橢圓中6種?？蓟A(chǔ)題型

第19講橢圓中6種?？蓟A(chǔ)題型

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：橢圓的通徑

過橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為生.

考點(diǎn)二：橢圓中有關(guān)三角形的周長問題

如圖一所示：公尸士尼的周長為2a+2c

如圖一所示：A4BC的周長為4。

考點(diǎn)三：橢圓上一點(diǎn)的有關(guān)最值

①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長軸的兩個(gè)端點(diǎn).

②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長軸的兩個(gè)端點(diǎn).

距離的最大值為a+c,距離的最小值為

考點(diǎn)四：橢圓的離心率

rM2_^212

橢圓的離心率e=—（0<e<1）,e2———-=1--

aa"a"a"

考點(diǎn)五：橢圓焦點(diǎn)三角形的面積為S=b2-tan0（0為焦距對應(yīng)的張角）

2

考點(diǎn)六：中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法）

中點(diǎn)弦問題：若橢圓與直線/交于4?兩點(diǎn)，例為他中點(diǎn)，且砥B與心”斜率存在時(shí)，則原屋K,w=-4；

=--

（焦點(diǎn)在x軸上時(shí)），當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，kAB-KOMp

若43過橢圓的中心，P為橢圓上異于"任意一點(diǎn)，kpzKpB=-Z（焦點(diǎn)在x軸上時(shí)），當(dāng)焦點(diǎn)在》軸

上時(shí)，即小長?8=_爐

【題型目錄】

題型一：橢圓的定義有關(guān)題型

題型二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

題型三：橢圓的離心率

題型四：橢圓中焦點(diǎn)三角形面積

題型五：橢圓中中點(diǎn)弦問題

題型六：橢圓中的最值問題

【典型例題】

題型一：橢圓的定義有關(guān)題型

【例1】已知AABC的周長為10,且頂點(diǎn)B(-2,0),C(2,0),則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()

C.5+：=1(k0)D.[+5=1(k0)

6446

【答案】A

【解析】?二△ABC的周長為10,頂點(diǎn)8(-2,0),C(2,0),

.?.忸C|=4,卜同+“|=10-4=6>4,

.??點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，

:,點(diǎn)、A的軌跡是橢圓，a=3,c=2,?,?加=”4=5，

乂因?yàn)槿c(diǎn)構(gòu)成三角形，

???橢圓的方程是二+$=1()，/0).

故選：A.

【例2】如果點(diǎn)M(x,y)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式+(),+3)2+Jx：+(y-3)2=4百,則點(diǎn)M的軌跡

是().

A.不存在B.橢圓C.線段D.雙曲線

【答案】B

【解析】#+(),+3)2+也2+(y—3)2=4G表示平面山點(diǎn)加(x,N)到點(diǎn)(。,-3),(0,3)的距離之和為46,而

3-(-3)=6<4>/3,所以點(diǎn)〃的軌跡是橢圓，故選：B

【例3】設(shè)小工分別為橢圓9+y2=i的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且|尸耳+戶用=26，則/耳尸6=

（）

K兀八冗TC

A.-B.-C.—D.—

6432

【答案】D

【解析】川麗+麗月2叫=26，所以同=6=|。用=|%，所以4桃=90。

【例4】小鳥是橢圓。：:+5=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在橢圓。上，1^1=6,過6作N/田鳥的

角平分線的垂線，垂足為M，則1。例1的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】如圖，直線兄〃與直線尸工相交于點(diǎn)N,由于PM是/4P居的平分線，且耳N,

所以三角形耳印是等腰三角形，所以尸耳=9，點(diǎn)M為尸力中點(diǎn)，因?yàn)?。為耳巴的中點(diǎn)，

所以O(shè)M是三角形EgN的中位線，所以|0M=g|8N|,其中優(yōu)可=戶用一忸用=2歸用—24=2歸制—6,

因|P耳|=6,所以|取7|=6,所以|°卜=3,所以選C

【例5】已知橢圓C:《+￡=l,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A,B,線

2516

段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|+|BN|=（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】C

【解析】設(shè)MN的中點(diǎn)為G,橢圓的左右焦點(diǎn)分別為《，鳥，則G為MN的中點(diǎn)，片為的中點(diǎn)，所以

|AN=2|G用，同理忸N=2|G勾，所以|AN|+忸N|=2《G制+|Gq）=4〃=20

［例6］方程N(yùn)+正=2表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的一個(gè)充分但不必要條件是)

A.k>0B.l<k<2C.k>lD.0<后<1

【答案】B

22

X'

二+匕I表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則有:0<|<2,

【解析】方程（+由2=2可變形為：

k

解得k＞l.易知當(dāng)1＜女＜2時(shí)，k＞l.當(dāng)k＞l時(shí)未必有1〈人＜2,所以1＜攵＜2是k＞l的充分但不必要

條件.故選B.

