一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課時(shí)規(guī)范練15-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

課時(shí)規(guī)范練15基礎(chǔ)鞏固組1.(2023·上海青浦模擬)已知f(x)=ax2+b的圖象開口向上,limΔx→0f(A.2 B.-2C.2 D.-22.(多選)(2023·湖南婁底高三檢測(cè))下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是()A.1x+2'=1(x+2)2C.(2lnx)'=1x D.(xlnx)'=lnx+3.曲線y=x3+1在點(diǎn)(?1,a)處的切線方程為()A.y=3x+3 B.y=3x+1C.y=?3x?1 D.y=?3x?34.(2023·廣東珠海高三檢測(cè))吹氣球時(shí),氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的關(guān)系是V=43πr3.當(dāng)V=4π3A.14πdm/L B.C.3L/dm D.4πL/dm5.若f(x)=x2e1?mx+mx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為2,則m=()A.1 B.2或1C.?1或2 D.26.過點(diǎn)P(1,2)作曲線C:y=4x的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB的方程為(A.2x+y?8=0 B.2x+y+4=0C.2x+y?4=0 D.x+2y?4=07.若直線y=kx+b是曲線y=ex+1的切線,也是y=ex+2的切線,則k=()A.ln2 B.?ln2 C.2 D.?28.(2023·湖南衡陽(yáng)高三檢測(cè))寫出過點(diǎn)(2,1)與曲線y=x3+1相切的一條直線的方程:.

9.曲線f(x)=(x+1)ex+lnx在(1,a)處的切線與直線bx?y+2=0平行,則b?a=.

10.已知曲線C1:y=ex+x,C2:y=?x2+2x+a(a>0),若有且只有一條直線同時(shí)與C1,C2都相切,則a=.

綜合提升組11.(2023·河南鄭州模擬)已知f(x)=2x3+(a-2)x2-3x是奇函數(shù),則過點(diǎn)P(-1,2)向曲線y=f(x)可作的切線條數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.不確定12.(2023·湖南長(zhǎng)沙明德中學(xué)高三檢測(cè))已知函數(shù)f(x)的解析式唯一,且滿足xf'(x)+f(x)=ex,f(1)=2e,則函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為.

13.從拋物線x2=2y的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)P引拋物線的兩條切線PA,PB,且A,B為切點(diǎn),若直線AB的傾斜角為π3,則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為創(chuàng)新應(yīng)用組14.實(shí)數(shù)x1,x2,y1,y2滿足:x12?lnx1?y1=0,x2?y2?4=0,則(x1?x2)2+(y1?y2)2A.0 B.22 C.42 D.8

參考答案基礎(chǔ)鞏固組1.(2023·上海青浦模擬)已知f(x)=ax2+b的圖象開口向上,limΔx→0f(A.2 B.-2C.2 D.-2答案:A解析:由f(x)=ax2+b,得f'(x)=2ax(a>0),因?yàn)閘imΔx所以f'(a)=4,即2a2=4,解得a=2或a=?2(舍去)2.(多選)(2023·湖南婁底高三檢測(cè))下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是()A.1x+2'=1(x+2)2C.(2lnx)'=1x D.(xlnx)'=lnx+答案:ABC解析:對(duì)于選項(xiàng)A,1x+2'=0×(x+2)?對(duì)于選項(xiàng)B,(cosx)'=?sinx,故B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,(2lnx)'=2x,故C錯(cuò)誤對(duì)于選項(xiàng)D,(xlnx)'=lnx+1,故D正確.故選ABC.3.曲線y=x3+1在點(diǎn)(?1,a)處的切線方程為()A.y=3x+3 B.y=3x+1C.y=?3x?1 D.y=?3x?3答案:A解析:因?yàn)閥=f(x)=x3+1,所以f'(x)=3x2,所以f'(?1)=3,又當(dāng)x=?1時(shí),a=x3+1=?1+1=0,所以y=x3+1在點(diǎn)(?1,a)處的切線方程為y=3(x+1),即y=3x+3.4.(2023·廣東珠海高三檢測(cè))吹氣球時(shí),氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的關(guān)系是V=43πr3.當(dāng)V=4π3A.14πdm/L B.C.3L/dm D.4πL/dm答案:A解析:因?yàn)閂=43πr3,所以r=334πV所以當(dāng)V=4π3時(shí),r'=34π故瞬間膨脹率為14π5.若f(x)=x2e1?mx+mx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為2,則m=()A.1 B.2或1C.?1或2 D.2答案:B解析:f'(x)=2xe1?mx+x2·e1?mx·(?m)+m=2xe1?mx?mx2e1?mx+m,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f'(1)=2e1?m?me1?m+m=2,所以(e1?m?1)·(2?m)=0,所以e1?m?1=0或2?m=0,所以m=1或m=2.6.過點(diǎn)P(1,2)作曲線C:y=4x的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB的方程為(A.2x+y?8=0 B.2x+y+4=0C.2x+y?4=0 D.x+2y?4=0答案:A解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),y'=?4x2,所以在A點(diǎn)處的切線方程為y?y1=?4x1將P(1,2)代入得2?y1=?4x12(1?x1),因?yàn)閥1=4x1,化簡(jiǎn)得2x1+y1?8=0,同理可得2x2所以直線AB的方程為2x+y?8=0.7.若直線y=kx+b是曲線y=ex+1的切線,也是y=ex+2的切線,則k=()A.ln2 B.?ln2 C.2 D.?2答案:C解析:設(shè)直線y=kx+b與y=ex+2和y=ex+1的切點(diǎn)分別為(x1,ex1+2),(x2,則切線方程分別為y?(ex1+2)=ex1(x?x1),y?ex化簡(jiǎn)得,y=ex1x+ex1+2?x1ex1,y=e依題意上述兩直線與y=kx+b是同一條直線,所以ex1=ex2+1,ex1+2?x1ex18.(2023·湖南衡陽(yáng)高三檢測(cè))寫出過點(diǎn)(2,1)與曲線y=x3+1相切的一條直線的方程:.

