第09講空間點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系（核心考點(diǎn)講與練）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（人教A版2019必修第二冊(cè)）（解析版）

第09講空間點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系(核心考點(diǎn)講與練)

聚焦考點(diǎn)

1.平面的概念

數(shù)學(xué)中的平面是一個(gè)不加定義的原始概念，常見(jiàn)的桌面、黑板面、海平面都給我們平面的形象.幾

何里所說(shuō)的平面就是從這樣的一些物體抽象出來(lái)的，平面是無(wú)限延展的，沒(méi)有厚度，也沒(méi)有大小、

輕重之分.

2.空間中的四個(gè)公理及其推論

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有與一個(gè)平面.

推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.

推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

3.等角定理

空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

4.直線與直線的位置關(guān)系

(1)位置關(guān)系的分類

平行

共面直線

相交

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)

平行直線：

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號(hào)表示為：allb,b//c=>a//c.

公理4說(shuō)明平行具有傳遞性，在平面、空間都適用.

定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

異面直線的概念：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.

要點(diǎn)詮釋：

(1)異面直線具有既不相交也不平行的特點(diǎn).

(2)異面直線定義中“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”是指這兩條直線“不能確定一個(gè)平面”，其

中的“任何”是異面直線不可缺少的前提條件.不能把“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”誤解為“不同

在某一平面內(nèi)”，例如下圖甲中，直線aua,直線匕U4，a〃b,不能由a、b不同在平面。內(nèi)

就誤認(rèn)為a與b異面，實(shí)際上，由a〃b可知a與b共面，它們不是異面直線.

(3)“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”與“分別在某兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”的含義是

截然不同的，前者是說(shuō)不可能找到一個(gè)同時(shí)包含這兩條直線的平面，而后者“分別在某兩個(gè)平面

內(nèi)的兩條直線”指的是畫在某兩個(gè)平面內(nèi)的直線，并不能確定這兩條直線異面.它們可以是平行

直線，如下圖甲所示，也可以是相交直線，如下圖乙所示.

(4)畫異面直線時(shí)，為了突出它們不共面的特點(diǎn)，常常需要面作襯托，明顯地體現(xiàn)出異面直

(2)異面直線所成的角

①定義：過(guò)空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a,6的平行線人lAa//h,b//h),這兩條相交直

線所成的銳角(或直角)就是異面直線a,6所成的角.

②范圍：(0，y.

要點(diǎn)詮釋：

異面直線所成角。的取值范圍是0<6490。；

求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點(diǎn)一平移一定角一計(jì)算.

5.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)

直相交工aAa—A1個(gè)

線

與平行a//a0個(gè)

平

在平面

面aua無(wú)數(shù)個(gè)

內(nèi)

平

平行a//0個(gè)

面____/

與

aA￡=

平相交無(wú)數(shù)個(gè)

1

面

名師點(diǎn)睛

考點(diǎn)一：平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用

例1.下列結(jié)論正確的是.

①經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面

②經(jīng)過(guò)兩條相交直線，可以確定一個(gè)平面

③經(jīng)過(guò)兩條平行直線，可以確定一個(gè)平面

④經(jīng)過(guò)空間任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面

答案3個(gè)

解析當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)不能確定平面，故④不正確，①②③正確.

解題要點(diǎn)三點(diǎn)不一定確定一個(gè)平面.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可確定無(wú)數(shù)個(gè)平面.

考點(diǎn)二：空間直線的位置關(guān)系

例L異面直線是指（）

A.空間中兩條不相交的直線

B.分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線

C.平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線

D.不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線

【答案】D

【解析】應(yīng)根據(jù)異面直線的定義“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”予以判斷.

對(duì)于A,空間兩條不相交的直線有兩種可能：一是平行（共面），二是異面，；.A項(xiàng)排除.

對(duì)于B,分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的直線，既可能平行，也還可能相交，還可能異面，如上圖，

就是相交的情況，B應(yīng)排除.

對(duì)于C,如上圖中的a,b可看作是平面a內(nèi)的一條直線a與平面a外的一條直線b,顯然它們

是相交直線，.?1應(yīng)排除.

只有D符合定義，應(yīng)選D.

【總結(jié)升華】解答這類立體幾何的命題的真假判定問(wèn)題，一方面需要掌握立體幾何中的有關(guān)概

念和公理、定理；另一方面要善于尋找特例，構(gòu)造相關(guān)模型，特例模型能快速、有效地排除相關(guān)

的選擇項(xiàng).

【變式1】判斷下列說(shuō)法是否正確?若正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由；若不正確，請(qǐng)?jiān)谙铝薪o出的圖形中

找出反例，并給予說(shuō)明.

(1)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線；

(2)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的直線一定是異面直線；

(3)分別與兩條相交直線都相交的兩條直線共面；

(4)分別與兩條異面直線都相交的兩條直線異面.

【答案】

(1)不正確,如下圖①③中的直線a,b；

(2)不正確，如下圖②③中的直線AC,BC及a,b.

(3)不正確,如下圖②中的直線AB與/；

(4)不正確，如下圖④中，直線AD與BC是異面直線AB,AC都與AD,BC相交，但AB,AC是共面

直線.

例2.已知a,b,c是三條直線，如果a與b是異面直線，b與c是異面直線，那么a與c有怎樣的

位置關(guān)系？并畫圖說(shuō)明.

