高中數(shù)學(xué)新人教A版選修數(shù)學(xué)：第三章《空間向量與立體幾何》 同步練習(xí)二

空間向量與立體幾何

一選擇題：

1.下列說法中正確的是（B）

A.若|￡I=IBI,則入B的長度相同，方向相反或相同；

B.若々與5是相反向量，則IZI=IBI；

C.空間向量的減法滿足結(jié)合律；

D.在四邊形ABCD中，一定有赤+而=/.

2.已知向量2,1是兩個非零向量，7,圖是與2,至同方向的單位向量，那么下列

各式正確的是（D）

A.=b?B.=b?或&——b,

=

C.=1D.I<J（）I|boI

3.在四邊形ABCD中，若恁=而+而，則四邊形是（D）

A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四邊形

4.下列說法正確的是（D）

A.零向量沒有方向

B.空間向量不可以平行移動

C.如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等

D.同向且等長的有向線段表示同一向量

5.以下四個命題中正確的是（C）

A.空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示

B.若｛才，K，不｝為空間向量的-組基底，則｛4+甘，6+丁，丁-4｝構(gòu)成空間向量

的另一組基底

C.AABC為直角三角形的充要條件為地?AC=O

D.任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底

6.在平行六面體ABCD—ABCD中，與向量確?模相等的向量有（C）

A.7個B.3個C.5個D.6個

7.如圖所示，在正方體ABCD—ABCD中，下歹!］各式中運算結(jié)果為向量運?的是

（D）

①（通+前）+比1；②（AI+G）+就1；

③（硅+國）+前I；@（AA,+O（）+B?Ci.

A.①③B.②④C.③④D.①②③④

8.對于向量入b.工和實數(shù)人，下列命題中的真命題是（B）

A若々?至=0,則"=0或石=0B若入￡=0,則入=0或々=0

C若二=尸，則或Z=-B口若￡?b—a,c,貝="

9.P為正六邊形ABCDEF外一點，0為ABCDEF的中心則PA+PB+PC+PD+PE+PF等

于（C）

A.POB.3P0C.6P0D.6

10.下列說法正確的是（A）

A.￡與非零向量尾共線，5與工共線,則￡與工共線

B.任意兩個相等向量不一定共線

C.任意兩個共線向量相等

D.若向量￡與B共線，貝〃

11.將邊長為1的正方形ABCD沿角線BD折成直二面角，若點P滿足郎-嬴-^BC

+則

B,DRP

3

2

A.2-

12.已知平行六面體4BCD-4ECD,M是AC與BD交點，若麗=￡,而=瓦莉=Z,

則與8'M相等的向量是（A）

A.~—a+—b-c;B.—a+-b-c;C.-a--b+c;D.--a-—b+c.

22222222

13.下列等式中,使M,A,B,C四點共面的個數(shù)是（B）

①OM=OA-OB-OC;②OM=-OA+-OB+-OC;③MA+MB+MC=O;?

532

OM+OA+OB+OC=G.

A.1B.2C.3D.4

14.在下列命題中：①若入B共線，則入分所在的直線平行；②若入B所在的

直線是異面直線，則入B一定不共面；③若2、3、2三向量兩兩共面，則入B、

c三向量一定也共面；④已知三向量a、hc,則空間任意一個向量p總可以唯

一表示為萬=x￡+yA+zZ.其中正確命題的個數(shù)為（A）.

A.0B.1C.2D.3

15.下列命題中：

①若￡?B=0,則九B中至少一個為6

一

一

一

若

6?貝H

人

QII。U=C

(4)(3a+2b)?(3a-2b)=9p|一明

正確有個數(shù)為(B)

A.0個B.1個C.2個D.3個

16.已知I和l是兩個單位向量，夾角為（，則下面向量中與2最-1垂直的是

（C）

A.G+e2B.4-e2C.elD.e2

17.若a=（4，&M3）,b=（4也也），則幺="=幺是力力的（A）

伉瓦久

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不不要條件

18已知4（1,0,0）,8（0,-1,1）,函+2而與麗的夾角為120°,則4的值為（C）

A.士如B.如C.-近D.±76

666

19.若a=（x,2,0）,各=（3,2-x,x）,且a》的夾角為鈍角，則x的取值范圍是（A）

A.x<-4B.-4<x<0

C.0<x<4D.x>4

20.已知a=（l,2,-y）,S=（x,l,2）,且0+21）//（2々-歷,則（B）

A.x=—,y=1B.x=—,y=-4C.x=2,y=—■-D.