22

【例7】點(diǎn)月，尸2為橢圓C：3+方=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，則△P45周長的取值范

圍為（）

A.(2,6)B.[4,6)

C.(4,6)D.[4,8)

【答案】C

【解析】由橢圓C：】，得:a=2,c=\,

當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上時(shí),△「耳巴周長最大，為2a+2c=6,

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí),去最小值，為4c=4,

又因點(diǎn)戶為橢圓C內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn),

所以AP與心周長的取值范圍為（4,6）.

故選：C.

【例8】橢圓匕+亡=

1的左、右焦點(diǎn)分別為石，F(xiàn),點(diǎn)P在橢圓上，如果尸耳的中點(diǎn)在y軸上，那么|「耳|

932

是|尸名|的（)

A.7倍B.6倍C.5倍D.4倍

【答案】C

A23

【解析】由題意知：PF2LFiF2,所以|P用=一=§=1,因歸周+|尸周=2a=6,所以|尸耳=5,所

|p用

以^~4=5

1^1

【題型專練】

I.已知△ABC的周長為20,且頂點(diǎn)B(0,-4),C(0,4),則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()

o222

廠上?

A.--------1--------1(x#0)B.-%------J1-------1(X#))

36202036

C.—+^-=1(x#0)D.—+—=1(x加)

620206

【答案】B

【解析】：△ABC的周長為20,頂點(diǎn)8(0,-4),C(0,4),

.?.BC=8,AB+4C=20-8=12,

：12>8.?.點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，.?.點(diǎn)A的軌跡是橢圓，

Va=6,。=4?'?按=20,

22

.??橢圓的方程是工+±=l(xw0)故選B.

2036'7

22

2.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓二+匕=1焦距為8,兩個(gè)焦點(diǎn)為6，F(xiàn),,弦48過點(diǎn)￡,則A4B用的周長為()

a'25

A.20B.28C.2\/41D.4741

【答案】D

【解析】由題意知。2=25，因?yàn)?=〃+/,所以/=25+16,解得。=歷，所以AA8F2的周長

為4a=4歷，故選：D

22

3.(2021新高考1卷)已知耳，工是橢圓C：土+3=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)〃在。上，則園￡卜阿閭的

最大值為()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】因+阿閭=2a=6N2jMF[.,所以|"耳卜|"閭49

4.已知橢圓片+片=1的左、右焦點(diǎn)分別為與心，點(diǎn)”在橢圓上，若1"片1=4,則/月時(shí)名=()

92

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓方程求得閨用=2g，由橢圓的定義，得|崢|+|叫|=2a=6,求得|M￡|=4,所以■閭=2,

在△耳M巴中，再由余弦定理列出方程，求得cosN^M心=-g,即可求解.

【詳解】

解：由題意，橢圓方程—+-1,可得°=3,b=-$/2,c=y/a2—h2=幣＞

所以焦點(diǎn)￡（-夜,0）,月（戶,0），

又由橢圓的定義，可得|M制+阿閭=2a=6,因?yàn)閨〃用=4,所以|M段=2,

在△耳加工中，由余弦定理可得舊聞2TM國2+眼圖2-2眼間四周cosN隼明，

22

所以（2近）2=4+2-2X4X2COSZF}MF2,解得cosNf；帆=-g,

又由N耳用入€（0,180）,所以Nf；M6=120.

故選:C.

5.設(shè)耳，尸2為橢圓片+片=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段尸片的中點(diǎn)在y軸上，則罌的值為（）

94IWI

5424

A.—B.-C.-D.-

13579

【答案】C

【解析】

【分析】

由中位線定理以及橢圓方程得出|尸用=。，再由桶圓的定義得出歸用，再求需的值.