【答案】平行、相交或異面

【解析】對(duì)空間直線與直線的三種位置關(guān)系逐判斷.直線a與直線c的位置關(guān)系可以是平行、

相交、異面.如下圖(1)(2)(3).

【總結(jié)升華】不論是在空間還是在同一平面內(nèi)，平行直線都具有傳遞性，而異面直線不具有

這一特點(diǎn).本例中的三條直線，由于位置關(guān)系不確定，因此，要按照直線位置關(guān)系的三種情況逐

一分析，而畫出示意圖對(duì)問(wèn)題的解決是很有幫助的.

【變式1】如圖，正方體A8CO-A瓦GA中，點(diǎn)及F,G分別是棱AA"B,CG的中點(diǎn)，判

斷下列直線的位置關(guān)系：

(1)AB與DR：(2)D[E與BC：

(3)D]E與BG：(4)D[E與CF.

【答案】(1)異面(2)異面(3)共面(4)共面

AF8

例3正方體4G中，E、尸分別是線段比'、勿的中點(diǎn)，則直線48與直線￡7謝位置關(guān)系是.

答案相交

解析如圖所示，直線46與直線外一點(diǎn)￡確定的平面為48四，以七平面4成打，且兩直線不平行,

故兩直線相交.

【變式1】如圖是正四面體（各面均為正三角形）的平面展開圖，G、從業(yè)A分別為應(yīng),、BE、EF、

優(yōu)的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，

①砥牙平行；②龍與，磔為異面直線；

③仍與的成60。角；④應(yīng)與網(wǎng)垂直.

以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是.

答案②③④

解析還原成正四面體知0/與"為異面直線，劭與腳為異面直線，G/Z與確成60°角，DEYMN.

解題要點(diǎn)1.空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：平行，相交和異面，要正確理解異面直線“不同

在任何一個(gè)平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個(gè)平面內(nèi)”.

2.對(duì)于較復(fù)雜幾何體的線面關(guān)系判定問(wèn)題，應(yīng)注意借助圖形，考察各點(diǎn)、線在空間中的相對(duì)位置.

3.正四面體的特性：對(duì)棱都異面且互相垂直，記住這個(gè)特性有助于快速解題.

考點(diǎn)三：平行公理與等角定理的應(yīng)用

例1.已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABC。一4耳G。中，M八分別是棱Q?、/如勺中點(diǎn).

求證：（1）四邊形MN4G是梯形；

（2）NDNM=ND\A、C\.

【證明】(1)如圖，連接4G

?；欣人分別是C。、/淵中點(diǎn)，

.小邠是三角形的中位線，

：.MN//AC,MN=-AC.

2

由正方體的性質(zhì)得：AC//AC】，AC=AC-

???〃￥〃AG，且MN=gaG，

即MN#AG，

，四邊形MNAG是梯形.

(2)由⑴可知物V〃A|G，

又因?yàn)榇?〃4。，

當(dāng)NAAG相等或互補(bǔ).

而/〃愀與ND|AG均是立角三角形的銳角，

NDNM=ND|AC一

例2.如圖所示，△ABC和△A'B'。的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA',BB',CC,交于同一點(diǎn)D,且

AOBOCO_2

ov-oF_0C-3'

(1)求證：AB//A'B',AC//A,C,BC//B'C'；

【解析】（1）VAAZ與BB'相交于0點(diǎn)，且*=A3〃43'.同理，ACHA'C',BCHB'C'.

OA'OB'

（2）VAB//A'B,,AC7/4C,；.AB和AC,A'B'和A'C'所成的

銳角（或直角）相等，即NBAC=N5'A'C.同理，ZABC=ZA'B'C,ZACB=ZA'C'B'.

又怨*二，..J/斗，

A'B'OA'3SM.B.C⑶9

【總結(jié)升華】“等角定理”是平面幾何中等角定理的類比推廣，但平面幾何中的“如果一個(gè)

角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”推廣到空間中就不成立.因此，

我們必須慎重地類比推廣平面幾何中的相關(guān)結(jié)論.

在運(yùn)用“等角定理”判定兩個(gè)角是相等還是互補(bǔ)的途徑有二：一是判定兩個(gè)角的方向是否相

同，若相同則必相等，若相反則必互補(bǔ)；二是判定這兩個(gè)角是否均為銳角或均為鈍角，若均是則

相等，若不均是則互補(bǔ).

【變式1］己知E、Ei分別是正方體ABCD-ABCD的棱AD、AD的中點(diǎn).

求證：ZBEC=ZB>EiC,.

證明:如圖，連接EE”

VEt>E分別為AD、AD的中點(diǎn)，.ME幺AE,

二四邊形AREA為平行四邊形,r.AiA^E.E.

又一AiA幺BiB,.，.EiE幺BB,

...四邊形EEBBi為平行四邊形，

；.EE〃EB.同理EC〃EC.

又NGEB與NCEB方向相同，ZC.E.BFZCEB.

考點(diǎn)四：異面直線判定問(wèn)題

例1.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段月8,CD,EF,GV在原正方體中互為異

面直線的對(duì)數(shù)為.

答案3

解析AB,CD,必和仍在原正方體中如圖所示，顯然43與mEgGH,/g都是異面直線，而

AgE碉交,磔與G/席i交，或與。平行.故互為異面的直線有且只有三對(duì).