324

x=l,y=-\

21.已知兩非零向量a,e2不共線，設(shè)a=入ei+ue?（入、UGR且入'+U''WO）,

則（D）

A.a//eiB.a//e2C.a與e”e?共面D.以上三種情況均有可能

22正方體ABCD-A'B'CD'中，向量A聲與B可的夾角是（C）A.30°

B.45°C.60°D.90°

23設(shè)A,B,C,D是空間不共面的四點，且滿足AE?AC,=O,AC-4甘=0,A!T-A17

=0,則△BCD是（B）

A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.不確定

24.平行六面體ABCD—AECD中，AB=1,AD=2,AA,=3,NBAD=90°,ZBAA,

=ZDAA1=60°,則AC的長為（D）

A.V13B.V43C.V330.^23

25.已知a=（2,—1,3）,b=（—1,4,—2）,c=（7,5,人），若a>b、c

三向量共面，則實數(shù)入二（D）

62636465

AA.—iDj.—Ur.—Un.—

7777

26若a、b均為非零向量，則a/=lalSI是a與b共線的（A）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

27.已知aABC的三個頂點為A(3,3,2),B(4,—3,7),C(0,5,1),則BC

邊上的中線長為(B)

A.2B.3C.4D.5

28已知a+9+c=6,a|=2,|b=3,1c|=V19，則向量a與1之間的夾角＜a,b＞

為(C)

A.30°B.45°C.60°D.以上都不對

29.已知2=(1,1,0)石=(-1,0,2),且U+刃與左一刃互相垂直，則上的值是(D)

A..1B.iC.-D.-

555

30.若A(x,5—x,2x—1),B(l,x+2,2—x),當(dāng),回取最小值時，x的值等于(C)

Q19

A.19B.--D.

7714

31.空間四邊形CM6C中，OB=OC,ZAOB^ZAOC^-,則cos〈04,8C＞的值

是(D)

A.-B.—C.--D.0

222

32.已知雙=(1,2,3),而=(2,1,2),麗=(1,1,2),點Q在直線OP上運動，則當(dāng)逅?麗

取得最小值時點Q的坐標為

（C）

⑷,U（B）（；，粉⑹弓抖

二填空題:

33.已知A8CO,頂點A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)則頂點D的坐標為.(1,-1,2)

34.RtABC中，，NBAC=90°,A(2,1,1),B(1,1,2),C(X,0,1WJX=2

35已知A(3,5,-7),Bb2,4,3),則AB在坐標平面yoz上的射影的長度為___

36已知正方形ABCD的邊長為1,AB=a,BC=b,AC=c,則|a+b+c|等于./

37已知0是空間任一點，A、B、C、D四點滿足任三點均不共線，但四點共面，且

0A=2xB0+3yC0+4zD0,

貝I」2x+3y+4z=___1

38.已知A,B,C三點共線，則對空間任一點0,存在三個不為0的實數(shù)入，m,n,

使人說+m施+n質(zhì)=0,那么入+m+n的值為.1

39.已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點，M、N分別為BC、PD的中點,

且滿足MN=*疵+yXD+z序則實數(shù)x,y,z的值分別為

40.在空間四邊形ABCD中，AE?CE+B了?AlT+cT?BE=0?

41.已知|a|=3*,b|=4,a與b的夾角為135°,m=a+b,n=a+Xb,則m

11

J_n,則mI入=—

o

42.若向量2=(4,2,-4),3=(6,—3,2),則(22-3勵(。+2垃=。

118

43若向量彳=2：-7+53=47+9]+1,，則這兩個向量的位置關(guān)系是o

alb

44.已知向量)=(2,—1,3),B=(Y,2,X),若1貝ijx=萬；若則

O

x=_____-6

45.已知向量彳=/3+5/=3i+j+雙，若3〃b則實數(shù)用=15,

1

r=----5w。

1955

46.若40,2,—),5(1-1,-),C(-2,1,二)是平面a內(nèi)的三點，設(shè)平面a的法向量

888

2=(x,y,z)，貝Ux:y：z=-2：(-3):4。

47已知關(guān)于x的方程j?-(f-2)x+/2+3/+5=0有兩個實根，"=￡+屆，且

￡=(-1,1,3)石=(1,0,-2),

4

當(dāng)土=時，"的模取得最大值

48.已知矩形A8CO中，AB=l,BC=a(a>O),PAmAC,且PA=1,骷邊

上存在一點Q,使得PQ1QD,則a的取值范圍是。aw[2,+

°°)

