高中數(shù)學單元練習集合與函數(shù)

一、集合與函數(shù)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.設集合A={1,2},則滿足Au3={l,2,3}的集合B的個數(shù)是（）

A.1B.3C.4D.8

2.已知集合用={x\——:——-0N={yly=3x2+1,XGR）,貝ljMCN=（）

（I）,

A.0B.{xlx>l}C.{xlx>l}D.{尢IxNl或x<0}

3.有限集合S中元素個數(shù)記作card（S）,設A、8都為有限集合，給出下列命題：

①A6=。的充要條件是card（71U8）=card（A）+card（fi）；

②Aq6的必要條件是card（A）<card（B）；

③A8的充分條件是card（A）<card（B）；

@A-B的充要條件是card（A）=card（8）.

其中真命題的序號是

A.③、④B.①、②C.①、④D.②、③

4.已知集合用={xlx<3},N={xllog2j>l),則MCN=()

A.0B.{xl0<x<3}C.{xll<x<3}D.{xl2<x<3}

x

5.函數(shù)y=k）g2---（x>l）的反函數(shù)是（）

x-1

2X2X2X-12V-1

A.y=——-(x>0)B.y=——-(x<0)C.y=——(x>0)D.y=——(x<0)

2—12—122

6.函數(shù)/。）=-^^+電（3'+1）的定義域是（）

V1—X

A.（一;,+8）B?（一（』）C.（H）D?（-8,一；）

7.下列函數(shù)中，在其定義域內既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）

A.y=-x3,xERB.y=sine7?

y=x.xGRD.y=

8.函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f~]（x）的圖象與y軸交于點

P（0,2）（如圖2所示），則方程/（幻=0的根是工=（）

A.4B.3C.2D.1圖2

2

9.已知函數(shù)/(x)=ax+2ax+4(0<a<3),^^<x2,x]+x2=l-a,則)

A./(%,)>/(x2)B./(%,)</(x2)

C./（%,）=/（%,）D./（蒼）與/（々）的大小不能確定

10.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方山明文T■密文（加密），接收方由密文一明文（解密），

已知加密規(guī)則為:明文凡仇c,d對應密文a+2A,2%+c,2c+3d,4d.例如，明文1,2,3,4對應密文

5,7,18,16.當接收方收到密文14,9,23,28時;則解密得到的明文為（）

A.7,6,1,4B.6,4,1,7C.4,6,1,7D.1,6,4,7

11.如圖所示，單位圓中弧AB的長為x,f（x）表示弧AB與弦AB所

圍成的弓形面積的2倍，則函數(shù)片/'（x）的圖象是（

12.r

①存在實數(shù)々，使得方程恰有2個不同的實根;

②存在實數(shù)k,使得方程恰有4個不同的實根;

③存在實數(shù)上，使得方程恰有5個不同的實根;

④存在實數(shù)女，使得方程恰有8個不同的實根.

其中假命題的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.

13.函數(shù)“X）對于任意實數(shù)x滿足條件〃x+2）=—!—，若/（1）=一5,則〃”5））=_____.

“X）

14.設f（x）=log3（x+6）的反函數(shù)為尸（x）,若（尸（機）+6）（尸（”）+6]=27,則/（〃?+〃）

ex,x<0.

15.設g(x)=<

Inx,x>0.

16.設y(x)=lg貝I」/（土）+/（4）的定義域為

三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/(x)=x2+(\ga+2)x+\gb滿足/(-1)=-2且對于任意xwR.恒有/(x)>2x成立.

(1)求實數(shù)的值；(2)解不等式/(x)<x+5.

18(本小題滿分12分)20個下崗職工開了50畝荒地，這些地可以種蔬菜、棉花、水稻，如果種這些農(nóng)

作物每畝地所需的勞力和預計的產(chǎn)值如下：

每畝需勞力每畝預計產(chǎn)值

蔬菜1100元

2

J_

棉花750元

3

]_

水稻7600元

問怎樣安排，才能使每畝地都種上作物，所有職工都有工作，而且農(nóng)作物的預計總產(chǎn)值達到最高？

19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=a/+法+1(a］為實數(shù)),xeH,

J/(x)(x>0)

F(x)=<

［-f(x)(x<0)

(1)若f(-1)=0,且函數(shù)f(x)的值域為［0,+8)，求尸(x)的表達式;

(2)在(1)的條件下，當xe［-2,2］時，g(x)=/(x)-乙是單調函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；

(3)設加?〃<(),機+〃〉0,?！?且/(X)為偶函數(shù)，判斷尸(用)+尸(〃)能否大于零？

20.(滿分12分)已知定義域為R的函數(shù)/⑴滿足/(/(x)-x2+y_=fG)-x2+x.

(1)若f(2)—3,求/(1);又若f(0)=。,求f(a);

(2)設有且僅有一個實數(shù)鄧,使得f(x。)=私,求函數(shù)f(X)的解析表達式.

21.(本小題滿分12分)

設函數(shù)/(幻=卜2一4X—5|.

