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文檔簡(jiǎn)介
高二下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)科試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合,,則(
)A. B.C. D.2.已知函數(shù),則(
)A.3 B.6 C.9 D.123.“”是“為奇函數(shù)”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.的展開(kāi)式中,含項(xiàng)的系數(shù)為,則(
)A.1 B. C. D.5.現(xiàn)有兩筐排球,甲筐中有10個(gè)白色球、5個(gè)紅色球,乙筐中有4個(gè)黃色球、6個(gè)紅色球、5個(gè)黑色球.某排球運(yùn)動(dòng)員練習(xí)發(fā)球時(shí),在甲筐取球的概率為0.6,在乙筐取球的概率為0.4.若該運(yùn)動(dòng)員從這兩筐球中任取一個(gè)排球,則取到紅色排球的概率為(
)A.0.73 B.0.36 C.0.32 D.0.286.定義在上的偶函數(shù)滿足,且,則的值為(
)A. B. C. D.7.隨著國(guó)家對(duì)中小學(xué)“雙減”政策的逐步落實(shí),其中增加中學(xué)生體育鍛煉時(shí)間的政策引發(fā)社會(huì)的廣泛關(guān)注.某教育時(shí)報(bào)為研究“支持增加中學(xué)生體育鍛煉時(shí)間的政策是否與性別有關(guān)”,從某校男女生中各隨機(jī)抽取80名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù)(,)支持不支持男生女生通過(guò)計(jì)算有95%以上的把握認(rèn)為“支持增加中學(xué)生體育鍛煉時(shí)間的政策與性別有關(guān)”,則在這被調(diào)查的80名女生中支持增加中學(xué)生體育鍛煉時(shí)間的人數(shù)的最小值為(
)附:,其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.15 B.65 C.16 D.668.古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書(shū)中提出如下問(wèn)題:某人給一個(gè)人布施,初日施2子安貝(古印度貨幣單位),以后逐日倍增,問(wèn)一月共施幾何?在這個(gè)問(wèn)題中,以一個(gè)月31天計(jì)算,記此人第日布施了子安貝(其中,),數(shù)列的前項(xiàng)和為.若關(guān)于的不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最大值為(
)A.15 B.20 C.24 D.27二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分9.若正實(shí)數(shù)a,b滿足,則(
)A. B.C. D.10.某中學(xué)在學(xué)校藝術(shù)節(jié)舉行“三獨(dú)”比賽(獨(dú)唱獨(dú)奏獨(dú)舞),由于疫情防控原因,比賽現(xiàn)場(chǎng)只有9名教師評(píng)委給每位參賽選手評(píng)分,全校4000名學(xué)生通過(guò)在線直播觀看并網(wǎng)絡(luò)評(píng)分,比賽評(píng)分采取10分制.某選手比賽后,現(xiàn)場(chǎng)9名教師原始評(píng)分中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分,得到7個(gè)有效評(píng)分如下表.對(duì)學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評(píng)分按分成三組,其頻率分布直方圖如圖所示.教師評(píng)委ABCDEFG有效評(píng)分9.69.19.48.99.29.39.5則下列說(shuō)法正確的是(
)A.現(xiàn)場(chǎng)教師評(píng)委7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分的中位數(shù)相同B.估計(jì)全校有1200名學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)評(píng)分在區(qū)間內(nèi)C.在去掉最高分和最低分之前9名教師評(píng)委原始評(píng)分的極差一定大于0.7D.從學(xué)生觀眾中隨機(jī)抽取10人,用頻率估計(jì)概率,X表示評(píng)分不小于9分的人數(shù),則11.如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形是圓柱的軸截面,點(diǎn)為圓弧上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),則(
)A.存在值,使得B.三棱錐體積的最大值為C.當(dāng)時(shí),異面直線與所成角的余弦值為D.當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí),平面截四棱錐外接球的截面面積為三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分12.已知集合,,若,則的值為.13.若,且,則.14.如圖,一張紙的長(zhǎng),寬,.M,N分別是AD,BC的中點(diǎn).現(xiàn)將沿BD折起,得到以A,B,C,D為頂點(diǎn)的三棱錐,則三棱錐的外接球O的半徑為;在翻折的過(guò)程中,直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)的取值范圍是.四.本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸.15.已知命題:“,使得不等式成立”是真命題.(1)求實(shí)數(shù)m的取值集合A;(2)設(shè)不等式的解集為B,若是的充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.16.2020年11月,國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃(2021-2035年)》,要求深入實(shí)施發(fā)展新能源汽車(chē)國(guó)家戰(zhàn)略,推動(dòng)中國(guó)新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量可持續(xù)發(fā)展,加快建設(shè)汽車(chē)強(qiáng)國(guó).同時(shí)為了推廣新能源替代傳統(tǒng)非綠色能源,除了財(cái)政補(bǔ)貼、稅收優(yōu)惠等激勵(lì)性政策外,可間接通過(guò)前期技術(shù)研發(fā)支持等政策引導(dǎo)能源發(fā)展方向.某企業(yè)多年前就開(kāi)始進(jìn)行新能源汽車(chē)方面的研發(fā),現(xiàn)對(duì)近10年的年技術(shù)創(chuàng)新投入和每件產(chǎn)品成本(,2,3,…,10)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到如下散點(diǎn)圖,