49在正方體ABCD-ABCD中，點P在側(cè)面BCC,B,及其邊界上運動,并總保持API

BL則動點P的軌跡為(A)

A.線段B.C

B.線段BC,

C.線段B,B的中點與CG的中點連線段

D.線段BC的中點與B￡的中點連線段

解答題

50.如圖，直三棱柱ABC—AtBiCi的底面三角形ABC中，CA=CB=1,ZBCA=90°,棱AAi=2,M、

N分別是AiBi、AiA的中點。

(1)求BN的長；(2)求cos<BA”CB|>的值。

解：以c為原點建立如圖空間直角坐標系，

(1)B(0,1,0),N(1,0,1),

.--I麗1=7(1-o)2+(0-1)2+(1-0)2=V3

(2)A(l,0,2),C(0,0,0),B](0,l,2)

AIBAt1=V6,lCBt\=45,

且就?西=(l,0,2),(0,l,2)=3,C°s<BA],CB]>=^^=喘。

51如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,M是棱AA1的中點，點。是對角線BD】的

中點。

(1)求證：BDjlAC；

(2)求證：OM是異面直線AAi與BDi的公垂線。

證明：以D為原點，DC、DA、DDi所在的直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示空間直

角坐標系，則D(0,0,0),C(l,0,0),B(l,l,0),D1(0,0,l),M(0,l,

(1)SO,=(-1-1,1),AC=(1-1,0)

5D^AC=(-l)xl+(-l)x(-l)+lx0=0,

西1AC,即BDj±ACo

(2)OM=(一丸表0),有=(0Q1),西=(-1-1,1)，

因為。M-AA]=0,OM-BDX=0,所以。M_LAA”O(jiān)M±BDi,

即0M是異面直線AAi與BDi的公垂線。

52如圖，在正方體ABCD—AiBQDi中，M、N分別是棱A隹i、AQI的中點，E、F分別是棱B?、

CiDi的中點。

求證：(1)E、F、B、D四點共面；

(2)平面AMN〃平面BDFE。

證明：以D為原點，DC、DA、DDi所在的直線分別

為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系。

設(shè)正方體棱長為1,則

A(l,0,0),M(l,f4),N?,0,1),E(”l),F(0,j,l)

⑴EF=(-1-1,0),DB=(1,1,0)

X

:.DB=-2EF,即E、F、B、D四點共面。

(2)而=(06,1),礪=(-1MA=(0,-1-1)

設(shè)7=(x,y,z)是平面BDFE的一個法向量，貝ij

竺==2'可?。?(2,-2,1)是平面BDFE的一個法向量。

[n-￡F=0[y=-2z

易驗證，n-MN=n-MA=Q,.'.nlMN,n1MA。

即1=(2,—2,l)也是平面AMN的一個法向量，.??平面AMN〃平面BDFE。

53在棱長為1的正方體ABCD-ABCR中，M,N分別是和BB)的中點,求直線AM

與CN所成夾角的余弦值。

解法「?.?麗7=福+麗■，麗=麗+麗

.?.赤?麗=(涵+麗).(而+麗)=福?麗=；

而IAM1=J(病+麗j?(福+麗，=J麗產(chǎn)+1而=當(dāng)

1

-2

同理可得I麗1=正，如令a為所求的角，則cosa=府?麗2

-=

55-

2\AM\\CN\

4-

2

即直線AM與CN所成夾角的余弦值為一.

5

解法二:以D點為坐標原點，分別以DA,DC,DD、的方向向量為x軸,y軸,z軸的正方向,建立如

22

2

即直線AM與CN所成夾角的余弦值為一.

5

54已知矩形ABCD中，AB=近,AD=1,將△ABD沿BD折起，使點A在平面BCD內(nèi)的射

影落在DC上，E、F、G分別為棱BD、AD、AB的中點。

(I)求證：DA_L平面ABC;

(II)求點C到平面ABD的距離;

(III)求二面角G—FC—E余弦值的大小。

解：如圖，以CB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，過點C,平面BDC方向向上的法向量

為Z軸建立空間直角坐標系。

則C(0,0,0),A(0,,),B(1,010)>D(0,

2---2

?y2逑,也),GJ

—V2,0),E(一，-------,0),F(0,

22442

V2V2、

-------,------)

44

(I)證明：

y

'：DA=(0,―,—),BA=(-1,--,—),CB=(1,0,

2222

——>I]—>—>

且DA8A=0——+—=0,D4CB=0+0+0=0,BA^\CB=B

22

???DA_L平面ABC

(II)M：設(shè)點C到平面ABD的距離為d

T叵猴