考點(diǎn)五：異面直線所成角的求解

例1已知正方體4匐—45G4中，E、必下別為85、(%的中點(diǎn)，那么異面直線4西4廝成角的余

弦值為.

答案7

0

解析如圖，連接力；

因?yàn)榧优c總平行，所以/以口即為異面直線在與〃，所成角的平面角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則

、店2+后2—223

=FD=&由余弦定理得cos弦功叨=，丫2xJ工-----=稱

【變式1】直三棱柱/用一46￡中，若/厲1(7=90°,AB=AC=AA^,則異面直線砌與/G所成的角

等于.

答案60°

解析如圖，可補(bǔ)成一個(gè)正方體，

，陽(yáng)〃做.，豌與4G所成角的大小為N4初.

又易知△%能為正三角形，薇=60°.

即以與/G成60°的角.

解題要點(diǎn)求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共

面問(wèn)題來(lái)解決.根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，往往可

以選在其中?條直線上(線面的端點(diǎn)或中點(diǎn))利用三角形求解.

例2.如下圖，正方體AG中，E,F分別是AB,B￡的中點(diǎn)，求異面直線DBi與EF所成角的大小.

【解析】解法一：(直接平移法)如下圖1,連接AC,BD,并設(shè)它們相交于點(diǎn)0,取DDi的中

點(diǎn)G連接0G,GA?GC.,則0G〃DB”EF〃AC,，NG0A,為異面直線DBi與EF所成的角或其補(bǔ)角.

VGAFGCI,。為AC的中點(diǎn)，r.GO±A,C,.

...異而直線DBi與EF所成的角為90°.

國(guó)1

解法二：分別取AA”CG的中點(diǎn)M,N,

連接MN,則MN〃EF,如上圖2所示，連接DM,BiN,BM,DN,

則BN〃DM且氏N=DM,

四邊形DMBN為平行四邊形，

.?.MN與BD必相交，設(shè)交點(diǎn)為P,并設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則MP=也，。M=—,DP=—,

222

.*.DM2=DP2+MP2,，NDPM=90°,即DB」DF....異面直線DBi與即所成的角為90。.

【總結(jié)升華】求異面直線所成角的過(guò)程是將空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解的過(guò)程.通常是通過(guò)解

三角形求得.

【變式1】已知正方體ABCD-AffCiy中：

(1)BC與C。'所成的角為；

(2)AD與BC所成的角為.

【答案】(1)60。；(2)45。

【解析】連接84,，則84'〃C。'，連接AC',則NA'BC就是3C'與所成的角.

由△ABC為正三角形,

知NA'3C'=60°,

由AD〃BC,知/〃與BC所成的角就是NC'BC.

易知NC'BC=45°.

5

【變式2】正四棱錐人力比說(shuō)勺底面積為3,體積為一，￡為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則必與跳所成的

2

【答案】B

【解析】過(guò)頂點(diǎn)作垂線，交底面正方形對(duì)角線交點(diǎn)0,連接比,

正四棱錐一/腐粕底面積為3,體積為一，

2

PO=—,AB=y/3,AC=y/6,PA=y/2,OB=—

22

因?yàn)槭┡c/%在同一平面，是三角形/%曲中位線，

則/頗即為陽(yáng)與龐所成的角

所以。E,

2

在心△?？抵?，tan/OEB==V3,

OE

TT

所以NOEB=-

3

故選B

考點(diǎn)六：直線與平面的位置關(guān)系

例1.下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

①如果一條直線與一平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行;

②如果一條直線與一平面相交，那么這條直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直；

③過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與平面平行；

④一條直線上有兩點(diǎn)到一個(gè)平面的距離相等，則這條直線平行于這個(gè)平面.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】對(duì)于①，直線與平面平行，只是說(shuō)明直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，也就是直線與平面內(nèi)的

直線沒(méi)有公共點(diǎn)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線，其位置關(guān)系除了平行之外，還有異面.如下圖（1）中

正方體ABCD-ABCD-AB〃平面ABCD,AB與BC的位置關(guān)系是異面，并且容易知道，異面直線AB

與BC所成的角為90°,

因此命題①是錯(cuò)誤的.

對(duì)于③,如上圖（1）,VAiBi/ZAB,AD〃AD且AD,ABu平面ABCD,AD,AB（Z平面ABCD,

〃平面ABCD,AD〃平面ABCD,可以說(shuō)明過(guò)平面外一點(diǎn)不只有一條直線與己知平面平行，而

是有無(wú)數(shù)多條.可以想象，經(jīng)過(guò)平面,ABCD內(nèi)?點(diǎn)人的任一條直線，與平面ABCD的位置關(guān)系都是

平行的，，命題③也是錯(cuò)誤的.

對(duì)于④，我們可以繼續(xù)借助正方體ABCD-ABCD來(lái)舉反例，如上圖（2）,分別取AD,BC的中

點(diǎn)E,F,AD,BC的中點(diǎn)G,H,順次連接E、F、H、G,VE,F,H,G分別為AD,BC,BC,AD的

中點(diǎn)，二可以證明四邊形EFHG為平行四邊形，且該截面恰好把正方體一分為二，A,D兩個(gè)點(diǎn)到該

截面的距離相等，直線ADD平面EFIIG=E,...命題④也是錯(cuò)誤的.