并計(jì)算得:,,,,.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可知,可用函數(shù)模型擬合y與x的關(guān)系,試建立y關(guān)于x的回歸方程;(2)已知該產(chǎn)品的年銷售額m(單位:千萬(wàn)元)與每件產(chǎn)品成本y的關(guān)系為.該企業(yè)的年投入成本除了年技術(shù)創(chuàng)新投入,還要投入其他成本10千萬(wàn)元,根據(jù)(1)的結(jié)果回答:當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入x為何值時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?(注:年利潤(rùn)年銷售額年投入成本)參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:,.17.如圖,已知六面體的面為梯形,,,,,棱平面,,,為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的大小.18.某公司生產(chǎn)一種大件產(chǎn)品的日產(chǎn)為2件,每件產(chǎn)品質(zhì)量為一等的概率為0.5,二等的概率為0.4,若達(dá)不到一?二級(jí),則為不合格,且生產(chǎn)兩件產(chǎn)品品質(zhì)結(jié)果相互獨(dú)立.已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如下表:等級(jí)一等二等三等利潤(rùn)(萬(wàn)元/每件)0.80.6-0.3(1)求生產(chǎn)兩件產(chǎn)品中至少有一件一等品的概率;(2)求該公司每天所獲利潤(rùn)(萬(wàn)元)的數(shù)學(xué)期望;(3)若該工廠要增加日產(chǎn)能,公司工廠需引入設(shè)備及更新技術(shù),但增加n件產(chǎn)能,其成本也將相應(yīng)提升(萬(wàn)元),假如你作為工廠決策者,你覺(jué)得該廠目前該不該增產(chǎn)?請(qǐng)回答,并說(shuō)明理由.()19.如圖,已知四棱錐的底面為菱形,且,,.是棱PD上的點(diǎn),且四面體的體積為(1)證明:;(2)若過(guò)點(diǎn)C,M的平面α與BD平行,且交PA于點(diǎn)Q,求平面與平面夾角的余弦值.1.D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合,再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】,,所以.故選:D.2.C【解析】由分段函數(shù)的表達(dá)式,代入即可求解.【詳解】由,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)、分段函數(shù)求函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.3.A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義,求出的值,結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】為奇函數(shù),此式子對(duì)于定義域內(nèi)的任意皆成立,必有則故“”是“為奇函數(shù)”的充分不必要條件,正確.故選:4.C【分析】先求出的通項(xiàng)公式,然后整理出項(xiàng)的系數(shù),根據(jù)系數(shù)相等可得答案.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,令,可得;所以含項(xiàng)的系數(shù)為,即,解得.故選:C.5.B【分析】設(shè)事件“運(yùn)動(dòng)員從這兩筐球中任取一個(gè)排球,則取到紅色排球”,事件“運(yùn)動(dòng)員從甲筐球中取球”,事件“運(yùn)動(dòng)員從乙筐球中取球”,計(jì)算出,,,由全概率公式可得答案.【詳解】設(shè)事件“運(yùn)動(dòng)員從這兩筐球中任取一個(gè)排球,則取到紅色排球”,事件“運(yùn)動(dòng)員從甲筐球中取球”,事件“運(yùn)動(dòng)員從乙筐球中取球”,由題意可得,,,,由全概率公式可得.故選:B.6.D【分析】根據(jù)題意可判斷是以4為周期的周期函數(shù),即可利用周期性和奇偶性求解.【詳解】由為偶函數(shù)且得,所以是以4為周期的周期函數(shù),所以,故選:D.7.D【分析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)公式列出不等式,進(jìn)而求解即可.【詳解】因?yàn)橛?5%以上的把握認(rèn)為“支持增加中學(xué)生體育鍛煉時(shí)間的政策與性別有關(guān)”,所以,即,因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)單調(diào)遞增,且,,,所以的最小值為16,所以在這被調(diào)查的80名女生中支持增加中學(xué)生體育鍛煉時(shí)間的人數(shù)的最小值為.故選:D.8.D【分析】根據(jù)題意可得,數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,從而得到,然后將分離出來(lái),再結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知,數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故,所以2.由,得,整理得對(duì)任意,且恒成立,又,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以,即實(shí)數(shù)的最大值為27.