2025屆高三一輪復習數(shù)學試題(人教版新高考新教材)考點規(guī)范練14　導數(shù)的概念、意義及運算

考點規(guī)范練14導數(shù)的概念、意義及運算一、基礎鞏固1.已知函數(shù)f(x)=3x+1,則limΔxA.-13 B.C.23 D.答案:A解析:limΔx→0f(1-Δ2.(多選)下列各式正確的是()A.(x-5)'=-5x-6 B.(cosx)'=sinxC.(sinx)'=cosx D.sinπ3'=答案:AC解析:(x-5)'=-5x-6,A正確;(cosx)'=-sinx,B錯誤;(sinx)'=cosx,C正確;sinπ3'=0,D3.已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(2-x)=2x2-7x+6,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程是()A.y=2x-1 B.y=xC.y=3x-2 D.y=-2x+3答案:C解析:令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6,得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化簡整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,則f'(x)=4x-1,可得f(1)=1,f'(1)=3,故所求切線方程為y-1=3(x-1),即y=3x-2.4.已知y=f(x)是可導函數(shù),如圖,直線y=kx+2是曲線y=f(x)在點(3,f(3))處的切線,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的導函數(shù),則g'(3)等于()A.-1 B.0 C.2 D.4答案:B解析:由題圖可知曲線y=f(x)在點(3,f(3))處切線的斜率等于-13,故f'(3)=-1∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x),∴g'(3)=f(3)+3f'(3).又由題圖可知f(3)=1,∴g'(3)=1+3×-13=5.已知曲線f(x)=x3-x+3在點P處的切線平行于直線y=2x-1,則點P的坐標為()A.(1,3) B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)答案:C解析:∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1.設點P(x,y),則f'(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,故P(1,3)或(-1,3).經(jīng)檢驗,點(1,3),(-1,3)均不在直線y=2x-1上,符合題意.故選C.6.設曲線y=e2ax(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))在點(0,1)處的切線及直線2x-y-1=0和兩坐標軸的正半軸所圍成的四邊形有外接圓,則a等于()A.-1 B.-1C.14 D.答案:B解析:由題意,令函數(shù)f(x)=e2ax,可得f'(x)=2ae2ax,則f'(0)=2a,即曲線y=e2ax在點(0,1)處的切線的斜率為k=2a,所以切線方程為y-1=2ax,即y=2ax+1,要使得切線與直線2x-y-1=0和兩坐標軸的正半軸所圍成的四邊形有外接圓,則滿足兩直線垂直,即2a×2=-1,解得a=-147.已知函數(shù)f(x)=-12x2+2xf'(2024)+2024lnx,則f'(2024)=.答案:2023解析:由題意,得f'(x)=-x+2f'(2024)+2因此有f'(2024)=-2024+2f'(2024)+20242024,所以f'(2024)8.設函數(shù)f(x)=exx+a.若f'(1)=e4答案:1解析:對函數(shù)f(x)=exx+a求導得f'(x)=ex(x+a-19.設函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線的斜率為.

答案:4解析:由導數(shù)的幾何意義及條件,得g'(1)=2.∵函數(shù)f(x)=g(x)+x2,∴f'(x)=g'(x)+2x,∴f'(1)=g'(1)+2=4,∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線的斜率為4.10.已知函數(shù)f(x)=lnxx+a,且f'(1)=1,則a=,曲線y=f(x)在點(e,f答案:0y=1解析:由f(x)=lnxx+a,得f'(x因為f'(1)=1,即11+a=1,解得a=0,所以f(x)=lnxx,f'(x所以f(e)=1e,f'(e)=0,所以曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線方程為y=111.若函數(shù)f(x)=12x2-ax+lnx的圖象存在垂直于y軸的切線,則實數(shù)a的取值范圍是.答案:[2,+∞)解析:∵f(x)=12x2-ax+lnx(x>∴f'(x)=x-a+1x∵函數(shù)f(x)的圖象存在垂直于y軸的切線,∴f'(x)存在零點,∴x+1x-a=0有解,∴a=x+1x當且僅當x=1時,取等號.12.設曲線y=lnx與y=(x+a)2有一條斜率為1的公切線,則a=.