對(duì)于②，把一直角三角板的一直角邊放在桌面內(nèi)，讓另一直角邊抬起，即另一直角邊與桌面

的位置關(guān)系是相交，可以得出在桌面內(nèi)與直角邊所在的直線平行的直線與另一直角邊垂直.

...正確的命題只有一個(gè)，應(yīng)選B.

【總結(jié)升華】對(duì)于直線與平面位置關(guān)系的命題真假的判斷問(wèn)題，要注意想象空間圖形，要把

直線與平面的各種位置關(guān)系都考慮到，特別是有些極端情形.

正方體（或長(zhǎng)方體）是立體幾何中的一個(gè)重要又最基本的模型.而且立體幾何的直線與平面

的位置關(guān)系都可以在這個(gè)模型中得到反映，因而人們給它以“百寶箱”之稱.本例中的命題①③

④就是利用這個(gè)“百寶箱”來(lái)判定它們的真假的.

【變式1】下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）.

①如果a、b是兩條直線，a//b,那么a平行于過(guò)b的任何一個(gè)平面；

②如果直線a滿足a〃a,那么a與平面a內(nèi)的任何一條直線平行；

③如果直線a、b滿足a〃a,b//a,Pllja/7b；

④如果直線a、b和平面a滿足a〃b,a〃a,b（Za,那么b〃a；⑤如果a與平面a內(nèi)的無(wú)

數(shù)條直線平行，那么直線a必平行于平面a.

A.0B.2C.1D.3

【答案】C

考點(diǎn)七：平面與平面的位置關(guān)系

例1.已知下列說(shuō)法：

①兩平面0〃/,。＜=&,b（=尸,則?！ā?；

②若兩個(gè)平面?！ā?，aua/u民則。與b是異面直線；

③若兩個(gè)平面a〃尸，。＜=7/＜=￡,則。與6一定不相交；

④若兩個(gè)平面a〃B,auu民則。與b平行或異面；

⑤若兩個(gè)平面?？凇?2，aua,則a與尸一定相交.

其中正確的序號(hào)是（將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）.

【答案】③④

【解析】①錯(cuò).。與人也可能異面.

②錯(cuò).。與b也可能平行.

③對(duì).「a"/?,a與夕無(wú)公共點(diǎn).又,：aua,buB,

二a與匕無(wú)公共點(diǎn).

④對(duì).由已知③知：a與b無(wú)公共點(diǎn)，那么a〃Z?或a與。異面.

⑤錯(cuò).a與尸也可能平行.

【總結(jié)升華】解答此類問(wèn)題，要把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為自然語(yǔ)言，根據(jù)兩平面間的位置關(guān)系，借

助空間想象能力求解.

【變式1】若兩個(gè)平面互相平行，則分別在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線（）

A.平行B.異面C.相交D.平行或異面

【答案】D

【解析】本題主要考查兩平面平行的特點(diǎn).當(dāng)兩平面平行時(shí)，這兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，分別

在這兩個(gè)平面內(nèi)的直線也必然沒(méi)有公共點(diǎn)，因此它們不是平行就是異面.

L能力提升

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）

①如果兩個(gè)平面有三個(gè)不在一條直線上的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合;

②兩條直線可以確定一個(gè)平面：

③空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)；

④若J/Ga,ac8=1,則MG/.

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B根據(jù)公理2,可判斷①是真命題：兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，故②是假命

題；在空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線不一定共面（如墻角），故③是假命題；根據(jù)平面的性質(zhì)

可知④是真命題.綜上，真命題的個(gè)數(shù)為2.

2.己知異面直線a,6分別在平面。，8內(nèi)，且an/=c,那么直線=定（）

A.與a,6都相交

B.只能與a,b中的一條相交

C.至少與a,6中的一條相交

D.與a,6都平行

解析：選C如果c與a,b都平行，那么由平行線的傳遞性知a,6平行，與異面矛盾.故選C.

3.己知4B,C,。是空間四點(diǎn)，命題甲：A,B,C,〃四點(diǎn)不共面，命題乙：直線/仆口而不相

交，則甲是乙成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A若4B,C,網(wǎng)點(diǎn)不共面，則直線4C和劭不共面，所以力麗做不相交；若直線”

和加不相交，若直線水利勿平行時(shí)，A,B,C,〃四點(diǎn)共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件.

4.（2019?銀川一中模擬）已知隰皮所在平面外的一點(diǎn)，機(jī)/T分別是49,PC的中點(diǎn)，若

=BC=4,為=4小，則異面直線以與網(wǎng)所成角的大小是（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

解析：選A如圖，取/儆中點(diǎn)〃連接〃MDM,由已知條件可得〃平=2/，加仁2.在△心舛,

16+12—4、分

N見(jiàn)瞅J異面直線為與物所成的角，則cosNOVQ--------.,.ZZZW=30°.

2X4X2~3幺

題組B能力提升練

1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)

B.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直

C.如果共點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，那么它們中每?jī)蓷l直線確定的平面也兩兩垂直

D.如果兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線一定平行

解析：選D兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條宜線必在同一平面內(nèi)，A正確，排除A；過(guò)直線外一

點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直，B正確，排除B；如果共點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，那么它們

中每?jī)蓷l直線確定的平面也兩兩垂直，C正確，排除C；如果兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，

那么這兩條直線不一定平行，D錯(cuò)誤，選D.