故選:D.9.BCD【分析】舉出反例即可判斷A;利用基本不等式即可判斷B;由題意可得,再利用基本不等式中“1”的等量代換即可判斷C;將兩邊平方,再利用作差法即可判斷D.【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí),滿足,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由,得,所以或(舍去),所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),故B正確;對(duì)于C,由,得,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取等號(hào),故C正確;對(duì)于D,由,得,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),所以,故D正確.故選:BCD.10.ABD【分析】根據(jù)中位數(shù)概念判斷A,由頻率分布直方圖估計(jì)樣本容量判斷B,由極差概念判斷C,由二項(xiàng)分布求出期望判斷D.【詳解】去掉9個(gè)原始評(píng)分中的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分,不會(huì)改變?cè)摻M數(shù)據(jù)的中位數(shù),A正確;因?yàn)閷W(xué)生網(wǎng)絡(luò)評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.3,學(xué)生總?cè)藬?shù)為4000,則網(wǎng)絡(luò)評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生估計(jì)有人,B正確;若去掉的一個(gè)最高分為9.6,去掉的一個(gè)最低分為8.9,則9名教師原始評(píng)分的極差等于0.7,C錯(cuò)誤;學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.5,則,所以,D正確;故選:ABD.11.BCD【分析】利用線面垂直的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A;根據(jù)棱錐的體積計(jì)算公式判斷選項(xiàng)B;建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量的夾角公式判斷選項(xiàng)C;利用線面垂直的性質(zhì)以及勾股定理和基本不等式即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng),由題意知,若,,平面,則平面,所以,不成立,故不正確;對(duì)于選項(xiàng),在三棱錐中,半圓面,則是三棱錐的高,當(dāng)點(diǎn)是半圓弧的中點(diǎn)時(shí),三棱錐的底面積取得最大值,三棱錐的體積取得最大值為,故選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C:當(dāng)時(shí),則為的中點(diǎn),以的中點(diǎn)為原點(diǎn),以分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,可得,則,故異面直線與所成角的余弦值為,所以正確;對(duì)于選項(xiàng),取的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),連接,由題意知,平面,平面,,又因?yàn)?,,平面,可得平面,所以為在平面?nèi)的射影,則為直線與平面所成的角,設(shè),則,在Rt中,,所以,故,令,則,且,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以,則,所以直線與平面所成最大角的正弦值為,此時(shí),所以,連接,因?yàn)槠矫?,平面,所以,因?yàn)闉檎叫?,所以,在中,可得,在中,可得,則,因?yàn)?,所以點(diǎn)為四棱錐外接球的球心,因?yàn)?,由,解得,所以球心到面的距離,設(shè)截面半徑為,則有,所以截面面積為,故D正確.故選:BCD.12.##【分析】由題知,進(jìn)而根據(jù)集合關(guān)系求解即可.【詳解】由得,所以或,解得或,因?yàn)?,所?故答案為:13.##【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性,列式求解.【詳解】由題意可知,正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸為,由正態(tài)分布的對(duì)稱性可得.故答案為:14.【分析】利用外接球球心為兩個(gè)平面的外接圓圓心的交點(diǎn),可知三棱錐的外接球O的球心O在BD的中點(diǎn),即可求出半徑;分析直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)與二面角的大小有關(guān),求出二面角在臨界值時(shí)的情況,即可得到線段長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】解:由于和都是直角三角形,所以兩個(gè)面的外接圓圓心都在BD的中點(diǎn)處,因此三棱錐的外接球O的球心O在BD的中點(diǎn),則半徑,直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)與二面角的大小有關(guān),當(dāng)二面角接近時(shí),直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)最長(zhǎng),趨于直徑,當(dāng)二面角接近時(shí),直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)最短,如圖翻折后,此時(shí),所以則,由相似比可得,所以,直線MN被球O截得的線段長(zhǎng),綜上直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)的取值范圍是,故答案為:;.15.(1)(2)【分析】(1)分離參數(shù)得,利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到答案;(2)因式分解得,設(shè),證明出,從而得到的解集,則得到不等式,解出即可.【詳解】(1)由,使得不等式成立,所以
因?yàn)槎魏瘮?shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且,,所以,當(dāng)時(shí),,
所以,.(2)由可得.
