概率及其隨機(jī)變量的分布列講義

概率、隨機(jī)變量及其分布列1．概率〔1〕了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別。〔2〕了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式?！?〕理解古典概型及其概率計(jì)算公式。〔4〕了解幾何概型的意義?！?〕了解條件概率。2．兩個(gè)事件相互獨(dú)立，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)〔1〕了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念；〔2〕理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型并能解決一些實(shí)際問題；3．離散型隨機(jī)變量及其分布列〔1〕理解取有限個(gè)值的離散隨機(jī)變量及其分布列的概念?！?〕理解二項(xiàng)分布，并解決一些簡(jiǎn)單問題。4．離散型隨機(jī)變量的均值、方差〔1〕理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念；〔2〕能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題?！竞诵囊c(diǎn)突破】要點(diǎn)考向1：古典概型考情聚焦：1．古典概型是高考重點(diǎn)考查的概率模型，常與計(jì)數(shù)原理、排列組合結(jié)合起來考查。2．多以選擇題、填空題的形式考查，屬容易題?？枷蜴溄樱?．有關(guān)古典模型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出根本領(lǐng)件總數(shù)和所求事件包含的根本領(lǐng)件數(shù)，這常常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識(shí)。2．在求根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確理解根本領(lǐng)件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的根本領(lǐng)件數(shù)的求法與根本領(lǐng)件總數(shù)的求法的一致性。3．對(duì)于較復(fù)雜的題目，要注意正確分類，分類時(shí)應(yīng)不重不漏。例1：從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，那么b>a的概率是〔〕〔A〕(B)〔C〕(D)【命題立意】此題考查古典概型，熟練掌握求古典概型概率的常用方法是解決此題的關(guān)鍵?！舅悸伏c(diǎn)撥】先求出根本領(lǐng)件空間包含的根本領(lǐng)件總數(shù)，再求出事件“”包含的根本領(lǐng)件數(shù)，從而。【標(biāo)準(zhǔn)解答】選D。，包含的根本領(lǐng)件總數(shù)。事件“”為，包含的根本領(lǐng)件數(shù)為。其概率。【方法技巧】列古典概型的根本領(lǐng)件空間常用的方法有：〔1〕列舉法；〔2〕坐標(biāo)網(wǎng)格法；〔3〕樹圖等。要點(diǎn)考向2：幾何概型考情聚焦：1．幾何模型是新課標(biāo)新增內(nèi)容，預(yù)計(jì)今后會(huì)成為新課標(biāo)高考的增長(zhǎng)點(diǎn)，應(yīng)引起高度重視。2．易與解析幾何、定積分等幾何知識(shí)交匯命題，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬中、低檔題目?？枷蜴溄樱?．當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解。2．利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域。例2：在區(qū)間[-1,2]上隨即取一個(gè)數(shù)x，那么x∈[0,1]的概率為?！久}立意】以非常簡(jiǎn)單的區(qū)間立意，運(yùn)算不復(fù)雜，但能切中考查幾何概型的要害。【思路點(diǎn)撥】一元幾何概型→長(zhǎng)度之比【標(biāo)準(zhǔn)解答】[-1，2]的長(zhǎng)度為3，[0,1]的長(zhǎng)度為1，所以概率是.【方法技巧】一元幾何概型→長(zhǎng)度之比，二元幾何概型→面積之比，三元幾何概型→體積之比要點(diǎn)考向3：條件概率考情聚焦：1．條件概率是新課標(biāo)新增內(nèi)容，在2007年山東高考重點(diǎn)亮相過，預(yù)計(jì)在今后課改省份高考中會(huì)成為亮點(diǎn)。2．常出現(xiàn)在解答題中和其他知識(shí)一同考查，當(dāng)然也會(huì)在選擇題、填空題中單獨(dú)考查?？枷蜴溄樱骸?〕利用公式是求條件概率最根本的方法，這種方法的關(guān)鍵是分別求出P〔A〕和P〔AB〕，其中P〔AB〕是指事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率?！?〕在求P〔AB〕時(shí)，要判斷事件A與事件B之間的關(guān)系，以便采用不同的方法求P〔AB〕。其中，假設(shè)，那么P〔AB〕=P〔B〕，從而例3：甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球。先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，那么以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是________〔寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)〕。①；②；③事件與事件相互獨(dú)立；④是兩兩互斥的事件；⑤的值不能確定，因?yàn)樗c中哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)?！久}立意】此題主要考查概率的綜合問題，考查考生對(duì)事件關(guān)系的理解和條件概率的認(rèn)知水平．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)事件互斥、事件相互獨(dú)立的概念，條件概率及把事件B的概率轉(zhuǎn)化為可辨析此題?！緲?biāo)準(zhǔn)解答】顯然是兩兩互斥的事件，有，，，而，且，，有可以判定②④正確，而①③⑤錯(cuò)誤?！敬鸢浮竣冖芤c(diǎn)考向4：復(fù)雜事件的概率與隨機(jī)變量的分布列、期望、方差考情聚焦：1．復(fù)雜事件的概率與隨機(jī)變量的分布列、期望、方差是每年高考必考的內(nèi)容，與生活實(shí)踐聯(lián)系密切。2．多以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題。