新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)5 .1 任意角和弧度制

Chapter5

第五章三角函數(shù)

5.1任意角和弧度制

5.1.1任意角

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解任意角的概念，區(qū)分正角、負(fù)角與零角2理解并掌握終邊相同的角的概念,

能寫(xiě)出終邊相同的角所組成的集合.3.了解象限角的概念.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

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知識(shí)點(diǎn)一任意角

1.角的概念：

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

2.角的表不：

如圖，0A是角a的始邊,0B是角a的終邊,。是角a的頂點(diǎn).角a可記為“角a”或“Na”

或簡(jiǎn)記為“a”.

思考南的概念中主要包含哪些要素？

答案角的概念包含的三要素為：頂點(diǎn)、始邊、終邊.

3.角的分類：

名稱定義圖示

正角按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角"A

負(fù)角按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角

零角一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角----------4(B)

知識(shí)點(diǎn)二角的加法與減法

設(shè)a,"是任意兩個(gè)角，—a為角a的相反角.

（l）a+A把角a的終邊旋轉(zhuǎn)角6.

（2）a—/：a-6=a+（—￡）.

知識(shí)點(diǎn)三象限角

把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那

么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這

個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

思考“銳角”"第一象限角”“小于90。的角”三者有何不同？

答案銳角是第一象限角也是小于90。的角，而第一象限角可以是銳角，也可以大于360。，

還可能是負(fù)角，小于90。的角可以是銳角，也可以是零角或負(fù)角.

知識(shí)點(diǎn)四終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合5={用夕=a+k360。，kb},即

任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和.

思考終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？

答案終邊相同的角不一定相等，它們相差360。的整數(shù)倍；相等的角終邊相同.

■思考辨析判斷正誤

1.第二象限角是鈍角.（X）

2.終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.（V）

3.終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360。的整數(shù)倍.（V）

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

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一、任意角的概念

例1下列結(jié)論：

①三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角；

②始邊相同而終邊不同的角一定不相等；

③小于90。的角為銳角；

④鈍角比第三象限角小；

⑤小于180。的角是鈍角、直角或銳角.

其中正確的結(jié)論為（填序號(hào)）.

答案②

解析①90。的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正確；

②始邊相同而終邊不同的角一定不相等，故②正確；

③小于90。的角可以是零角，也可以是負(fù)角，故③不正確；

④鈍角大于一100°的角，而一100。的角是第三象限角，故④不正確；

⑤0°角或負(fù)角小于180。，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故⑤不正確.

反思感悟理解與角的概念有關(guān)的問(wèn)題關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍南、平角、

周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小.另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的

技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可.

跟蹤訓(xùn)練1若手表時(shí)針走過(guò)4小時(shí)，則時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為()

A.120°B.-120°C.-60°D.60°

答案B

,,,,4

解析由于時(shí)針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為負(fù)數(shù)，即為一萬(wàn)乂360。=-120。.

二、終邊相同的角及象限角

例2將下列各角表示為左360。+0((依2,0假61<360。)的形式，并指出是第幾象限角.

(1)420°；(2)-510°；(3)1020°.

解(1)420°=360°+60°,

而60。角是第一象限角，故420。是第一象限角.

(2)-510°=-2X360°+210°,

而210。是第三象限角，故一510。是第三象限角.

(3)1020°=2X360°+300°,

而300。是第四象限角，故1020。是第四象限角.

反思感悟首先把各角寫(xiě)成上360。+a(AGZ,0°Wa<360。)的形式，然后只需判斷a所在的象限

即可.

跟蹤訓(xùn)練2(1)在四個(gè)角20。，-30°,100°,220。中，第二象限角的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

答案B

(2)與一460。角終邊相同的角可以表示成()

A.4600+k360°,kS

B.100。+上360。，kGZ

C.260°+k360°,kGZ

D.-260°+^-360°,左ez

答案C

解析因?yàn)橐?60。=260。+(—2)X360。，故一460。可以表示成260。+心360。，kU,故選C.

三、區(qū)域角的表示

例3已知角a的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角a的取值范圍.

解終邊在30。角的終邊所在直線上的角的集合為N={a|a=3()o+上180。,左^2},終邊在180。

一75。=105。角的終邊所在直線上的角的集合為52={30(=105。+4J80。，k^Z],因此，終邊

在圖中陰影部分內(nèi)的角a的取值范圍為{碘0。+左180。遼61<：105。+-180。,左GZ}.

