高中數學提升訓練建立數學模型解決實際問題（解析版）

2020—2021高中數學新教材人教A版必修配套提升訓練

建立數學模型解決實際問題

主要命題方向

1.函數模型的增長差異；2.巧用圖象比較大小；3.幾種函數模型的應用；4.一次函數與分段函數模型問

題；5.二次函數模型問題；6.指數型、對數型函數模型應用問題；7.建模思想一一函數模型的確定；8.指

數、對數函數型實際應用問題.

配套提升訓練

一、單選題

1.（2020?全國高三課時練習（理））在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業(yè)務，每天能完成1200

份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知

該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完

成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

【答案】B

【解析】

由題意，第二天新增訂單數為500+1600—1200=900，

故需要志愿者鬻=18名.

故選：B

2.（2020.全國高一課時練習）某同學最近5年內的學習費用y（千元）與時間x（年）的關系如圖所示，則可選

擇的模擬函數模型是（）

7

4-

3:.?.

2-??

—2O.246x

—1

A.y=ax+bB.y=ax2+bx+c

C.y=aex+bD.y=a\nx+b

【答案】B

【解析】

從所給的散點圖可看出函數的變化趨勢是先增后減，所以該函數模型是二次函數.

故選：B

3.（2020?全國高一課時練習）下列函數中隨x的增長而增長最快的是（）

A.y=e*B.y^lnxC.y=M0°D.y=2'

【答案】A

【解析】

由于y=e*是指數函數，y優(yōu)是對數函數，y=M0°是基函數，>=2、指數函數，

由于當x足夠大時,指數函數的增長速度最快,呈爆炸式增長,且2個指數函數的底數分別為e和2,且e>2,

故增長速度最快的是y=e'.

故選：A.

4.（2020?浙江高一課時練習）當2Vx<4時，2、，log?x的大小關系是（）

X22X

A.2>x>log2xB.x>2>log2x

A22X

C.2>log,x>xD.x>log2x>2

【答案】B

【解析】

在平面直角坐標系中，作出y=2*,y=V,丁=1。82%在（2,4）時的圖象如下圖所示：

>T>log,x

故選：B

5.（2020.全國高一課時練習）一輛汽車在某段路上的行駛路程s關于時間，變化的圖像如圖，那么圖像所對

應的函數模型是（）

A.分段函數B.二次函數

C.指數函數D.對數函數

【答案】A

【解析】

根據函數圖象由不同的直線段構成可知，函數是分段函數，在每一段上函數是一次函數，故選A.

6.（2020?全國高一課時練習）某大型超市為了滿足顧客對商品的購物需求，對超市的商品種類做了一定的

調整，結果調整初期利潤增長迅速，隨著時間的推移，增長速度越來越慢，如果建立恰當的函數模型來反

映該超市調整后利潤y與售出商品的數量x的關系，則可選用()

A.一次函數B.二次函數

C.指數型函數D.對數型函數

【答案】D

【解析】

由題目信息可得：初期增長迅速，后來增長越來越慢，故可用對數型函數模型來反映y與x的關系.

故選：D.

7.(2020?全國高一課時練習)四人賽跑，假設他們跑過的路程力(x)(其中id{1,2,3,4})和時間x(x>l)的函數關

系分別是力(》)=/,/(x)=4x,力(x)=log2%,力(x)=2,如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函

數關系是()

A.力(%)=fB.及(x)=4xC./i(x)=log2XD.f^(x)=2x

【答案】D

【解析】

由函數的增長趨勢可知，指數函數增長最快，所以最終最前面的具有的函數關系為力(力=2*,故選D.

8.(2020?湖北那陽。高二月考)一種藥在病人血液中的量保持15()()mg以上才有效，而低于50()mg病人就

有危險.現給某病人注射了這種藥2500mg,如果藥在血液中以每小時20%的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥

物的利用價值，那么從現在起經過()小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效.(附：lg2=0.301,

lg3=0.4771,答案采取四舍五入精確到O.lh)

A.2.3小時B.3.5小時C.5.6小時D.8.8小時

【答案】A

【解析】

設從現在起經過x小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效.