【詳解】

由橢圓的定義可知，閥|+歸聞=2a=6,由中位線定理可知，尸"桃，將片石代入卷+卜1中，

解得尸土：即附百，|尸娟=6一鴻，故簿瀉

故選：C

6.已知曲線=1

A.若m>〃>（）,則c是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若加>〃>o,則c是橢圓，其焦點(diǎn)在x軸上

C.若m=^>0,則C是圓，其半徑為薪

D.若m=0,〃>0,則C是兩條直線

【答案】AD

22

工+工—111

【解析】山題意得：11一，所以當(dāng)相>〃>o,則o<一<—,所以表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所

mn

mn

以A對，8錯(cuò)，當(dāng)機(jī)=〃>0時(shí)，曲線C為?？+/=].,所以表示圓，半徑為J=,當(dāng)〃7=0,”>0時(shí)，

n7n

11

曲線C為>72=—，所以y=±-尸，所以表示兩條直線，故選：AD

n7n

7.已知橢圓片+片=1的左焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸在橢圓上且在x軸的上方，若線段尸尸的中點(diǎn)在以原點(diǎn)。為圓心,

95

|。尸|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是（）

A.石B.2非C.V15D.-V15

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)線段尸尸2的中點(diǎn)為M，連接尸耳、MF,,利用圓的幾何性質(zhì)可得出4求得|PK同耳段=2c=2,

利用橢圓的定義可求得|尸名|,可判斷出用的形狀，即可得解.

【詳解】

在橢圓?+《=1中，a=2,b=y/3,c=4ar^=l'

設(shè)線段尸外的中點(diǎn)為加，連接2片、M"，則"名為圓O的一條宜徑，則耳"，尸死，

p

因?yàn)椤盀镻5的中點(diǎn),則|「制=|耳聞=2c=2,則忸閭=2a-|P4|=2,

所以，與耳為等邊三角形，由圖可知，直線P6的傾斜角力

故選：C.

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若AA8C的頂點(diǎn)A(0-2)和C(0,2),頂點(diǎn)8在橢圓-^-+—=1±,則膽牡薯

128smB

的值是()

A.73B.2C.2百D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

由題設(shè)易知AC為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓定義及焦點(diǎn)三角形性質(zhì)有|AB|+|CB|=2a,14cl=2c,最后

應(yīng)用正弦定理的邊角關(guān)系即可求目標(biāo)式的值.

【詳解】

由題設(shè)知：AC為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，而8在橢圓上，

所以|AB|+|C3|=2a=4石,\AC\=2c=4,

由正弦定理邊角關(guān)系知：sinA:—+psinC|AB|+|CB|6/r?

sinB\AC\

故選：A

22

9.已知％B是橢圓C：]+?=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)加在C上，則|阿卜|帆|的最大值為()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】由題，。2=9,〃=4,則制+|“回=2。=6,

所以陽/訃|姐|4周=9（當(dāng)且僅當(dāng)=|叫1=3時(shí)，等號成立）.故選：C.

10.已知橢圓三+$=1的左、右焦點(diǎn)分別為「、尸?，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的下方，若線段尸鳥的中點(diǎn)在

43

以原點(diǎn)。為圓心，。名為半徑的圓上，則直線P8的傾斜角為（）

A..B.三C.土D.絲

6433

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)線段P瑪?shù)闹悬c(diǎn)為M,連接尸耳、“耳，利用圓的幾何性質(zhì)可得出用尸鳥，求得|P耳|=|耳閭=2c=2,

利用橢圓的定義可求得|叫|,可判斷出耳馬的形狀，即可得解.

【詳解】

22

在林網(wǎng)F——=1中，a=2,b=>/3,c=\la2-b2=1，

43

設(shè)線段尸鳥的中點(diǎn)為連接PK、MK，則百工為圓。的一條直徑，則月名，

因?yàn)镸為P瑪?shù)闹悬c(diǎn),則|P周=恒閭=20=2,則|P聞=2a-|尸制=2,

所以，為等邊三角形，由圖可知，直線產(chǎn)工的傾斜角為

故選：C.

H.已知A為橢圓巨葛=1上一點(diǎn)，尸為橢圓一焦點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為P,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四=2則|叫=

（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】B

【解析】不妨設(shè)橢圓《+4=1左焦點(diǎn)為F，右焦點(diǎn)為E，

2516

因?yàn)锳E的中點(diǎn)為P,E尸的中點(diǎn)為。，所以|4目=2|。日=4,

又由|A￡|+|AF|=2a=10,可得|AF|=10-4=6.故選：B.

