄們把離心率為七一的橢圓稱為黃金橢圓，類似地，也把離心率

Vs+i

為七一的雙曲線稱為黃金雙曲線，則()

X2V2

A.雙曲線石-沫二=1是黃金雙曲線

3A/5+I

B.如果雙曲線/-$=l(a>0,b>0)是黃金雙曲線，那么b2=ac(c為半焦距)

X2V2

C.如果雙曲線前-隹=l(a>0,b>0)是黃金雙曲線，那么右焦點(diǎn)F2到一條漸近線的距離等于

焦距的四分之一

X2V2

D.過雙曲線C：n-Q=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F2且垂直于實(shí)軸的直線/交C于M,N兩點(diǎn)，

0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若/MON=90。，則雙曲線C是黃金雙曲線

X2v2

【解析】選BD.對于A：§-訴=】，

a2=3,b2=V5+1,

所以C2=A/5+4,

所以e2=S=與f(與1)2=芍更，故A錯誤；

X2y2

對于B:雙曲號-審=l(a>0,b>0)是黃金雙曲線，

cyjs+l

所以e=1=5-,c2=a2+b2,

d4

所以b2=產(chǎn)2+2-a?—a?=ac,故B正確；

X2V2

對于C：雙曲線3-古=l(a>0,b>0)的一條漸近線

22

y=3x,貝！!F2(C,0)到其距離d若X—廠1?。?b,而由B可知，b=ac*1c,故C錯

YE]

誤；

對于D：M,N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為C,y2=(5-1)b2,得M(c《)，N(c,與，則OM—玲

=(c,%ON7=(c,-7).

所以O(shè)MfONT=c2A=0,則b2=ac,由B可知，雙曲線C是黃金雙曲線，故D正確.

d

11.在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事："三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛

減一半，如此六日過其關(guān)"則下列說法正確的是()

A.此人第三天走了四十八里路

B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

1

C.此人第二天走的路程占全程的￡

D.此人前三天走的路程是后三天走的路程的8倍

【解析】選ABD.根據(jù)題戴口，此人每天行走的路程成等比數(shù)列，設(shè)此人第n天走an里路，

1

則｛an｝是首項(xiàng)為ai,公比為q=5的等比數(shù)列.

ai(l-q6)

所以S6;二——-=378,解得ai=192.

1-q

一1

2

所以a3=aiq=192x-=48,所以A正確.

由a1二192,Se=378,得戈+a?++as+a6=S6-ai=378-192=186,

又192-186=6,所以B正確.

、11

因?yàn)閍2=aiq=192受=96z-S6=94.5,

1

所以azqS6,所以C不正確.

因?yàn)?1+32+33=31(1+q+q2)

二192x(1+5")=336,

所以后3天走的路程為378-336=42,而且42x8=336,所以D正確.

1

12.(2021?南通高二檢測)設(shè)函數(shù)f(x)=x/nx,g(x)=-x2，給定下列命題，其中正確的是(

A.若方程f(x)=k有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則k6(-20)

B.若方程kf(x)=x2恰好只有一個實(shí)數(shù)根，則k<0

x

C.若Xi>X2>0，總有m[g(i)-g(X2)]>f(xi)-f(x2)恒成立，貝!]m>l

D.若函數(shù)F(x)=f(x)-2ag(x)有兩個不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ad(0,

【解析】選ACD.對于A,f(x)的定義域是(0,+可，

f(x)=/nx+1,

1

令f(x)>0，有/nx>-1,即x7，

可知f(x)在(0,3上單調(diào)遞減，在Q,+8)上單調(diào)遞增,

所以極小值等于最小值，

所以f(x)min=f(3=-1,

且當(dāng)x->0時f(x)玲0,又f(l)=0,

從而要使得方程f(x)=k有兩個不同的實(shí)數(shù)根,

即y=f(x)與y=k有兩個不同的交點(diǎn)，

所以ke(1,o)，故A正確；

對于B,易知x=1不是該方程的根，

當(dāng)xwl時，f(x)wO,方程kf(x)=x2恰好只有Y實(shí)數(shù)根，

等價于y=k和y=自只有一個交點(diǎn)，

Inx-1

y,=———，又x>0且x#l,

(Inx)2

令y'>0,即/nx>l，有x>e,

x

知丫=而在(0,1)和(1,e)單調(diào)遞減,在(e,+8)上單調(diào)遞增，

x=l是一條漸近線，極小值為e,

Y

由y=布的大致圖象可知k<0或k=e,故B錯誤；

對于C,當(dāng)X1>X2>O時，m[g(Xi)-g(X2)]>f(xi)-f(X2)恒成立，

等價于mg(xi)-f(x”>mg(x2)-f%)恒成立,

即函數(shù)y=mg(x)-f(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

即y*=mg'(x)-f*(x)=mx-/nx-l>0恒成立,

Inx+1

即m>-^—在(0,+8)上恒成立，

Inx+1

令r(x)=---,

-Inx

則r'(x)=r-,

令r，(x)>0得Inx<0,有0<x<l,從而r(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

則r(X)maxr(l)=1,于是m>l,故C正確；

對于D,F(x)=x/nx-ax2(x>0)有兩個不同的極值點(diǎn),

Inx+1

等價于F(x)=/nx+1-2ax=0有兩個不同的正根,即方程2a=~--有兩個不同的正根，

1

由C可知，0<2a<l,即0<a<5,則D正確.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列回｝中，a?與aio的等比中項(xiàng)為生,則/og3a4+/og3a8=.