貝U2500x0.8、=1500，0.8v=0.6-1g0.8v=1g0.6,xlg0.8=lg0.6,

,6

lg0.6lgioIg2+lg3-l0.301+0.4771-1

x——T———pm.

lg0.8]<,心31g2-l3x0.301-1

g10

故選：A.

9.（2018?四川高三其他（理））中國高速鐵路技術世界領先，高速列車運行時不僅速度比普通列車快而且噪

聲更小.我們用聲強/（單位：W/m2）表示聲音在傳播途徑中每1平方米面積上聲能流密度，聲強級4（單

位：dB）與聲強/的函數關系式為：L,若普通列車的聲強級是95dB,高速列車的聲強級

是45dB,則普通列車的聲強是高速列車聲強的（）

A.1（）6倍B.6倍C.IO,倍D.1（）3倍

【答案】B

【解析】

由題意，95=101g需，45=101g

所以優(yōu)=IO,,即普通列車的聲強是高速列車聲強的1（/倍.

故選：B.

10.（2020.沙坪壩。重慶一中高三月考（理））為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學家喜帕恰斯在公元

前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數值越小，星星就越亮；星等的數值越大它的光就越暗.到了1850

年，由于光度計在天體光度測量的應用，英國天文學家普森又提出了亮度的概念，天體的明暗程度可以用

星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足町—%=2.5（坨馬—愴耳），其中星等為外的星的亮度為

紇僅=1,2）.已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,則“心宿二”的亮度大約是“天津四”的（）

倍.（當|x|較小時，10'Hl+2.3x+2.7f）

A.1.27B.1.26C.1.23D.1.22

【答案】B

【解析】

E

由題意1一1.25=2.5（母馬一母片），lgU=°」，

...互=10。|?1+2,3X0.1+2.7X0.12=1.257?1.26

故選：B.

二、多選題

11.（2019?全國高一課時練習）在某種金屬材料的耐高溫試驗中，溫度y隨著時間/變化的情況由計算機記

錄后顯示的圖像如圖所示給出下列說法，其中正確的是（）

y（t）

_二

―~5f（min）

A.前5根就溫度增加的速度越來越快

B.前溫度增加的速度越來越慢

C.5min以后溫度保持勻速增加

D.5，市〃以后溫度保持不變

E.溫度隨時間的變化情況無法判斷

【答案】BC

【解析】

溫度y關于時間t的圖像是先凸后平即5min前每當t增加一個單位增量加，

則y相應的增量力越來越小，而5min后y關于t的圖像是直線，即溫度勻速增加，

則BC正確.

故選：BC

12.（2019?全國高一課時練習）（多選）下面對函數"=與g（x）=（g］在區(qū)間（0,+8）上的衰減

情況的說法中錯誤的有（）

A.“X）的衰減速度越來越慢，g（x）的衰減速度越來越快

B./（X）的衰減速度越來越快，g（x）的衰減速度越來越慢

C./（力的衰減速度越來越慢，g（x）的衰減速度越來越慢

D./（X）的衰減速度越來越快，g（x）的衰減速度越來越快

【答案】ABD

【解析】

在平面直角坐標系中畫出了（X）與g（x）圖象如下圖所示:

由圖象可判斷出衰減情況為：“X）衰減速度越來越慢；g（x）衰減速度越來越慢

故選：ABD

13.（2019?全國高一課時練習）（多選）有一組實驗數據如表所示：

X12345

y1.55.913.424.137

則下列所給函數模型較不適合的有（）

A.y=log"X（a>l）B._y=4ix+Z?（6!>1）

C.y=ax2+/?（￡/>0）D.y=log“x+/?（a>l）

【答案】ABD

【解析】

由所給數據可知y隨X的增大而增大，且增長速度越來越快，而A,D中的函數增長速度越來越慢，B中的

函數增長速度保持不變，

故選ABD.

14.如圖，某池塘里的浮萍面積y（單位：加2）與時間r（單位：月）的關系式為y=且左。0；

。>0,且。力1）.則下列說法正確的是（）

A.浮萍每月增加的面積都相等

B.第6個月時，浮萍的面積會超過30療

C.浮萍面積從2機2蔓延到64加2只需經過5個月

D.若浮萍面積蔓延到4根2,6機2,9〃，所經過的時間分別為A,t2,%，則4+臺=2/2

【答案】BC

【解析】

由題意可知，函數過點（LD和點（3,4）,代入函數關系式：y=ka'（keR,。＞0,且。。1）,

得：|k而a-=\4'

k=L

解得：\2,

a=2

二函數關系式：y=1x2,=2,-'.