答案:-3解析:因為y=lnx,所以y'=1x又因為切線的斜率為1,所以y'=1x=1,解得x=1,y=0,所以切線方程為y=x-1因為y=(x+a)2,所以y'=2x+2a,令y'=1,解得x=12-a代入切線方程得y=-12-a,再將12-a,-12解得a=-34二、綜合應用13.若函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導函數(shù)的圖象如圖所示,則y=f(x),y=g(x)的圖象可能是()答案:D解析:由y=f'(x)的圖象知y=f'(x)在區(qū)間(0,+∞)內單調遞減,說明函數(shù)y=f(x)圖象的切線的斜率在區(qū)間(0,+∞)內也單調遞減,故可排除A,C.又由圖象知y=f'(x)與y=g'(x)的圖象在x=x0處相交,說明y=f(x)與y=g(x)的圖象在x=x0處的切線的斜率相同,故可排除B.故選D.14.若點P是曲線y=x2-lnx上任意一點,則點P到直線y=x-2的距離的最小值為()A.1 B.2 C.22 D.答案:B解析:因為函數(shù)y=x2-lnx的定義域為(0,+∞),所以y'=2x-1x(x>0).令2x-1x=1,解得x=1,則曲線在點P(1,1)處的切線方程為x-y=0,所以兩平行線間的距離為d=22=15.(多選)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質,則下列函數(shù)中具有T性質的是()A.y=cosx B.y=lnx C.y=ex D.y=x2答案:AD解析:由題意,若y=f(x)具有T性質,則存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1.對于選項A,因為f'(x)=-sinx,所以存在x1=π2,x2=-π2,使得f'(x1)f'(x2)對于選項B,因為f'(x)=1x>0,所以不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-對于選項C,因為f'(x)=ex>0,所以不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1;對于選項D,因為f'(x)=2x,所以存在x1=1,x2=-14,使得f'(x1)f'(x2)=4x1x2=-1.故選AD16.已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)-g(x)=ex+x2+1,則函數(shù)h(x)=2f(x)-g(x)的圖象在點(0,h(0))處的切線方程是.

答案:x-y+4=0解析:∵f(x)-g(x)=ex+x2+1,且f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),∴f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=e-x+x2+1,∴f(x)=ex+e-x+2x2∴h(x)=2f(x)-g(x)=ex+e-x+2x2+2-e-x-ex2=32ex+∴h'(x)=32ex-12e-x+4x,即h'(0)=32又h(0)=4,∴切線方程為x-y+4=0.三、探究創(chuàng)新17.定義:函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內的導函數(shù)為f'(x),f'(x)在區(qū)間(a,b)內的導函數(shù)為f″(x),若在區(qū)間(a,b)內f″(x)<0恒成立,則稱函數(shù)f(x)是在區(qū)間(a,b)內的“嚴格凸函數(shù)”,稱區(qū)間(a,b)為函數(shù)f(x)的“嚴格凸區(qū)間”,則下列命題是真命題的為.(填序號)

①函數(shù)f(x)=-x3+3x2+2在區(qū)間(1,+∞)內為“嚴格凸函數(shù)”;②函數(shù)f(x)=lnxx的“嚴格凸區(qū)間”為0,e3③若函數(shù)f(x)=ex-m2x2在區(qū)間(1,4)內為“嚴格凸函數(shù)”,則實數(shù)m的取值范圍為[e,+∞)答案:①②解析:f(x)=-x3+3x2+2的導函數(shù)f'(x)=-3x2+6x,f″(x)=-6x+6,故f″(x)<0在區(qū)間(1,+∞)內恒成立,所以函數(shù)f(x)=-x3+3x2+2在區(qū)間(1,+∞)內為“嚴格凸函數(shù)”,所以①為真命題;f(x)=lnxx的導函數(shù)f'(x)=1-lnxx2,f