(1)在區(qū)間［-2,6］上畫出函數(shù)/(x)的圖像；

(2)設集合A={x|f(x)N5},5=(-8,-2］U［0,4］U［6,+oo).試判斷集合4和8之間的關系,

并給出證明；

(3)當女>2時，求證：在區(qū)間［-1,5］上，y=fcr+3k的圖像位于函數(shù)/(x)圖像的

上方.

22.(本小題滿分14分)

設。為實數(shù)，記函數(shù)-x?+Jl+x+Jl-x的最大值為g(a).

(1)設二T，求f的取值范圍，并把/(x)表示為，的函數(shù)機(t)；

(2)求g(a)；

(2)試求滿足g(a)=gd)的所有實數(shù)a.

a

、集合與函數(shù)參考答案

1.C.4={1,2}，4。8={1,2,3},則集合8中必含有元素3,即此題可轉化為求集合A={1,2}的子集

個數(shù)問題，所以滿足題目條件的集合B共有2?=4個.故選擇答案C.

2.C.M=或x40},N={>?（>?>1）故選C

3.B.選由card（AUB）=card（A）+card（B）+card（APl3）知card（AUB）=card（A）+

card（B）<=>card[A（"15）=0=APIB=0.由Au8的定義知card（A）4card（8）.

4.D."=卜|咋28>1}={小〉2},用數(shù)軸表示可得答案。.

5.A.'/y=log―--——=2y即y=-—

2x-lx-12V-1

VX>1—X=1H----->1HPy=log,—X>0

X—~1X1X1

:?函數(shù)y=log,—>1）的反函數(shù)為y=2^]（X>O）?

6.B.由[Jx>°=>_l<x<1,故選B.

[3x+l>03

7.B.在其定義域內是奇函數(shù)但不是減函數(shù);C在其定義域內既是奇函數(shù)又是增函數(shù);。在其定義域內不是

函數(shù)，是減函數(shù);故選A.

8.C.利用互為反函數(shù)的圖象關于直線y=x對稱，得點（2,0）在原函數(shù)y=/（x）的圖象匕即/（2）=0,

所以根為x=2.故選C

9.B.取特值a=l內=_2,馬=2,〃2）>/（-2）,選B:或二次函數(shù)其函數(shù)值的大小關系，分類研究對

成軸和區(qū)間的關系的方法，易知函數(shù)的對成軸為X=-1，開口向上的拋物線，由X1<X2，勺+洶=0,需

分類研究王<工2和對成軸的關系,用單調性和離對成軸的遠近作判斷，故選B;

10.B.理解明文-密文（加密），密文f明文（解密）為一種變換或為一種對應關系，構建方程組求解,

x=a+2b14=?+2Z?d=1

依提意用明文表示密文的變換公式為>=26+°,于是密文14,9,23,28滿足，即有9=2h+cc=\,

z=2c+3d23=2c+3d

m-4d28=4d

選8；

11.D.當m2時，陰影部分面積為2個圓減去以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積,故此時

24

〃巴）=2四」]=匕<巳,即點）在直線尸的下方，故應在C、。中選;而當x=辿時,，陰影部分

八24222222

面積為3個圓加上以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，即，（紅）=2x5-=]=萬+2，即點

4222

（司■，乃+2）在直線的上方，故選D

12.B.本題考查換元法及方程根的討論，要求考生具有較強的分析問題和解決問題的能力；據(jù)題意可令

k2—“QNO）①，則方程化為產(chǎn)—，+女=0②，作出函數(shù)y=,2—1］的圖象，結合函數(shù)的圖象可知：

（1）當f=0或＞1時方程①有2個不等的根；（2）當0々＜1時方程①有4個根；（3）當仁1時，方程①有

3個根.

故當仁0時，代入方程②，解得k=0此時方程②有兩個不等根f=0或r=l,故此時原方程有5個根；當

方程②有兩個不等正根時,即0〈人＜；此時方程②有兩根且均小于1大于0,故相應的滿足方程-1|=/

的解有8個，即原方程的解有8個；當左="!■時，方程②有兩個相等正根f=,，相應的原方程的解有4

42

個；故選8.

13.由小+2)=看得小+4)=13=/(x)，所以/(5)=/⑴=一5則

/(/(5))=/(-5)=/(-1)=—1—=-1?

14.尸(x)=3」6故(4(而+6)?(fl(x)+6)=3"'?3"=3"'+"=27

nin--3.f(加+〃)^log3(3+6)=2.

1<1]Inl1

6g(g(5))=g(ln])=e2-

X

16.由一2+^t>0得，/(x)的定義域為-2<x<2故尸<萬<2,,解得i)u0,4).

2-x

-2<-<2.

X

故/仔)+/仔)的定義域為(一4,—1)U(1,4),

17.(1)由/(—1)=—2,知，Igb—lga+l=0,…①q=10.…②又/(x)N2x恒成立，有

b

x2+x-lga+lgb20恒成立，故A=(Iga)?—41gb<0.

將①式代入上式得:(1g爐-21gb+1V0,即(Igb-1)240,故1gb=1.

即b=10,代入②得,a=100.