???函數是曲線型函數，所以浮萍每月增加的面積不相等，故選項A錯誤，

當x=6時，y=2$=32,浮萍的面枳超過了304，故選項5正確，

令y=2得：/=2；令y=64得：1=7,所以浮萍面積從2m2增加到647n2需要5個月，故選項c正確,

令y=4得：：=3；令y=6得：t2=log212；令y=9得：4=log218,"+t2=3+log212=log296^Z3,

故選項。錯誤，

故選：BC

三、填空題

15.（2020?全國高一課時練習）下列選項是四種生意預期的收益y關于時間x的函數，從足夠長遠的角度看，

更為有前途的生意是.

①）=10x1.05*；②y=20+x"；③y=30+lg（x—l）；④y=50

【答案】①

【解析】

由于指數函數的底數大于1,其增長速度隨著時間的推移是越來越快，

y=10x1.05'更為有前途的生意，

故答案為：①.

16.（2020?衡水中學實驗學校高三一模（文））某食品的保鮮時間N（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：°C）

滿足函數關系y=ek+"（e=2.718…為自然對數的底數，k、b為常數）,若該食品在0°C的保鮮時間是192

小時，在22°C的保鮮時間是48小時，則該食品在33°C的保鮮時間是一小時.

【答案】24

【解析】

由題意可得，x=0時，y=192,

x=22時，y=48.

代入函數y=ek'+b,

可得e"=192，e22k+b=48.

即有〃=L

2

e"=192，

則當x=33時，y=e33*+z,=-xl92=24.

8

故答案為：24.

17.（2020?全國高三月考（理））2018年5月至2019年春，在阿拉伯半島和伊朗西南部，沙漠螞蟲迅速繁衍，

呈現幾何式的爆發(fā)，僅僅幾個月，蝗蟲數量增長了8000倍，引發(fā)了蝗災，到2020年春季蝗災已波及印度和

巴基斯坦，假設蝗蟲的日增長率為5%,最初有N。只，則經過天能達到最初的16000倍（參

考數據：In1.05?0.0488,In1.5?0.4055,In160（）?7.3778,In16（X）0?9.6803）.

【答案】199

【解析】

設過X天能達到最初的16000倍，由己知N0（l+（）.（）5）、=16（）（）（）N°,X=11116000798.4,又xeN,所

In1.05

以過199天能達到最初的16000倍.

故答案為：199.

四、雙空題

18.（2020?浙江高一單元測試）某地西紅柿從2月1日起開始上市，通過市場調查，得到西紅柿種植成本Q

（單位：元/（10（）儂））與上市時間單位：天）的數據如下表：

時間f（單位：天）60100180

種植成本。（單位：元/（100起））11684116

根據上表數據，從下列函數中選取一個函數描述西紅柿種植成本。與上市時間f的變化關系：Q=〃+b,

2

Q=at+bt+c,Q=ah',Q=a\oght.利用你選取的函數，計算西紅柿種植成本最低時的上市天數

是:最低種植成本是元/（100依）.

【答案】12080

【解析】

因為隨著時間的增加，種植成本先減少后增加，而且當/=60和/=180時種植成本相等，再結合題中給出

的四種函數關系可知，種植成本與上市時間的變化關系應該用函數。=。?-120）2+相描述.將表中兩組

數據（60,116）和（100,84）代入,

,a(60—120)2+^=116a=0.01

可得｛,解得｛

。(100-120)2+m=84m=80

所以Q=0.01（f-120）2+80.

故當上市天數為120時，種植成本取到最低值80元/（100修）.

故答案為：120；80.

19.（2019.山東黃島?高三期中）聲強級乙（單位：四）由公式乙=101g］高給出，其中/為聲強（單

位：W/m1）.

（1）平時常人交談時的聲強約為10^卬/〃?2,則其聲強級為dB；

（2）一般正常人聽覺能忍受的最高聲強為lW/病，能聽到的最低聲強為1OT2W/*,則正常人聽覺的聲

強級范圍為dB.