12.已知橢圓C：5+1=1的左右焦點(diǎn)分別是耳，耳，過工的直線與橢圓C交于48兩點(diǎn)，且|"；|+|班|=8,

則回=()

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

22

【解析】山橢圓C:二+匯=1知：。=3,

94

由橢圓的定義得:\AFt\+\AF2\=2a=6,\BFl\+\BF2\=2a=6,

所以|前|+|即|+|AB|=4a=12,

又因?yàn)閨A用+忸制=8,

所以|AB卜4,

故選：A

題型二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【例1】已知橢圓E：^+^=\(a>b>0)右焦點(diǎn)為(0,0),其上下頂點(diǎn)分別為C,,C2,點(diǎn)71(1,0),HQ±AC2,

則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

3443

22

C.x2+^-=lD.—+/=1

33

【答案】D

【分析】由橢圓的幾何性質(zhì)可知上下頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積可得從，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意可知，G(o，?，c2(o,-b).

所以AC,=(-1,h),AC2=(-1,-Z?),

又AG_LAG，所以ACJ4C2=1—從=0,可得從=i

在橢圓中，c=垃,又〃=^+。2,所以/=3

即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為J+y2=i.

3

故選：D.

2o

【例2】已知橢圓C：￡+￡=1（“>6>0）,橢圓C的一頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為6,K，△A6K的面積為G，

焦距為2,過耳，且垂直于4尼的直線與橢圓C交于￡>,E兩點(diǎn)，則MOE的周長是（）

A.4&B.8C.2MD.16

【答案】B

v-22

【分析】先根據(jù)馬的面積為G，焦距為2,求得橢圓方程為三+二v=1,然后根據(jù)已知條件及等邊三

43

角形的性質(zhì)，再利用等腰三角形的三線合一定理及橢圓的定義，結(jié)合三角形的周長公式即可求解.

【詳解】因?yàn)榘?片鳥的面積為百，焦距為2,所以c=l,b=退，

所以=故橢圓方程為?+?=1，

假設(shè)A為橢圓C的上頂點(diǎn)，因?yàn)閮蓚€(gè)焦點(diǎn)為月，心，

所以|A耳|=,閭=。=2,內(nèi)閭=2c=2,故|的卜|伍|=|百磯

所以△AG&為等邊三角形，又因?yàn)檫^耳，且垂直于的直線與橢圓C交于。，E兩點(diǎn)，

所以|4）卜閶，|A￡|=|%],

由橢圓的定義可知：。閭+|。6|=2?=2X2=4,

\EF2\+\EFt\=2a=2x2=4,

所以VAT>￡的周長為

|陰+|陰+|￡）同=|四+|明+|岡+|明=4?=4*2=8,

故選：B.

【例3】如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O,尸（-260）為橢圓C的左焦點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn)，滿足|。巴=|。用,

且|PF|=4,則橢圓C的方程為（）

22

C.三+匕=1

D'

25545253010

【答案】D

【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為尸，連接尸尸',由|OP=|OW=|O尸1可得"J_Pk，可求得仍k1=8,由橢圓的

定義可求得“=6,利用〃,b,c之間的關(guān)系可求得加，即可得到答案

【詳解】如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F’,則尸'（2石,0）,連接尸尸,

因?yàn)閨0「|=|0尸1=|0尸所以M'PF,

所以|=加-1PF『=7(4>/5)2-42=8,

山橢圓的定義可得2a=1PFI+\PF'\=12,貝lja=6,

又因?yàn)閏=|OF|=2>/5，所以b?=a2-c2=62—(2>/5)2=16,

【例4】阿基米德（公元前287年一公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼

近法''得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在

y軸上，且橢圓C的離心率為手，面積為12萬，則橢圓C的方程為（）

y2X2?>)y2X2

A.廠---1-?--=11B.匕+二=1C,工+工=1D.匕+二二1

1889818884

【答案】C

【分析】利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】可設(shè)橢圓C的方程為5+

=l(<z>Z?>0),

c\J5

€——=--

a3/=18

由題意可得：al7ii=l2Tt,解得:從=8,

b2=a2-c2c2=10

所以橢圓C的方程為=1

818

故選：C

22

【例5】過橢圓C：*■+方=l（a＞方＞0）右焦點(diǎn)尸的直線/：x-y-2=0交C于A,8兩點(diǎn)，尸為AB的中

點(diǎn),且OP的斜率為則橢圓C的方程為（)

2222

A.二+二=1B.—I—=1

8495

x2/

C.D.-------1-------:

73106

【答案】A

【分析】由，與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)可得半焦距c,設(shè)出點(diǎn)A,B坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求出，/力2的關(guān)系即可計(jì)算作

答.