【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列回｝中，a?與五。的等比中項(xiàng)為當(dāng),則有aza1/,

1

又由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a4a8=a2a10=3，

1

則/og3a4+/og3a8=心g3a4a8=/og3§=-1.

答案：-1

14.(2021?西安高二檢測)某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8

191

萬斤，每種植一萬斤蓮藕，成本增加0.5萬元.如果銷售額函數(shù)是f(x)=+ax2+Tx(x

oIOZ

是蓮藕種植量，單位：萬斤；銷售額的單位：萬元，a是常數(shù)).若種植2萬斤，利潤是2.5萬

元，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕萬斤.

1

【解析】設(shè)銷售利潤為g(X),得g(X)=-6X3+

o

9111o9

^ax^-x-1-2x=-gx^-ax2-l,

19

當(dāng)x=2時，g(2)=-gx23+記ax22-1=2.5,

解得a=2.

一19

所以g(x)=-gx3+gx2-1,

3,93

g'(x)=-gx2+^x=-gx(x-6),

所以函數(shù)g(x)在(0,6)上單調(diào)遞增，在(6,8)上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x=6時，函數(shù)g(x)取得極大值即最大值.

答案：6

15.(2021?廣州高二檢測)已知數(shù)列同｝的前n項(xiàng)和是1,且an+%=3n-1,則數(shù)列同｝的通

項(xiàng)公式an=

【解析】由題得an+Sn=3n-1,an-1+Sn-1=3n-4,

13

兩式相減得an=5an-1+,z

、1

用f以An-3=5(8n-1-3),

所以｛an-3｝是一個等比數(shù)列，

所以a-3=(ai-3)g

nnT=(l-3)G|)一

所以an=3-?n".

答案：3_(0I

y2/%

16.(2021?貴陽高二檢測)在橢圓:+x2=l上有兩個動點(diǎn)P,Q,E(0,1)為定點(diǎn)，EP1EQ,

則EP-3QP—?的最小值為

【解析】由題意得EP-玲QP—玲=EPT-(EP—玲-EQ—玲)=EP-^2-EP-，EQT=

EP—>2.

設(shè)橢圓上一點(diǎn)p(x,y)，則EP—?=(X,y-1),

EP―>2=x2+(y-1)2=(1

+(y-1)2

_3y2+

=4-1t,

42

又-2<y<2,所以當(dāng)y=§時，EP72取得最小值§.

套口案?'"3

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分乂2021?北京高二檢測)已知等邕例同｝滿足a2=4,a3+a4=17.

⑴求數(shù)列同｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列｛bn｝滿足bl=2,再從①bn+l=2bn；③卜+^二-bn這三個條件中任選一

個作為已知條件,求數(shù)列｛an+bn｝的前n項(xiàng)和Tn.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解

答計(jì)分.

【解析】⑴設(shè)等差數(shù)列同｝的公差為d.

32=431+d=4

由，可得，

33+34=17[2ai+5d=17

解得ai=l,d=3.

所以an=ai+(n-l)d=3n-2

⑵選①：

bn+l

==

由bi2,bn+12bn?(導(dǎo)bn，0,~—2,

所以｛bn最等比數(shù)列，公比q=2.

n1n

所以bn=biq-=2.

所以Tn=(ai+a2+...+an)+(bi+b2+...+bn)

n(l+3n-2)2(1-2n)

=2—

3n2-n

=---+2n+1-2

選②：

bn+l1

由b1=2,2bn+i=bn可'?(導(dǎo)bnWO，b=2'

1

所以｛bn｝是等比數(shù)列，公比q=5.

所以……2?…痣…

所以Tn=(31+32+...+an)+(bi+b?+...+bn)

n(l+3n-2)21-(1)]

=2+1-

1-2

3n2-n小n-2

=~T-團(tuán)+4.

選③：

bn+1

由bl=2,bn+l=-bn可得bnHO,工-=-1,

所以｛bn提等比數(shù)列，公比q=-1,

所以bn=biqn-1=2.(-I)11-1.