【答案】60[0,120]

【解析】

（1）當乙=10-6皿/療時，L,=ioig10lg106=60；

(2)當，2=1W/〃，時，L,=lOlgf-^pyUlOlglO12=120,

當八=1（尸2卬/m2時,則正常人聽覺的聲強級范圍為[（）,120]dB

故答案為：60；[0,120]

20.（2020.全國高三專題練習（理））2019年7月，中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產名錄，標志著中華

五千年文明史得到國際社會認可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實證了中華五千年文明史.考

古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質量N

隨時間f（單位：年）的衰變規(guī)律滿足N=N°.2-5缶（N。表示碳14原有的質量），則經過5730年后，碳14

13

的質量變?yōu)樵瓉淼?；經過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質量是原來的一至二，據此推測

25

良渚古城存在的時期距今約在________年到5730年之間.（參考數據：log23al.6,log25a2.3）

【答案】-4011

2

【解析】

當￡=5730時，N=No2'=；N0經過5730年后，碳14的質量變?yōu)樵瓉淼?

3--3t3

令沖？。,則2573。=：---=log2-=log23-log25?-0.7

.?"=0.7x5730=4011良渚古城存在的時期距今約在4011年到5730年之間

故答案為,；4011

2

21.（2020?全國高一課時練習）為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒.已知藥物釋放過程中，

室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式y=

（二廣“（a為常數），如圖所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題:

y（毫克）

00.1“小時）

（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數關系式為.

（2）據測定，當空氣中每立方米的含藥量不高于0.25毫克時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至

少需要經過小時后，學生才能回到教室.

10r,0<r<0.1

【答案】y^\c1Y-0-10.6.

M'/>01

【解析】

（1）依題意，當owrwo.i,可設y與t的函數關系式為丁=股，

易求得左=10,二y=10f,

當￡20.1時，y與t的函數關系為y=（4）j,觀察圖象過點（士,1）,所以l=解得。=0.1,所

161016

以"（1）山；

10

10/,0<r<0.1

,含藥量y與，的函數關系式為y=

（2）山圖像可知y與/的關系是先增后減的，在owtwo.i時，》從o增加到1；

然后，>0.1時，y從1開始遞減.當藥物含量到0.25毫克時，山丁=（二）一°」=0.25,解得r=0.6,

...至少經過0.6小時，學生才能回到教室

五、解答題

22.（2020?全國高一課時練習）某公司擬投資100萬元，有兩種投資方案可供選擇：一種是年利率為10%,

按單利計算，5年后收回本金和利息；另一種是年利率為9%,按每年復利一次計算，5年后收回本金和利

息.哪一種投資更有利？這種投資比另一種投資5年可多得利息多少元？（結果精確到0.01萬元）

【答案】按年利率為9%每年復利一次計算的投資方式要比按年利率為10%單利計算的更有利，5年后多得利

息3.86萬元.

【解析】

本金100萬元，年利率為10%,按單利計算,5年后的本息和是100義（l+10%X5）=150（萬元）.

本金100萬元，年利率為9%,按每年復利一次計算，5年后的本息和是100X（1+9%”入153.86（萬元）.

由此可見，按年利率為9%每年復利一次計算的投資方式要比按年利率為10%單利計算的更有利，5年后多得

利息3.86萬元.

1Y

23.（2020?浙江高一單元測試）研究鞋魚的科學家發(fā)現鞋魚的游速可以表示為函數y=]log3標，單位是

m/s,其中x表示鞋魚的耗氧量的單位數.

（1）當一條鞋魚的耗氧量是8100個單位時，它的游速是多少？

（2）計算一條鞋魚靜止時耗氧量的單位數.

（3）若雄魚A的游速大于鞋魚B的游速，問這兩條鮮魚誰的耗氧量較大？并說明理由.

【答案】（1）2m/s；（2）一條鞋魚靜止時的耗氧量為100個單位；（3）能魚A的耗氧量較大.

【解析】

（1）將x=8100代入函數關系式，得y=；log381=；x4=2,

所以一條蛙魚的耗氧量是8100個單位時，它的游速是2m/s.