設(shè),令,,單調(diào)遞遞減,,,單調(diào)遞增,,所以,所以
從而或,因?yàn)槭堑某浞謼l件,則,則,即;實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.(1)(2)當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入為40千萬(wàn)元時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值取最大值【分析】(1)令,可得出關(guān)于的線性回歸方程為,利用最小二乘法可求出、的值,即可得出關(guān)于的回歸方程;(2)由可得,可計(jì)算出年利潤(rùn)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的值.【詳解】(1)令,則y關(guān)于u的線性回歸方程為,
由題意可得,
,
則,
所以,y關(guān)于x的回歸方程為.(2)由可得,
年利潤(rùn),
當(dāng)時(shí),年利潤(rùn)M取得最大值,此時(shí),
所以,當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入為40千萬(wàn)元時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值取最大值17.(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法證明線面平行;(2)求出平面的法向量后利用線面角的向量公式直接求解即可.【詳解】(1)因?yàn)槠矫鍭BCD,所以,,且,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則所以設(shè)平面的法向量為,則,令,解得,故,所以,故,又平面,所以平面.(2)由(1)得設(shè)平面的法向量為則,令,解得,故所以,設(shè)直線與平面所成的角為,則又,所以.18.(1)0.75(2)1.22(萬(wàn)元)(3)不該增產(chǎn),理由見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算;(2)先分析的可取值,再按步驟寫(xiě)出分布列,根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求解;(3)分析當(dāng)產(chǎn)品的數(shù)量增加n件時(shí)的凈利潤(rùn),根據(jù)凈利潤(rùn)決策.【詳解】(1)設(shè)一件產(chǎn)品是一等品為事件A,則一件產(chǎn)品不是一等品為事件,,2件產(chǎn)品至少有1件為一等品事件為,其概率;(2)設(shè)一件產(chǎn)品為一等品為事件A,二等品為事件B,次品為事件C,則,則可取的值為,,,,,,其分布列為:-0.60.30.51.21.41.60.010.080.10.160.40.25數(shù)學(xué)期望(萬(wàn)元);(3)由(2)可知,每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為(萬(wàn)元),則增加n件產(chǎn)品,利潤(rùn)增加為萬(wàn)元),成本也相應(yīng)提高(萬(wàn)元),所以凈利潤(rùn),,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,是增函數(shù),當(dāng)時(shí),是減函數(shù),在取得最大值,又,只能取整數(shù),或時(shí)可能為最大值,
,,即在取得最大值時(shí)也是虧本的,所以不應(yīng)增加產(chǎn)量;19.(1)證明見(jiàn)解析;(2).【分析】(1)解法一:取AB中點(diǎn)O,連接PO,CO.推導(dǎo)得到平面,平面PBC,根據(jù)體積即可得出答案;解法二:先證明平面PAB.過(guò)M作交AP于點(diǎn)N,證明得到平面PBC,根據(jù)體積即可得出答案;(2)解法一:建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合平面向量基本定理,求出平面的法向量,計(jì)算即可得出答案;解法二:建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面的法向量,計(jì)算即可得出答案;解法三:通過(guò)作圖,作出二面角的平面角,構(gòu)造直角三角形,即可得出答案.【詳解】(1)解法一:如圖1,取AB中點(diǎn)O,連接PO,CO.因?yàn)?,,所以,?又因?yàn)槭橇庑危裕?因?yàn)?,所以,所?又因?yàn)槠矫?,平面ABCD,,所以平面.因?yàn)?,平面PBC,平面PBC,所以平面PBC,所以.因?yàn)?,所以點(diǎn)M到平面PBC的距離是點(diǎn)D到平面PBC的距離的,所以.解法二:如圖2,取AB中點(diǎn)O,連接PO,CO,因?yàn)?,,所以,,,又因?yàn)槭橇庑?,,所以?因?yàn)?,所以,?/p>
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