2.（2019?長(zhǎng)春質(zhì)檢）平面"，足的公共點(diǎn)多于兩個(gè)，則

①。，尸平行：

②a,￡至少有三個(gè)公共點(diǎn)；

③。，萬(wàn)至少有一條公共直線；

④。，B至多有一條公共直線.

以上四個(gè)判斷中不成立的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選C由條件知，當(dāng)平面%￡的公共點(diǎn)多于兩個(gè)時(shí)，若所有公共點(diǎn)共線，則。，￡相

交；若公共點(diǎn)不共線，則。，￡重合.故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立.

3.（2019?云南大理模擬）給出下列命題，其中正確的兩個(gè)命題是（）

①直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線與平面平行；

②夾在兩個(gè)平行平面間的兩條異面線段的中點(diǎn)連線平行于這兩個(gè)平面；

③直線0_1_平面a,直線〃_L直線例則,〃a；

④a,6是異面直線，則存在唯一的平面叫使它與a,6都平行且與a,6的距離相等.

A.①與②B.②與③

C.③與④D.②與④

解析:選D直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線可能與平面平行，也可能和平面相交；

直線w_L平面。，直線直線"，則直線〃可能平行于平面。，也可能在平面。內(nèi)，因此①③為假

命題.

4.（2019?成都模擬）在直三棱柱484中，平面。與棱4?,AC,4G,4區(qū)分別交于點(diǎn)反

F,G,H,且直線44〃平面a.有下列三個(gè)命題：

①四邊形硒川是平行四邊形；

②平面a〃平面龐1。歸；

③平面aJ_平面比7五

其中正確的命題有（）

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

解析：選C由題意畫出草圖如圖所示，因?yàn)?4〃平面。，平面aC平面

AABB=EH,所以44〃掰同理加?〃冊(cè)所以￡7/〃/又4%二46G是直三棱柱，易知EH=GF=

AAt,所以四邊形"i勿是平行四邊形，故①正確；若平面"〃平面比匕8,由平面0C平面484=

GH,平而aasn平面48G=8G,知副〃84,而6W86不一定成立，故②錯(cuò)誤；由/14L平面犯%;

結(jié)合44〃仍知加1平面宓叨，又仍匕平面。，所以平面。_L平面砥喏，故③正確.綜上可知，故

選C.

5.（2019?廣州模擬）如圖是一個(gè)幾何體的平面展開圖，其中四邊形4比媯正方形，E,而別

為PA,外的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：

①直線班'與直線"異面；

②直線跖與直線//異面；

③直線次〃平面陽(yáng)G

④平面優(yōu)良L平面為〃

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B畫出該幾何體，如圖所示，①因?yàn)橥?分別是處，切的中點(diǎn)，所以EF〃AD,所以

EF//BC,直線班、與直線0強(qiáng)共面直線，故①不正確；②直線86與直線/月商足異面直線的定義，故

②正確；③由發(fā)尸分別是用，/刃的中點(diǎn)，可知EF〃AD,所以EF〃BC,因?yàn)樾∑矫嫒鏑,Mz平面

PBC,所以宜線/〃平面"C,故③正確；④因?yàn)辇埮c陽(yáng)的關(guān)系不能確定，所以不能判定平面及方

_L平面/%〃，故④不正確.所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2.

6.（2019?常德期末）一個(gè)正方體的展開圖如圖所示，A,B,C,。為原正方體的頂點(diǎn)，則在原

來(lái)的正方體中（）

A

A.AB//CDB.46與謝I交

C.ABLCDD.4?與切所成的角為60。

解析：選D如圖，把展開圖中的各正方形按圖①所示的方式分別作為正方體的前、后、左、

右、上、下面還原，得到圖②所示的直觀圖，可得選項(xiàng)A、B、C不正確.圖②中，DE//AB,ACDE

為從當(dāng)功所成的角，為等邊三角形，.?./切￡=60°..?.正確選項(xiàng)為D.

7.（2019?成都檢測(cè)）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面

體稱為鱉嚅.如圖，在鱉脯被力中，4匹平面靦，且AB=BC=CD,則異面直線/片外所成角的余

弦值為（）

*

解析：選A如圖，分別取月區(qū)AD,BC,劭的中點(diǎn)區(qū)F,G,0,連接

EF,EG,OG,FO,FG,則所〃劭，EG//AC,所以/在6為異面直線”與的所成的角.易知內(nèi)。

//AB,因?yàn)?及L平面瓦力，所以尸。1面，設(shè)/16=2a,則%=即=ma,而=,+，=弧,所以/

FEG=6Q°,所以異面直線力占的所成角的余弦值為看故選A.

8.如圖所示，在空間四邊形493小，點(diǎn)￡,粉別是邊49,/幽中點(diǎn)，點(diǎn)凡。分別是邊6C,CD

上的點(diǎn)，且名=*=,,則下列說(shuō)法中正確的是_______（填序號(hào)）.

LDLU6

①砥時(shí)行；

②舒與酶面；

③跖與G//的交點(diǎn)/何■能在直線/C上，也可能不在直線46±；

④“與防的交點(diǎn)護(hù)~定在直線生上.