（YX

（2）令y=0,得510g3而=0,即而=1，則x=100,所以一條鞋魚靜止時的耗氧量為100個單位.

（3）鞋魚A的耗氧量較大.

理由：山）'A>yB，得;1083念>Jl°g3蓋，即log3%>log34，則/>/，

所以娃魚A的耗氧量較大.

24.（2020?浙江高一課時練習）小明和爸爸從家步行去公園，爸爸先出發(fā)一直勻速前行，小明后出發(fā)勻速前

行，且途中休息一段時間后繼續(xù)以原速前行.家到公園的距離為2000處如圖是小明和爸爸所走的路程s（m）

與步行時間t（min）的函數圖象.

(1)直接寫出以段圖象所對應的函數關系式(不用寫出力的取值范圍)

(2)小明出發(fā)多長時間與爸爸第三次相遇？

(3)在速度都不變的情況下，小明希望比爸爸早18分鐘到達公園，則小明在步行過程中停留的時間需減

少多少分鐘？

【答案】(1)5=401-400(2)37.5min(3)3min

【解析】

(1)設直線比1所對應的函數表達式為s=kt+b,

將(30,800),(60,2000)代入得，

f30r+b=800fA:=40

\,解得《，

[60t+8=2000伍=-400

二直線a1所對應的函數表達式為5=40—400.

(2)設小明的爸爸所走路程s與時間力的函數關系式為s初加"，

n=200{m-24

則《，解得《

[25加+〃=800[〃=200

即小明的爸爸所走路程s與時間t的函數關系式是s-24t+200,

s-40/-4001=37.5

解方程組《

s=24f+2005=1100

即小明出發(fā)37.5min時與爸爸第三次相遇.

(3)當尸2000時，2000=24什200,得戶75,

V75-60=15,

二小明希望比爸爸早18min到達公園，

則小明在步行過程中停留的時間需要減少3min.

25.(2020?公主嶺市第一中學校高一期中(理))函數/(x)=2,和g(x)=d的圖像的示意圖如圖所示，兩

函數的圖像在第一象限只有兩個交點A(x,,y),3(玉，%)，不＜泡

(1)請指出示意圖中曲線Q?2分別對應哪一個函數；

(2)比較/(6),g(6)J(10),g(10)的大小,并按從小到大的順序排列；

(3)設函數〃(x)=/(x)—g(x),則函數/z(x)的兩個零點為X,石，如果/€[。,a+1],彳2€3乃+1],其中

。力為整數，指出。力的值，并說明理由.

【答案】(I)0對應的函數為g(x)=/,C2對應的函數為f(x)=2'.(II)f(6),g(6),g(10),f(10)(III)

a=1,b=9

【解析】

(I)Cl對應的函數為g(x)="3,C2對應的函數為的尤)=2".

(II)/(6)=26=64,g(6)=63=216,/(10)=210=1024,^(10)=103=1000

所以從小到大依次為/(6),g(6),g(10),/(IO).

(Ill)計算得a=I,b=9

理由如下：

令e(x)=/(x)-g(x)=2x-x3,

由于奴1)=1>0,0⑵=-4<0,夕(9)=29-93(0,^(10)=2,0-103)0,

則函數取X)的兩個零點xie(1,2),x2e(9,10)

因此整數。=Lb=9

26.(2020?吉林公主嶺。高一期末(理))節(jié)約資源和保護環(huán)境是中國的基本國策.某化工企業(yè)，積極響應國家

要求,探索改良工藝，使排放的廢氣中含有的污染物數量逐漸減少.已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污

染物數量為2mg/n?,首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物數量為1.94mg/m3.設改良工藝前所排放的

廢氣中含有的污染物數量為為，首次改良工藝后所排放的廢氣中含有的污染物數量為4,則第n次改良后所排

放的廢氣中的污染物數量rn，可由函數模型4=6—（石一4）?（pGR,〃€N*）給出,其中〃是指改良

工藝的次數.

（1）試求改良后所排放的廢氣中含有的污染物數量的函數模型；

（2）依據國家環(huán)保要求,企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數量不能超過0.08mg/m3,試問至少進行多少次

改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數量達標.

（參考數據:取1g2=0.3）

【答案】（D