【詳解】依題意，焦點(diǎn)尸（2,0）,即橢圓C的半焦距c=2,設(shè)AU,,%）,8?,%）,P（飛,％）,

%2工2+Q22_@2b2

則有./to兩式相減得:小+引（…2）+「5+必）（凹-必）=。，

而不+占=2%,兇+%=2%,且％=-；,即有-2/a-*2)+。2(%-%)=0,

X。N

又直線/的斜率*因此有02=劫2,而/_/=°2=4,解得/=8,"=4,經(jīng)驗(yàn)證符合題意,

%一%

V22

所以橢圓C的方程為一+。K=1.

84

故選：A

22

【例6】已知"分別是橢咋+方叱。＞。）的左、右焦點(diǎn)，A,8分別為橢圓的上，下頂點(diǎn)，過橢圓

的右焦點(diǎn)K的直線交橢圓于C,。兩點(diǎn)，”CO的周長為8,且直線AC,8c的斜率之積為-!，則橢圓的

4

方程為（）

A.—+/=1B.—+^=1C.—+y2=1D.—+-^-=1

232443

【答案】C

【分析】由△耳8的周長為8,可得4a=8,解得。=2.設(shè)C（玉，y）,可得釬4（1-5）,由于直線AC,

BC的斜率之積為可得代入化簡可得〃.即可得出.

4百％4

【詳解】解：△FC。的周長為8,.?.4a=8,解得a=2.

設(shè)C(X|,?),則片=4(1-韻,

?.?直線AC,BC的斜率之積為.*4(才一/)+父=0,

4%玉4

化為4（），；-。2）+4（1-g）=（）,可得廿=1

二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+/=1.

4

故選：C

【例7】已知橢圓C的焦點(diǎn)為『TO）,K（1,0）,過尸2的直線與C交于4,8兩點(diǎn).若|AF；|=3|KB|,51ABi=4|B用,

則C的方程為（）

，v-22

A.—+y2=lB.—+.v<-=1

232

x2v2x2v2

4354

【答案】A

【分析】由已知可設(shè)怩4=”，則|A瑪卜3〃,怛&=三AB|=5〃，得|AR=3〃，在△MB中求得cosAB=0,

從而可求解.

【詳解】如圖，由已知可設(shè)優(yōu)回=〃，則|A段=3〃,怛用=；|AB|=5〃，

由橢圓的定義有2〃=忸制+|%|=6〃,.“盟|=2-|你|=3〃.

在△人卒中，由余弦定理推論得黑酒J。.

所以N6A鳥=90°,則|A用，|A用;忻用2n9〃2+9]=4

得3n=^2，所以〃=>/2，乂c=1,得b=l

故C的方程為1+丁=1

22

I.已知匕、居是橢圓C：-+斗=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，B在x軸上，ABAFO=（）

ab

且2A4=45+.若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線A8的距離為3,則橢圓。的方程為（）

2

A.—+y2=1

4.

C.二+工=1

169

【答案】D

【分析】根據(jù)題干條件得到ABLA%耳為8丹的中點(diǎn)，作出輔助線，利用相似得到|你|=4,即”=4,結(jié)

合直角三角形的性質(zhì)得到c=2,求出從，得到橢圓方程.

【詳解】因?yàn)锳B-A^=0,所以A8LAB，

因?yàn)?AE=AB+AE，所以A耳-4?=46一46，即臺(tái)片;片6,

所以目為8名的中點(diǎn)，

BO3

又因?yàn)?。??，?。，所以*=彳，

Dr24

過點(diǎn)O作OMLAB于點(diǎn)M,則|OM|=3,

根據(jù)RtBOMRtBF2A,可得耦^=需=；，所以|A段=4,

因?yàn)锳為上頂點(diǎn)，所以|A￡|=|4閭=4

根據(jù)雙曲線定義可知：|州|+|伍|=2a=8,所以。=4,

由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：山閭=|做|=4,即勿=4,

所以c=2,故/=。2一/=16—4=12,

2.已知橢圓C：E+￡=l（a>〃>0）,其左、右焦點(diǎn)分別為耳，心，離心率為:，點(diǎn)P為該橢圓上一點(diǎn)，且

a'b'2

滿足方，若的內(nèi)切圓的面積為兀，則該橢圓的方程為（）

A.工+其=1B,二+金=1C.E+F=1D.《+￡=]