例4：圖4是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量〔單位：噸〕的頻率分布直方圖〔Ⅰ〕求直方圖中x的值〔II〕假設(shè)將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民〔看作有放回的抽樣〕，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望?！久}立意】以實(shí)際生活為背景，考查頻率分布直方圖的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而考查分布列和期望等統(tǒng)計(jì)知識(shí).【思路點(diǎn)撥】頻率分布直方圖→矩形的面積表示頻率反映概率；隨機(jī)抽取3位居民〔看作有放回的抽樣〕是三個(gè)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)→計(jì)算概率時(shí)遵循貝努力概型.【標(biāo)準(zhǔn)解答】〔1〕依題意及頻率分布直方圖知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12.〔2〕由題意知，X～B(3，0.1).因此P(x=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=故隨機(jī)變量X的分布列為X0123P0.7290.2430.0270.001X的數(shù)學(xué)期望為EX=3×0.1=0.3.【方法技巧】1、統(tǒng)計(jì)的常用圖：條形圖，徑葉圖；直方圖，折線圖等。要學(xué)會(huì)識(shí)圖.2、概率問題的解題步驟：首先思考實(shí)驗(yàn)的個(gè)數(shù)、實(shí)驗(yàn)關(guān)系和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，然后思考目標(biāo)時(shí)間如何用根本領(lǐng)件表示出來，最后利用對(duì)立事件、對(duì)立事件和互斥事件進(jìn)行運(yùn)算.3、在求期望和方差時(shí)注意使用公式.注：〔1〕求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解。〔2〕一個(gè)復(fù)雜事件假設(shè)正面情況比擬多，反而情況較少，那么一般利用對(duì)立事件進(jìn)行求解。對(duì)于“至少”，“至多”等問題往往用這種方法求解?！?〕求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)所表示的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式，求出概率。〔4〕求隨機(jī)變量的均值和方差的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的分布列，假設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，那么可直接使用公式求解?！靖呖颊骖}探究】1．兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件．加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，那么這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為〔〕〔A〕(B)(C)(D)【命題立意】此題考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，【思路點(diǎn)撥】恰有一個(gè)一等品，包含兩類情況，【標(biāo)準(zhǔn)解答】選B.所求概率為?！痉椒记伞?、要準(zhǔn)確理解恰有一個(gè)產(chǎn)含義，2、事件A、B相互獨(dú)立，那么P(AB)＝P(A)·P(B)3、此題也可用對(duì)立事件的概率來解決。所求概率p=1-.2．某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)那么如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手假設(shè)能連續(xù)答復(fù)出兩個(gè)問題，即停止答題，晉級(jí)下一輪。假設(shè)某選手正確答復(fù)每個(gè)問題的概率都是0.8，且每個(gè)問題的答復(fù)結(jié)果相互獨(dú)立，那么該選手恰好答復(fù)了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪的概率等于?！久}立意】此題主要考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的求解?！舅悸伏c(diǎn)撥】分析題意可得：該選手第一個(gè)問題可以答對(duì)也可以答錯(cuò)，第二個(gè)問題一定答復(fù)錯(cuò)誤，第三、四個(gè)問題一定答對(duì)，進(jìn)而求解“相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率”。【標(biāo)準(zhǔn)解答】依題意得：該選手第一個(gè)問題可以答對(duì)也可以答錯(cuò)，第二個(gè)問題一定答復(fù)錯(cuò)誤，第三、四個(gè)問題一定答對(duì)，所以其概率.3．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，假設(shè)從中隨機(jī)地摸出兩只球，那么它們顏色不同的概率是___.【命題立意】此題考查古典概型的概率求法?！舅悸伏c(diǎn)撥】先求出從盒子中隨機(jī)地摸出兩只球的所有方法數(shù)，再求出所摸兩只球顏色不同的方法數(shù)，最后代入公式計(jì)算即可?！緲?biāo)準(zhǔn)解答】從盒子中隨機(jī)地摸出兩只球，共有種情況，而摸兩只球顏色不同的種數(shù)為種情況，故所求的概率為【答案】4．一個(gè)病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9.那么服用這種新藥的4個(gè)病人中至少3人被治愈的概率為_______〔用數(shù)字作答〕.【命題立意】此題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及互斥事件的概率，考查考生的分類討論思想和運(yùn)算求解能力．【思路點(diǎn)撥】“4個(gè)病人服用某種新藥”相當(dāng)于做4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，“至少3人被治愈”即“3人被治愈”，“4人被治愈”兩個(gè)互斥事件有一個(gè)要發(fā)生，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和概率的加法公式即可得出答案.【標(biāo)準(zhǔn)解答】4個(gè)病人服用某種新藥3人被治愈的概率為：；4個(gè)病人服用某種新藥4人被治愈的概率為：，故服用這種新藥的4個(gè)病人中至少3人被治愈的概率為.【答案】0.9477.【方法技巧】求多個(gè)事件至少有一個(gè)要發(fā)生的概率一般有兩種方法：1、將該事件分解為假設(shè)干個(gè)互斥事件的“和事件”，然后利用概率的加法公式求解；2、考慮對(duì)立事件。