解析：連接防尸。（圖略），依題意，可得EH〃劭,FG//BD,椒EH"FG,所以左F,G,供面.因

12

為EH=：BD,FG=~BD,板EH^FG,所以0％力是梯形，鎮(zhèn)與67/必相交，設(shè)交點(diǎn)為，”因?yàn)辄c(diǎn).麻必1上,

故點(diǎn)，睢平面〃?上.同理，點(diǎn),臟E平面水方上，所以點(diǎn)也是平面/切與平面的交點(diǎn)，又力爆這兩個(gè)

平面的交線，所以點(diǎn)」/一定在直線4c上.

答案：④

9.（2019?南京模擬）己知。，￡為兩個(gè)不同的平面，m,〃為兩條不同的直線，則下列命題中

正確的是_______（填上所有正確命題的序號(hào)）.

①若a〃?，〃匚。，則如〃￡；

②若〃〃a,nua,則加〃n；

③若"_L￡,aC\J3=n,ml.n,則w_L￡；

④若〃_La,〃_LB,mA.a,貝iJm_L尸.

解析：由a〃萬(wàn)，ga,可得w〃￡,所以①正確；由m〃a,nua,可得如"平行或異面，

所以②不正確；由anp=n,必_L〃，可得/與￡相交或歸月，所以③不正確；由

n±j3,可得。〃?，又見(jiàn)，a,所以加，萬(wàn)，所以④正確.綜上，正確命題的序號(hào)是①?.

答案：（D@

10.如圖所示，/是所在平面外的一點(diǎn)，E,￡分別是比；/冰J中點(diǎn).

（1）求證：直線跖與即是異面直線；

（21若ACLBD,AC=BD,求￡7嗚物所成的角.

解：（1）證明：假設(shè)￡71與劭不是異面直線，則￡）嗚叱面，從而加嗚班共面，即49與比共面,

所以4B,C,麻同一平面內(nèi)，這與4是△應(yīng)晰在平面外的點(diǎn)相矛盾.故直線跖與影是異面直

線.

（2）取的中點(diǎn)G,連接EG,FG,^AC//FG,EG//BD,所以相交直線件與優(yōu)所成的角，即為異

面直線跖與物所成的角.又因?yàn)锳C1.BD,則尸￡!_砥.在RtZ\￡?行中，由跖=月7=，4求得/用。=

45°,即異面直線"'與他所成的角為45°.

題組C培優(yōu)拔尖練

一、單選題

1.（2021?江蘇如皋?高一期中）已知四面體48切的所有棱長(zhǎng)均為正,",A分別為棱/〃，

6c的中點(diǎn)，，為棱力6上異于4,6的動(dòng)點(diǎn).有下列結(jié)論：

①線段，柄的長(zhǎng)度為1;

②若點(diǎn)G為線段網(wǎng)上的動(dòng)點(diǎn)，則無(wú)論點(diǎn)咫@口何運(yùn)動(dòng)，直線內(nèi)G與直線都是異面直線；

③NMFN的余弦值的取值范圍為［0,乎）；

④AEWN周長(zhǎng)的最小值為夜+1.

其中正確結(jié)論的為（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【分析】

將正四面體力及切放置于正方體中，由弘A所處位置即可判斷①；取AB,MN,C舛點(diǎn)eG,E,

探討它們的關(guān)系可判斷②；

計(jì)算cosZMBN可判斷③；把正八48與正△AD8展開在同一平面內(nèi)，計(jì)算即可判斷④并作答.

【詳解】

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體上取頂點(diǎn)兒B,C,D,并順次連接即可得四面體4比》,其棱長(zhǎng)均為

因M八分別為棱式的中點(diǎn)，則MM合為正方體相對(duì)面的中心，即加口，①正確；

取48的中點(diǎn)凡例1的中點(diǎn)G,5的中點(diǎn)石由正方體的結(jié)構(gòu)特征知凡G,￡共線，即直線內(nèi)G與直

線切交于②不正確：

△MBN中，BM=4BD2-DM?=J（血］一（弓二=弓,BN=與,MN=\,由余弦定理得：

cosNMBN=BN+」"-MN=3>亞，當(dāng)點(diǎn)/無(wú)限接近于點(diǎn)姍?，cosZMFN無(wú)限接近于—,

2BNBM353

③不正確；

把四面體4?龍中的正A4CB與正△453展開在同一平面內(nèi)，連接MV,如必過(guò),4弼中點(diǎn)，在4?

上任取點(diǎn)F,連MF',NF',如圖，

此時(shí)，/9+*'2改7=應(yīng)，肖且僅當(dāng)點(diǎn)尸'與線段力加點(diǎn)重合時(shí)取“=”，則對(duì)被上任意點(diǎn)尸,

MF+NF有最小值日

于是得在四面體4比2沖，A/TWN周長(zhǎng)MF+N尸+朋N有最小值垃+1，④正確，

所以①④為正確的結(jié)論.