答案:y=1或27x?y?53=0(寫出其中一條即可)解析:設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03+1),因?yàn)閥'|x=所以切線方程為y?(x03+1)=3x02(x將點(diǎn)(2,1)代入得2x03?6x02=0,解得x0=0或當(dāng)x0=0時(shí),切線方程為y=1;當(dāng)x0=3時(shí),切線方程為27x?y?53=0.9.曲線f(x)=(x+1)ex+lnx在(1,a)處的切線與直線bx?y+2=0平行,則b?a=.

答案:e+1解析:由題意,函數(shù)f(x)=(x+1)ex+lnx,可得f'(x)=(x+2)ex+1x,可得f'(1)=3e+1,f(1)=因?yàn)榍€y=f(x)在(1,a)處的切線與直線bx?y+2=0平行,可得b=f'(1)=3e+1,a=f(1)=2e,所以b?a=e+1.10.已知曲線C1:y=ex+x,C2:y=?x2+2x+a(a>0),若有且只有一條直線同時(shí)與C1,C2都相切,則a=.

答案:1解析:設(shè)l與C1相切于P(x1,ex1+x1),與C2相切于點(diǎn)Q(x2,?x22+2x2+a),由C1:y=ex+x,得則與C1相切于點(diǎn)P的切線方程為y?ex1?x1=(ex1+1)(x?x1),即y=x(1+e由C2:y=?x2+2x+a,y'=?2x+2,則與C2相切于點(diǎn)P的切線方程為y+x22?2x2-a=(?2x2+2)(x?即y=?2x2x+x22+2x+a,即y=x(2?2x2)+a+因?yàn)閮汕芯€重合,所以,1+ex1=2?2x2①,ex1?x1由①得x2=1-ex12,代入②得,4(1?x1)ex1=4a+1?2ex1+e2x1,化簡(jiǎn)得,e明顯可見,x1=0,a=1時(shí)等式成立.綜合提升組11.(2023·河南鄭州模擬)已知f(x)=2x3+(a-2)x2-3x是奇函數(shù),則過點(diǎn)P(-1,2)向曲線y=f(x)可作的切線條數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.不確定答案:C解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),則由f(-x)+f(x)=0得2(a-2)x2=0恒成立,則a=2,即有f(x)=2x3-3x,f'(x)=6x2-3,設(shè)過點(diǎn)P(-1,2)向曲線y=f(x)所作切線與曲線y=f(x)相切的切點(diǎn)為Q(x0,2x03-3x而點(diǎn)P(-1,2)不在曲線y=f(x)上,則6x02-3=整理得4x03+6x02-1=0,即(2x0+1)(2x02+2x0-1)=0,解得x0=-12或x0=-1±32,即符合條件的切點(diǎn)有3個(gè),所以過點(diǎn)P(12.(2023·湖南長(zhǎng)沙明德中學(xué)高三檢測(cè))已知函數(shù)f(x)的解析式唯一,且滿足xf'(x)+f(x)=ex,f(1)=2e,則函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為.

答案:y=?ex+3e解析:由xf'(x)+f(x)=[xf(x)]',可得[xf(x)]'=ex,設(shè)xf(x)=ex+m,又由f(1)=2e,有f(1)=e+m=2e,得m=e,可得f(x)=ex+ex,f'(x)=xex?故所求切線方程為y?2e=?e(x?1),整理為y=?ex+3e.13.從拋物線x2=2y的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)P引拋物線的兩條切線PA,PB,且A,B為切點(diǎn),若直線AB的傾斜角為π3,則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為答案:3解析:拋物線x2=2y的準(zhǔn)線l:y=?1設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),Px0則kAB=y1?y2又∵y1=x122,y2∴kAB=x1則x1+x2=23,由x2=2y,得y=x22,∴∴切線PA的方程為y?y1=x1(x?x1),切線PB的方程為y?y2=x2(x?x2),即切線PA的方程為y?x122=x1(x?x1),即x12?切線PB的方程為y?x222=x2(x?x2),即x22?∵點(diǎn)Px0,?12在切線∴x12?2x1x0?1=0,x22?2x2可知x1,x2是方程x2?2x0x?1=0的兩個(gè)根,∴x1+x2=2x0,得x0=3,即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.創(chuàng)新應(yīng)用組14.實(shí)數(shù)x1,x2,y1,y2滿足:x12?lnx1?y1=0,x2?y2?4=0,則(x1?x2)2+(y1?y2)2A.0 B.22 C.42 D.8答案:D解