如:此題也可另解為5．加工某一零件經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為、、，且各道工序互不影響，那么加工出來的零件的次品率為.【命題立意】本小題考查概率、相互獨(dú)立試驗(yàn)等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論的思想.【思路點(diǎn)撥】加工零件需要完成三道工序，考慮問題的對(duì)立事件，加工出合格零件那么需要三道工序都是合格品.【標(biāo)準(zhǔn)解答】因?yàn)榈谝?、二、三道工序的次品率分別為、、，所以第一、二、三道工序的正品率分別為，所以加工出來的零件的次品率為【答案】.【方法技巧】當(dāng)所求事件的情形較多時(shí)，它的對(duì)立事件的情形較少，采用對(duì)立事件求解就是“正難那么反易”的方法.6．在甲、乙等6個(gè)單位參加的一次“唱讀講傳”演出活動(dòng)中，每個(gè)單位的節(jié)目集中安排在一起.假設(shè)采用抽簽的方式隨機(jī)確定各單位的演出順序〔序號(hào)為1,2,…,6〕，求：〔1〕甲、乙兩單位的演出序號(hào)均為偶數(shù)的概率；〔2〕甲、乙兩單位的演出序號(hào)不相鄰的概率.【命題立意】本小題考查排列、組合、古典概型的根底知識(shí)及其綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，及分類討論的數(shù)學(xué)思想.【思路點(diǎn)撥】先求出事件的總的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)，再求出符合題意要求的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)，最后計(jì)算概率.【標(biāo)準(zhǔn)解答】〔方法一〕考慮甲乙兩個(gè)單位的排列順序，甲乙兩個(gè)單位可以排列在6個(gè)位置中的任意兩個(gè)位置，有種等可能的結(jié)果；〔1〕設(shè)A表示“甲、乙的演出序號(hào)均為偶數(shù)”，那么事件A包含的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)是,所以；〔2〕設(shè)B表示事件“甲乙兩單位的演出序號(hào)不相鄰”，那么表示事件“甲乙兩單位的演出序號(hào)相鄰”，事件包含的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)是,所以〔方法二〕不考慮甲乙兩個(gè)單位的排列順序，甲乙兩個(gè)單位可以在6個(gè)位置中的任選兩個(gè)位置，有種等可能的結(jié)果；〔1〕設(shè)A表示“甲、乙的演出序號(hào)均為偶數(shù)”，那么事件A包含的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)是,所以；〔2〕設(shè)B表示事件“甲乙兩單位的演出序號(hào)不相鄰”，那么表示事件“甲乙兩單位的演出序號(hào)相鄰”，事件包含的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)是5,所以.〔方法三〕考慮所有單位的排列位置，各單位的演出順序共有(種)情形；〔1〕設(shè)A表示“甲、乙的演出序號(hào)均為偶數(shù)”，那么事件A包含的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)是,所以；〔2〕設(shè)B表示事件“甲乙兩單位的演出序號(hào)不相鄰”，那么表示事件“甲乙兩單位的演出序號(hào)相鄰”，事件包含的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)是,所以.【跟蹤模擬訓(xùn)練】一、選擇題〔每題6分，共36分〕1．鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè)，花生餡湯圓5個(gè)，豆沙餡湯圓4個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取4個(gè)湯圓，那么每種湯圓都至少取到1個(gè)的概率為()〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2．函數(shù)、都是定義在上的函數(shù)，且(且)，，在有窮數(shù)列()中，任意取正整數(shù)，那么其前項(xiàng)和大于的概率是()A.B.C. D.3．先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子，記骰子落地后朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x、y，那么的概率為〔〕 A． B．C． D．4．一個(gè)容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下表:組別 頻數(shù)1213241516137那么樣本數(shù)據(jù)落在上的頻率為A．0.13B．0.39C．0.525．從足夠多的四種顏色的燈泡中任選六個(gè)安置在如右圖的6個(gè)頂點(diǎn)處，那么相鄰頂點(diǎn)處燈泡顏色不同的概率為〔〕A． B．C． D．6．將一枚骰子拋擲兩次，假設(shè)先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為，那么方程有實(shí)根的概率為A．B．C．D．二、填空題〔每題6分，共18分〕7．某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外興趣小組，每名同至多參加兩個(gè)小組，參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人，那么同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有人．8．從5名世博志愿者中選出3名，分別從事翻譯、導(dǎo)游、保潔三項(xiàng)不同的工作，每人承當(dāng)一項(xiàng)，其中甲不能從事翻譯工作，那么不同的選派方案共有種.9.集合A={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},集合B={(x,y)|(x-2)2+(y-2)2≤4,x,y∈Z},在集合A中任取一個(gè)元素p,那么p∈B的概率是_______.三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)10.一個(gè)口袋中裝有n個(gè)紅球(n≥5且n∈N)和5個(gè)白球，一次摸獎(jiǎng)從中摸出兩個(gè)球，兩個(gè)球顏色不同那么為中獎(jiǎng).(1)試用n表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率P;(2)假設(shè)n=5,求三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)