故選：D

2.（2021?安徽?東至縣第二中學(xué)高一期末）在正三棱柱ABC-A4G中，AC=M=2,點(diǎn)"

是線段3G的中點(diǎn)，點(diǎn)八是線段45的中點(diǎn)，記直線AM與G所成角為a,二面角A-8C-4的

平面角為夕，則（）

A.a=/3B.a>PC.a<pD.a=2"

【答案】B

【分析】

依題意作出異面直線所成角的平面角，以及二面角的平面角，再根據(jù)銳角三角函數(shù)計(jì)算，即

可判斷；

【詳解】

解.：過(guò)點(diǎn)A作AM//CN且AM=CN,連接MM，則NMAM為直線AM與直線CN所成角，即

NM%N\=a.過(guò)點(diǎn)〃作MG_L8G，垂足為點(diǎn)G,則由題意易知G為B,G的中點(diǎn)，連接4例，

GN、,因?yàn)?c=e=2,所以AN=g,4G=石，易知NGAM=60。，所以62=百，又正

三棱柱ABC-ABC中，MGLGN、,所以知乂="MG?+GN：=業(yè)+（可=2,

=2,于?是cosa=cosNM41M=2+（-/=）,故tana="一

2x2xJ343

取BC的中點(diǎn)。，連接A。，40,因?yàn)槿庵弧?48￡是正三棱柱，且4c=M，所以易

知NA?A即為二面角A-8C-A的平面角，即NAQA=夕.在正AABC中，AQ=&,則

2_2百因?yàn)閠ana=^>￥=tan〃，且正切函數(shù)在（。，^）上單調(diào)遞

tan[}=tanZAQA=

}笈二亍.

增,所以。>分，且tanaxtan24,

故選：B.

3.（2021?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖所示，正方體力式》4〃心〃的棱長(zhǎng)為1,線段笈〃上有

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)色FRE六顯,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

2

A.ACLBEB.EF//平面ABCD

C.三棱錐止8牙的體積為定值D.異面直線力￡毋所成的角為定值

【答案】D

【解析】

A.通過(guò)線面的垂直關(guān)系可證真假；B.根據(jù)線面平行可證真假；C.根據(jù)三棱錐的體積計(jì)算的

公式可證真假；D.根據(jù)列舉特殊情況可證真假.

【詳解】

A.因?yàn)锳C，B￡>,ACJ.￡>A，￡>An8O=。，所以AC,平面B￡>￡?￡,

又因?yàn)锽Eu平面所以ACL8E,故正確；

B.因?yàn)镈'B、"DB,所以砂〃。B,且EF丈平面ABC。，DBu平面ABCD,

所以EF〃平面ABCD，故正確；

C.因?yàn)閖"=乜后八四=字為定值，A到平面8切出的距離為〃=；AC=*,

所以匕一詆=g?臬詆/=5為定值，故正確;

D.當(dāng)ACnBQ|=E,ACcM=G,取F為片，如下圖所示:

因?yàn)锽FUEG,所以異面直線AE,8/所成角為/AEG,

同廠

且tan4EG=02二,

GE12

當(dāng)4￡0與2=尸，ACnBD=G,取E為R,如下圖所示:

因?yàn)镽F//G8,。尸=GB,所以四邊形AGBF是平行四邊形，所以8F//RG,

e

AG2

所以異面直線AE,BF所成角為NAEG,且tan/AEG=%M

5-3，

1+聲

2

由此可知：異面直線AE,3尸所成角不是定值，故錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及

三棱錐體積的計(jì)算，難度較難.注意求解異面直線所成角時(shí)，將直線平移至同一平面內(nèi).

4.（2021?全國(guó)?高一專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCn-ABGR中，E,F,G分別

是棱A3,BC,CG的中點(diǎn)，P是底面ABCO內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線RP與平面EFG沒(méi)有公共點(diǎn),

則三角形戶84面積的最小值為（）

A.1B.vC.—

22。?亨

【答案】D

【分析】

根據(jù)直線4尸與平面EFG沒(méi)有公共點(diǎn)M知AP〃平面EFG.將截面E尸G補(bǔ)全后,可確定點(diǎn)P的

位置,進(jìn)而求得三角形戶B4面積的最小值.

【詳解】

由題意E,F,G分別是棱4B,BC,CG的中點(diǎn)，補(bǔ)全截面EPG為EFGHQR,如下圖所示：

因?yàn)橹本€RP與平面EFG沒(méi)有公共點(diǎn)

所以RP〃平面EFG,即D}P//平面EFGHQR,平面EFG//平面EFGHQR

此時(shí)尸位于底面對(duì)角線AC上，且當(dāng)P與底面中心0重合時(shí)，BP取得最小值

此時(shí)三角形尸88,的面積最小

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì)與應(yīng)用，過(guò)定點(diǎn)截面的作法,屬于難題.

5.（2021?浙江?高一期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CO-4BCQ中，V是力石的中

點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)面CO0G上的動(dòng)點(diǎn)，且則線段MP長(zhǎng)度的取值范圍是

B.[76,2^]

D.[后巧

【答案】B

【分析】

取8的中點(diǎn)N,Cq的中點(diǎn)R,4G的中點(diǎn)根據(jù)面面平行的判定定理，得到平面MNRH//

平面ABC，確定線段MP掃過(guò)的圖形是JWM?,再由題中數(shù)據(jù)，得到/MRN是直角，進(jìn)而即

可求出結(jié)果.

【詳解】

取CD的中點(diǎn)N,CG的中點(diǎn)R,的中點(diǎn)則MN〃用C//HR,MH//AC,

二平面MNRH〃平面A&C,

；.MPu平面MNRH,線段MP掃過(guò)的圖形是AMNR

VAB=2,：.MN=2y/2,NR=>/2,MR=y［6,

MN2=NR?+MR2,，ZMRN是直角，

???線段MP長(zhǎng)度的取值范圍是［6,2夜］.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查面面平行的判定，熟記面面平行的判定定理即可，屬于?？碱}型.