所以Tn=(ai+a?+...+an)+(bi+b2+...+bn)

n(l+3n-2)2[1-(-1)n]

=-----------7-----------+-----------------------

21-(-1)

3n2-n+2

=-2—?(?邛

18.(12分)(2021?黃岡高二檢測)已知與x=-1相切的圓C的圓心在射線x-3y=0(x>0)±,且

被直線/：3x-4y+5=0截得弦長為4^3.

⑴求圓C的方程；

⑵若圓C上有且僅有2個點(diǎn)到與/平行的直線[的距離為2求直線/，在x軸上截距的取值范圍.

【解析】⑴依題意設(shè)圓心坐標(biāo)C(3t,t),t>0,圓心到直線/：3x-4y+5=0的距離為

|9t-4t+5|

/=t+1,

A/32+42

又圓與X=-1相切，則圓的半徑r=3t+l,

因?yàn)橄议L為4小,所以⑶+I)2=12+(t+I)2,

3

解得t=l或t=倍去),

所以圓心C(3,1),r=4,

所以圓的方程為(x-3)2+(y-1產(chǎn)=16.

|5+m|

(2)設(shè)直線「的方程為3x-4y+m=0,則圓心到直線「的距離為d=-r一,當(dāng)且僅當(dāng)2<d<6

時，圓C上有且僅有2個點(diǎn)到/，的距離為2；

on|5+m|

即2<~--<6,

所以-35<m<-15或5<m<25,

設(shè)直線/在x軸上的截距為a,則a=*,m=-3a,

所以-35<-3a<-15或5〈-3a<25,

ma35-255

解得5<a<y或-§<a<-§.

19.(12分)已知｛a。｝為等差數(shù)列，｛6｝為等比數(shù)列，ai=bi=1,as=5(a4-a3),b5=4(b4-b3).

⑴求｛aj和｛bj的通項(xiàng)公式；

(2)cn=a2nb2n+l,求數(shù)列&｝的前11項(xiàng)和Sn.

【解析】⑴設(shè)等翻洌同｝的公差為d,等比數(shù)列佃｝的公比為q,

由ai=1,a5=5(a4-a3),可得1+4d=5d,

解得d=1,所以an=l+n-l=n,

432

由bi=1,b5=4(b4-b3),可得q=4(q-q),

解得q=2,所以bn=2八】.

2nn

(2)由(1)可得a2n=2n,b2n+i=2=4,

所以Cn=a2nb2n+1=2nx4n,

故Sn=2x4+4x42+6x43+...+2(n-l)x4n-1+2nx4n

234nn+1

4Sn=2x4+4x4+6x4+...+2(n-l)x4+2nx4,

3n+1

上述兩式相減，得-3Sn=2x4+2x4?+2x4+...+2x4。-2nx4

4(1-4n)

=2x-----------------2nx4n+1

1-4

='I-(2n-1)卬+】，

86n-2

所以Sn=§X4n+1.

a-ex

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=q-(aSR,a#0).

⑴當(dāng)a=1時，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f⑴)處切線的方程；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

【解析】⑴當(dāng)a=l時，f(x)=3(x*0),f(l)=e,切點(diǎn)(1,e),

e*x—e*

f'(x)=r^,k=r(i)=o,

所以切線方程為y-e=0,即丫=6.

exx-exex(x-1)

(2)f(x)=a--=a(x*0),

?a>0，當(dāng)x-l>0,

即x>l時即(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x-l<0z即x<0或0<x<l時,f(x)<0,

函數(shù)f(x)在每個區(qū)間上單調(diào)遞減；

②a<0，當(dāng)x-1>0,

即x>l時即(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x-1<0,即x<0或0<x<l時，f(x)>0,

函數(shù)f(x)在每個區(qū)間上單調(diào)遞增；

綜上所述，a>0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(--,0),(0,1)；

a<0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0),(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8).

X2y2

21.(12分)已知橢圓C：3+『=l(a>b>0)的兩個頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),離心率

(1)求橢圓C的方程；

⑵點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過D作AM的垂線

交BN于點(diǎn)E.

證明：4BDE與aBDN的面積之比為定值.

【解析】⑴因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，兩個頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),所以a=2,

因?yàn)閑=；，所以b2=a2-c2=l,所以橢圓C的方程為?+y2=l；

x2

(2)設(shè)D(xo,0),M(xo,yo),N(xo,-yo),y0>0,可得e=1-y,

直線AM的方程為：y=1"(x+2),

Xo+2

Xo+2

因?yàn)镈EJ_AM,所以kDE=-匚1，

yo

xo+2

直線DE的方程：y二-一(x-x0),

直線BN的方程：y二(x-2),

Xo-2

直線DE與直線BN的方程聯(lián)立可得

Xo+2

y=-(x-xo)

<

-yo7

y=；(x-2)

IXo-2

Xo+2y0

整理為：—-(X-Xo)=-(X-2),

Yoxo-2

即儲-4)(x-xo)=yo(x