反思感悟表示區(qū)域角的三個(gè)步驟

第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；

第二步：分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的一180。?180。范圍內(nèi)的角a和P，寫(xiě)出最簡(jiǎn)區(qū)間

{x\a<x<P];

第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角a,￡再加上360。的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合.

跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，寫(xiě)出頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分

的角的集合.

解如題圖(1)所示，以O(shè)B為終邊的角有330。角，可看成是一30。,

...以O(shè)B為終邊的角的集合分別是：

Si={x|x=75°+L360°,AGZ},

8={尤|尤=一30°+/360°,kJZ].

???終邊落在陰影部分的角的集合為

{4上360°-30°W6Wk360°+75°,k^Z].

如題圖(2)所示，以02為終邊的角有225。角，可看成是一135。，

終邊落在陰影部分的角的集合為

{a—135°+k360°W6W135°+k360°,k《Z}.

?核心素養(yǎng)之邏輯推理?

確定na及系斤在的象限

典例已知a是第二象限角，求角￡所在的象限.

解方法一是第二象限角,

上360°+90°<a<人360°+180°（左￡Z）.

與360。+45°<^<|-360°+90°（左eZ）.

當(dāng)上為偶數(shù)時(shí)，令k=2n(nGZ),得

n

n?360°+45°<2<n-360°+90°,

這表明今是第一象限角；

當(dāng)上為奇數(shù)時(shí)，令4=2"+l(wGZ),得

a

n-360°+2253600+270°,

這表明］是第三象限角.

為第一或第三象限角.

方法二如圖，

先將各象限分成2等份，再?gòu)膞軸正半軸的上方起，按逆時(shí)針?lè)较颍来螌⒏鲄^(qū)域標(biāo)上一、

二、三、四，則標(biāo)有二的區(qū)域即為3的終邊所在的區(qū)域，故卷為第一或第三象限角.

延伸探究

1.在本例條件下，求角2a的終邊的位置.

解?.七是第二象限角，

3600+90°<ct<^360°+l80°aeZ).

k-720°+180°<2a<k-720。+360。(止Z).

.?.角2a的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上.

2.若本例條件中角a變?yōu)榈谌笙藿?，求角是第幾象限?

解如圖所示，

先將各象限分成2等份，再?gòu)膞軸正半軸的上方起，按逆時(shí)針?lè)较?，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、

二、三、四，則標(biāo)有三的區(qū)域即為角3的終邊所在的區(qū)域，故角3為第二或第四象限角.

［素養(yǎng)提升］分類討論時(shí)要對(duì)左的取值分以下幾種情況進(jìn)行討論：女被"整除；左被"除余1;

女被w除余2,…，人被“除余”一1.然后方可下結(jié)論.幾何法依據(jù)數(shù)形結(jié)合，簡(jiǎn)單直觀.通

過(guò)該類問(wèn)題，提升邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng).

隨堂演練----------基-礎(chǔ)-鞏-固、學(xué)-以-致-用-

1.與一30。終邊相同的角是（）

A.-330°B.150°C.30°D.330°

答案D

解析因?yàn)樗信c一30。終邊相同的角都可以表示為。=左360。+（—30。），kRZ,取左=1,得

a=330°.

2.—240°是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案B

解析因?yàn)橐?40。角的終邊落在第二象限，故為第二象限角.

3.下列說(shuō)法正確的是（）

A.銳角是第一象限角B.第二象限角是鈍角

C.第一象限角是銳角D.第四象限角是負(fù)角

答案A

解析由于銳角范圍是0°<a<90。，顯然是第一象限角；

—200。是第二象限角，但不是鈍角；380。是第一象限角，但不是銳角；330。是第四象限角，

但不是負(fù)角.

4.終邊與坐標(biāo)軸重合的角a的集合是（）

A.{a|a=/360°,kGZ}

B.{a|a=kl80°+90°,kGZ}

C.{a|a=kl80。,<ez}

D.{a|a=%,90。，kGZ）

答案D

解析終邊在坐標(biāo)軸上的角大小為90?；?0。的整數(shù)倍，所以終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合為

{a|a=/90°,kez}.故選D.

5.已知角a的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)（不包含邊界），那么角a的集合是.

3（汾、、/徐。

O

答案{a\k-360°+45°<a<k-360°+150°,左GZ}

解析觀察圖形可知，角a的集合是{砒-360。+45。*<左360。+150。，kGZ].

?課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

⑴任意角的概念.

⑵終邊相同的角與象限角.

（3）區(qū)域角的表示.