6.（2019?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）己知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，當(dāng)

正六棱柱的體積取最大值時(shí)，其高的值為（）

A.36B.yfiC.2瓜D.2幣1

【答案】D

【分析】

根據(jù)正六棱柱和球的對(duì)稱性，球心。必然是正六棱柱上下底面中心連線的中點(diǎn)，作出過(guò)正六

棱柱的對(duì)角面的軸截面即可得到正六棱柱的底面邊長(zhǎng)、高和球的半徑的關(guān)系，在這個(gè)關(guān)系下

求得函數(shù)取得最值的條件即可求出所要求的量.

【詳解】

以正六棱柱的最大對(duì)角面作截面如圖，設(shè)球心為。，正六棱柱的上下底面中心分別為。—02

則。是。一。2的中點(diǎn)，設(shè)高為2〃，設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，則1+/=9,，/二鄉(xiāng)―川，...

V=6x乎a?”*￥（9一*必,丫=27回-3島\V=27石-9同=0,二/?=5:.

h=乖＞t2h=2-73..

【點(diǎn)睛】

本題重點(diǎn)考查球的內(nèi)接幾何體的知識(shí)，將空間幾何體與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用相結(jié)合是解題的關(guān)鍵，考

查了學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力.

7.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知四面體ABCO為正四面體，AB=2,E,尸分別

是ARBC中點(diǎn).若用一個(gè)與直線EF垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面。去截該四面

體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為.

A.1B.72C.GD.2

【答案】A

【分析】

通過(guò)補(bǔ)體，在正方體內(nèi)利用截面為平行四邊形MVK"有AK+KL=2,進(jìn)而利用基本不等式可

得解.

【詳解】

補(bǔ)成正方體，如圖.

二截面為平行四邊形腦VKL,可得NK+KL=2,

又MN"AD,KL"BC,旦AD工BC,:.KN1KL

可得SmmKl.=NK-KL<（"A廣與②=1,當(dāng)且僅當(dāng)NK=KL時(shí)取等號(hào),選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面的位置關(guān)系，截面問(wèn)題，考查了空間想象力及基本不等式的應(yīng)用，屬于

難題.

8.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A88-A4CQ中，點(diǎn)區(qū)產(chǎn)分

別是棱BC,CG的中點(diǎn)，P是側(cè)面BCGA內(nèi)一點(diǎn)，若Af〃平面AEF,則線段AP長(zhǎng)度的取

值范圍是

A?（乎，事B.苧亭C.[1,當(dāng)D.[0,當(dāng)

【答案】B

【詳解】

分析：先判斷出點(diǎn)尸的位置，確定使得AP取得最大值和最小值時(shí)點(diǎn)P的位置，然后再通過(guò)計(jì)

算可求得線段47長(zhǎng)度的取值范圍.

詳解：如下圖所示，分別取棱明,BC的中點(diǎn)肌M連必MBG，

???M,ME,F分別為所在棱的中點(diǎn)，則MNIIBC?EF||BCX,

：.MN//EF,又，物世平面4防四上平面力跖

物〃平面45尸.

???A4|||NE,AA=NE,

???四邊形AENA為平行四邊形，

A.N//AE,

又AN平面AEF,J￡c平面AEF,

：.AN〃平面力與

又A'NCMN=N,

平面AMV〃平面力戰(zhàn)

???隰側(cè)面BCCM內(nèi)一點(diǎn)，且AP〃平面/能

...點(diǎn)尸必在線段W上.

在Rt\A,B,M中，A,M=在B：+B"=Jl+夕=與.

同理，在RfA^BN中，可得&N二好,

，A/VWN為等腰三角形.

當(dāng)點(diǎn)出拗中點(diǎn)洞，"LMN,此時(shí)4/最短；點(diǎn)他于K八處時(shí)，AP最長(zhǎng).

?'4。=-OM~=J（坐）2_（曰）2==AtN=￥.

線段Af長(zhǎng)度的取值范圍是[乎,4].

故選B.

點(diǎn)睛：本題難度較大，解題時(shí)要借助幾何圖形判斷得出使得AP取得最值時(shí)的點(diǎn)P的位置，然

后再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

9.（2019?浙江?高考真題）設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是棱儂

上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線P8與直線AC所成角為&,直線依與平面A8C所成角為夕，二

面角P-AC-3的平面角為/,則

A./3<Y，a<YB.（3<a,/3<Y

C.B<a,y<aD.a</3,y</3

【答案】B

【解析】

本題以三棱銖為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，

以及各種角的計(jì)算.解答的基本方法是通過(guò)明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)求解，而后比較大

小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.

【詳解】

方法1：如圖G為AC中點(diǎn)，V在底面ABC的投影為。，則P在底面投影O在線段A。上，過(guò)。

作。E垂直4E,易得PEUVG,過(guò)戶作PF〃AC交出于尸，過(guò)。作O”〃AC,交BG于H,

PFEGDHBD

則a=N8P￡B=NPBD，Y=/PED,則cosa=---=---<---=cosp,即a>夕,