129161224183224

【答案】A

7T

【分析】由離心率的值，可得a，c的關(guān)系，由三角形的內(nèi)切圓的面積，求出內(nèi)切圓的半徑，再由/月產(chǎn)8=三

及余弦定理可得歸用歸國的值，進(jìn)而求出△耳尸鳥的面積，再由5碼”=g（歸用+歸用+忻段）"，可得。的

值，進(jìn)而求出橢圓的方程.

【詳解】由離心率e=（，得￡=1，即c=[a.

2a22

因?yàn)椤髌B的內(nèi)切圓的面積為兀，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,所以兀產(chǎn)=兀，解得廠=1,

由橢圓的定義可知|P￡|+|P閭=為，

在△耳空中，N月產(chǎn)?=三，由余弦定理得|尸￡「+歸用、2|尸用忖/訃cos/月桃=|耳目,

即附f+|P閭'-I閡?閥|=|耳對，

.?.（附|+|峭）2-3|吶.|*=|耳閭2,

.?.3儼耳卜歸閭=4/-462=34,可得歸娟.歸閭=〃，

所以如咤*耳H*-si吟=手/,

113

而=^\PF\+\PF^+\FyF^-r=-（2a+2c）-r=a+c=-a,

所以可得且屋=2”，解得.=26，c=6,

42

由/=〃+/,得6=3,

所以該橢圓的方程為工+上=1.

129

故選：A.

3.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為甲-氐0),取石,0),M是橢圓上一點(diǎn)，若峙，|崎卜河閭=8,則該橢

圓的方程是()

22002，,>9

AA.—r+—y=1B0.—廠+—y-=i1c廠.廠—+—y~=1D門.—廠+廠—=1

72279449

【答案】C

【分析】首先設(shè)|5|=機(jī)，卜〃，再利用焦點(diǎn)三角形是直角三角形，列式求加+〃，即可求得。力的值.

【詳解】設(shè)|嫡|="，|峭卜明因?yàn)镸E_LME，|岫卜|咋1=8,恒閭=26,所以加+“2=20,皿=8,

所以("?+〃)2="?2+〃2+2”?〃=36,所以%+〃=2a=6,所以。=3.因?yàn)閏=&\所以==2.所

以橢圓的方程是《+反=1.

94

故選：C

4.已知耳(-1,0),鳥(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過心且垂直于x軸的直線交橢圓C于48兩點(diǎn)，|4?|=3,

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

20

A.x2+^―=1B.—+y2=1C.—+^-=1D=i

3343-f4

【答案】C

【分析】方法一：構(gòu)造一△4瑪耳并利用片+從=,2,從而求出刃匕,得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;方法二：若

22

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為「+2=1(。>6>0),則過焦點(diǎn)且垂直于X軸的直線與橢圓相交所得的線段為橢圓的通

ab

徑，其長為2生b2，并利用"+〃=。2,求由4力，從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

a

22

【詳解】方法一：由題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程之+2=l(a>b>0)連接M，如圖所示.

ab-

由題意，得M段=-AB|=1,WKI=2.在心耳中，|A￡|2=|A居|2+|丹瑪|2=?①.

22

又|A￡|=2a-1AA|=2a；3②.由①②，得a=2,所以廿=/-1=3,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y—+v^=1.

243

方法二：由題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為鳥+*=1（a>6>0）,則|AB|=^=3,即/=當(dāng)，又〃一/=1,

a-b-a2

所以〃=2或。=一］（舍去），所以4=4,從=3,

2

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+亡=1.

43

故選：C.

22

5.已知橢圓C：5+方=1（〃>6>0）的右焦點(diǎn)為（虛,0）,右頂點(diǎn)為A,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過OA的中點(diǎn)且與

坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，若四邊形OMAN是正方形，則C的方程為（）

22

A.—+/=1B.三+二=1C.—+^-=1D.—X+^y-=1

3537597

【答案】A

【分析】待定系數(shù)法去求橢圓C的方程

￡。

【詳解】由橢圓方程可知A（a,O）,由四邊形OMAN是正方形可知2,27

又點(diǎn)M在橢圓C上，則有（J）,,解得（=3,

—+￡=1從

ab

又橢圓c的右焦點(diǎn)為（3,0）,則c=JL

結(jié)合橢圓中"一片=。2,解得/=3,從=1,則橢圓C的方程為、■+>2=1.