2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合，分類討論.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：銳角與小于90。角的區(qū)別，終邊相同角的表示中漏掉上GZ.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

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X基礎(chǔ)鞏固

1.—870。角的終邊所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

解析一870°=-3X360°+210°,

；.一870。是第三象限角,故選C.

2.與一457。角的終邊相同的角的集合是（）

A.{砒/=457。+/360。，AGZ}

B.{a|ct=97°+^360°,kH}

C.{a|a=263°+k360°,k^Z]

D.{a|a=—263°+k360°,kU]

答案C

3.下面各組角中，終邊相同的是（）

A.390°,690°B.—330°,750°

C.480°,-420°D.3000°,-840°

答案B

解析因?yàn)橐?30°=-360°+30°,750°=720°+30°,

所以一330。與750。終邊相同.

4.下面說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）

①第二象限角大于第一象限角；

②終邊在x軸非負(fù)半軸上的角是零角;

③鈍角是第二象限角.

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析第二象限角如120。比第一象限角390。要小，故①錯(cuò)；360。的整數(shù)倍的角終邊都在x軸

非負(fù)半軸上，故②錯(cuò)；③中鈍角是第二象限角是對(duì)的.所以正確的只有1個(gè).

5.若a是第四象限角，則180。一a是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案C

解析可以給a賦一特殊值一60。，

貝I180。-6(=240。，故180。一(/是第三象限角.

6.50。角的始邊與無(wú)軸的非負(fù)半軸重合，把其終邊按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)3周，所得的角是—.

答案一1030。

解析順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)3周轉(zhuǎn)了一(3X360。)=一1080°.

又50。+(—1080°)=-1030°,故所得的角為一1030。.

7.與一2019。角終邊相同的最小正角是.

答案141°

解析因?yàn)橐?019°=—6X360°+141。，

所以所求角為141°.

8.在0。?360。范圍內(nèi)，與角一60。的終邊在同一條直線上的角為.

答案120°,300°

解析根據(jù)終邊相同角定義知，與一60。終邊相同角可表示為尸=-60。+k360。(462),當(dāng)k

=1時(shí)￡=300。與一60。終邊相同，終邊在其反向延長(zhǎng)線上且在0。?360。范圍內(nèi)的角為120°.

9.在0。?360。范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角.

(1)-150°；(2)650°.

解(1)因?yàn)橐?50。=-360。+210。,所以在。。?360。范圍內(nèi)，與一150。角終邊相同的角是210。

角，它是第三象限角.(2)因?yàn)?50。=360。+290。，所以在0。?360。范圍內(nèi)，與650。角終邊相

同的角是290。角，它是第四象限角.

10.寫(xiě)出終邊在下列各圖所示陰影部分內(nèi)的角的集合.

解先寫(xiě)出邊界角，再按逆時(shí)針順序?qū)懗鰠^(qū)域角，則得

(l){a|30°+左360°WaW150°+左-360°,k^Z].

(2){a|150°+上360°WaW390°+左-360°,JteZ).

X綜合運(yùn)用

11.若a=、180°+45°，GZ),則6(在()

A.第一或第三象限B.第一或第二象限

C.第二或第四象限D(zhuǎn).第三或第四象限

答案A

解析當(dāng)k=2m+l(mGZ)時(shí)，

ct=2m-180°+225°=w-360°+225°,

故a為第三象限角；

當(dāng)左=2加(〃zGZ)時(shí)，a=%-3600+45°,

故a為第一象限角.

故a在第一或第三象限.

12.若a是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是()

A.90°-aB.90°+a

C.360°—aD.180°+ct

答案C

解析特例法，取a=30。，可知C正確.作為選擇題，用特例求解更簡(jiǎn)便些.一般角所在的

象限討論，應(yīng)學(xué)會(huì)用旋轉(zhuǎn)的方法找角所在的象限.如，a+90°,將角a的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

a-90。，則將a的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，角180。+.的終邊為角a的終邊反向延長(zhǎng)線，180。

-a,先將角a的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，再關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可得到180。一a的終邊等等.

13.已知角a的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，那么a的取值范圍是—.

答案{a|n-180°+30°<a<n-180°+150°,ziEZ）

解析方法一（并集法）

在0。?360。范圍內(nèi)，終邊落在陰影內(nèi)的角為30。<好150。和210。*<330。.

所以ae{a\k-360°+30°<a<^360°+150°,左GZ}U{a|k360°+210°<a<左360°+330°,kQZ}

={a|2k?180°+30°<a<2k180°+150°,左eZ}U{a［（2左+1）?180°+30°<a<（2%+1）-180°+150°,

AeZ}={砒及180。+30°<c??-180o+150o,