(2)f(x)=x2+4x+1,/(x)<x+5,即x?+4x+1<x+5,x2+3x-4<0,

解得：-4<x<l,.,.不等式的解集為{xl-4<x<l}.

18.設種蔬菜、棉花、水稻分別為x畝，y畝，z畝，總產(chǎn)值為u,

依題意得x+y+z=50,L+Uz=20，貝Uu=1100x+750v+600z=43500+50x.

23-4

?.0,.y=90-3x>0,z=wx-40>0,W20<x<30,.\當x=30時，u取得大值43500,此時y=0,z=20.

安排15個職工種30市蔬菜，5個職工種20畝水稻，可使產(chǎn)值高達45000元.

19(1)=...a—b+l=0,又xeR,/(x)20恒成立,

a>o,AZ?2-4(ZJ-1)<0,b=2,a=1f(x)=x2+2x+l=(x+l)2.

A=Z?2-4?<0

??2、1(x+D(x>°)

l-(x+D2(x<0)

(2)則g(x)=f(x)-kx=/+2x+l-履=，+(2-k)x+1

/2-4、2](2-A)?

=(X+—-)-+l---7^,

24

當22或與24-2時，即kN6或k4—2時，g(x)是單調函數(shù).

(3).../0)是偶函數(shù).../(均=利2+1,尸*)/、+1

—cix"-1(x<0)

m?n<0,設m>n,則n<0,又〃？+〃>0,>-n>0,

/.ImI>I-nIF(m)+F(h)

=f(m)-/(n)=(am2+1)-an2-1=a(m2-n2)>0F(m)+F(n)能大于零.

20.(1)因為對任意xeR,有/(7(x)—x2+x)=f(x)—x2+x,所以/(/(2)—22+2)=f(2)—22+2.

又由/(2)=3,得/t(3-22+2)-3-22+2,即：⑴=1.

22

若/(0)=a9貝ljf(a——0+0)—a——0+0,即/(〃)=A.

(2)因為對任意尢￡R,有于(于(x))—x2+x)=f(x)—x2+x.

又因為有且只有一個實數(shù)如使得/(沏)-x0,所以對任意X￡R,有/GO-，+%=%

在上式中令％=的,有/(劭)—x；+劭=沏，又因為/(沏)一沏，所以的-x1=0,故劭=0或劭=1.

若即=0,則/G)—x+x=O,即/(x)=7_無但方程/「口才有兩上不同實根，與題設條件矛質，

故檢/0.若必=1,則有/(X)—f+X=1，即/(/)=，T+1.易驗證該函數(shù)滿足題設條件.

綜上，所求函數(shù)為/(x)=x2-x+l(XGR).

21.(1)

=x2+(Jt-4)x+(3Jl-5)k2-20k+36

4

A.-L

k>2,—^<1.又一』(5,

2

①當一14—4一^"<1,即2<&46時，取x=A-r-k

22

,、k2-20^+361k，小，"

g（X）min=-------------=--『-IO）"-64],

???164（々-10）2<64,（女-10尸一64<0,貝必⑴疝,>0.

4-*

②當一y-<-l,即k>6時，取x=-l,g(X)min=2k>0.

由①、②可知，當％>2時，g(x)>0,xe［-l,5］.

因此，在區(qū)間［-1,5］上，丫=憶*+3)的圖像位于函數(shù)/(幻圖像的上方.

［解法二］當彳€［-1,5］時，〃幻=一一+4x+5.

,y=k（x+3）,…o

由\得+（%一4）工+（3左一5）=0,

y=-x+4x+5,

令A=(2-4)2-4(3&-5)=0,解得上=2或k=18,

在區(qū)間［一1,5］上，當k=2時，y=2(x+3)的圖像與函數(shù)/(X)的圖像只交于一點(1,8)；

當k=18時，y=18(x+3)的圖像與函數(shù)f(x)的圖像沒有交點.

如圖可知，由于直線)，=k(x+3)過點(-3,0),當k>2時，直線y=k(x+3)是由直線

、=2。+3)繞點(-3,0)逆時針方向旋轉得到.因此，在區(qū)間［-1,5］上,y=k(x+3)的圖像

位于函數(shù)“X)圖像的上方.

22.(1)21=J1+X+Jl—x,.?.要使/有意義，必須1+xNO且1-xNO,即一iKxKl

?：t2=2+2A/1-X2e［2,4］，且f20……①:.t的取值范圍是［、歷,2］。

由①得：71-x2=-t2：.m(t)=a(-t2-i)+t=-at2+t-a,te［V2,2］?

222

(2)山題意知g(a)即為函數(shù)團⑺,4產(chǎn)+.°,re［行⑵的最大值，

2

11,

?.?直線f=--是拋物線mQ)=-at2+f-a的對稱軸，.?.可分以下幾種情況進行討論:

a2

1)當。>0時，函數(shù)y=m(f),fw［J5,2］的圖象是開口向上的拋物線的一段，

由「=一!<0知機⑺在/€［、歷,2］上單調遞增，故g(a)=機(2)=。+2；

a

2)當a=0時，m(r)=t,tG［A/2,2］,有g(a)=2；