故選：A

6.已知橢圓C1+*=1（。>匕>0）的左焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線x-y+亞=0與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)

48,若P為線段A3的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的斜率為-g,

則橢圓。的方程為（）

A冗2x2y2

A.—+y=1DB.—+—=1

342

【答案】B

【分析】先求得焦點(diǎn)，也即求得J然后利用點(diǎn)差法求得斗，從而求得也即求得橢圓C的方程.

【詳解】直線x-y+及=0過點(diǎn)網(wǎng)-夜,。），所以c=VL

山￥+[='+4=1兩式相減并化簡得-與=絲心比也

ab-ab~a%+^-x2

b21,

?1,—r=—,a72=2b-9=/79"+c'?,

a22

所以〃=C=V2,4=2,

所以橢圓c的方程為《

故選：B

7.阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近”的方法得到橢圓的面積除以圓

22

周率乃C：'+?！鯩ig〉/,〉。）的左，右焦點(diǎn)分別是K，F(xiàn)2,P是c上一點(diǎn)，|P用=3歸用ZF'P&q,

C的面積為12萬，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】C

【分析】由|P6|=3儼閭，/大尸名=?根據(jù)橢圓的定義及余弦定理可得。，c的關(guān)系，根據(jù)"逼近法''求橢圓的

面積公式，及片=/+°2,即可求得的值，進(jìn)而可得C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】由橢圓的定義可知|「周+歸國=為，又歸用=3歸國，所以歸用=乎，|P￡|=；a.又2片/＞工=亭

忻閭2=附『+|叫/附卜|叫cosqPg,所以4/=獷+#_#,所以〃=三。，

〃=〃2_02=/c又橢圓的面積為12乃,所以卡C?*c乃=12兀，解得°2=7,/=16,b2=9.

故選：C.

22

8.已知橢圓C2■+2=1（。＞6＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為B,尸2,左、右頂點(diǎn)分別為M,N,過尸2的直線

/交C于A,8兩點(diǎn)（異于M、N）,山的周長為46，且直線AM與AN的斜率之積為一|,則橢圓C的

標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

22，2

yx~0工，yi

AA.—H=1AB.—+-----1

3434

222

C.-+y2=lD.—+—=1

332

【答案】D

【分析】先利用周長為4a求得a值，得到M,N坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)4%,%),利用直線AM與AN的斜率之積構(gòu)

建關(guān)系，結(jié)合4%,%)滿足已知方程，解得加=2,即得結(jié)果.

【詳解】由AAF店的周長為46，可知|A甲+|4瑪|+|防|+|Bg|=4a=46,解得a=百，則

M（-瓜0）,N（區(qū)0）,

設(shè)點(diǎn)A(%,%),由直線AM與AN的斜率之積為一。，可得一左后,一處方=-■!，即姬=一|'(/2—3)①.

3%+"工0—V333

又所以為2=〃(］一爭②，

由①②解得從=2,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+$=1.

32

故選：D.

9.已知橢圓C的焦點(diǎn)為片(-1,0),鳥(L0),過B的直線交于C與A,B,若|A&=2后可，|明=|明則

C的方程為()

A.—+/=1B.—+^=1C.—+^-=1D.—+^=1

2324398

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件利用橢圓定義及余弦定理列出方程求出從即可得解.

【詳解】依題意,設(shè)橢圓方程為（〃＞力＞）

鏟=10,

由橢圓定義知，忸制=2“-忸閭，因|A段=2后卻，|M|=忸娟，則3|8尼|=24-|8"|,解得|86|=9,

a

于是得忸用=1*|A用=a,|/國=a,顯然點(diǎn)4在y軸上，如圖,

在Rt。4居中，|。6|=1,cosZA/=；O=-,在AB4心中，1Kgb2,cosNB8片,

3iii

由余弦定理得=+K號-28名由KcosNBRG，BP(-?)2=(-a)2+4-2--a-2.(—),解得〃=3,

222a

b2=a2—