新高考高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)全透視專題14.5數(shù)列綜合問題(精講精析篇)(原卷版+解析)

專題14.5數(shù)列綜合問題（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1.數(shù)列與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化相結(jié)合，考查等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．2．?dāng)?shù)列與新定義問題相結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化、遷移能力，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．3．?dāng)?shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合，考查學(xué)生綜合分析解決問題的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．二、考試要求(1)掌握各類數(shù)列求和方法.(2)能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差、等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.(3)能靈活處理數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識(shí)的結(jié)合問題.三、主干知識(shí)梳理（一）數(shù)列的求和1.等差數(shù)列的前和的求和公式：.2．等比數(shù)列前項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，（錯(cuò)位相減法）.3.數(shù)列前項(xiàng)和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差數(shù)列中，；③等比數(shù)列中，.（二）數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：（1）已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；（2）已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形．（三）數(shù)列與不等式1.數(shù)列型不等式的證明常用到“放縮法”，一是在求和中將通項(xiàng)“放縮”為“可求和數(shù)列”；二是求和后再“放縮”．放縮法常見的放縮技巧有：(1)eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1))).(2)eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k).(3)2(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＜eq\f(1,\r(n))＜2(eq\r(n)－eq\r(n－1))．2.數(shù)列中不等式恒成立的問題數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前n項(xiàng)和的恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題；求項(xiàng)或前n項(xiàng)和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解．（四）解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟(1)確定模型類型：理解題意，看是哪類數(shù)列模型，一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡(jiǎn)單遞推數(shù)列模型．基本特征如下：等差數(shù)列模型：均勻增加或者減少等比數(shù)列模型：指數(shù)增長(zhǎng)或減少，常見的是增產(chǎn)率問題、存款復(fù)利問題簡(jiǎn)單遞推數(shù)列模型：指數(shù)增長(zhǎng)的同時(shí)又均勻減少．如年收入增長(zhǎng)率為20%，每年年底要拿出a(常數(shù))作為下年度的開銷，即數(shù)列(2)準(zhǔn)確解決模型：解模就是根據(jù)數(shù)列的知識(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的和、解方程(組)或者不等式(組)等，在解模時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確．(3)給出問題的回答：實(shí)際應(yīng)用問題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對(duì)實(shí)際問題的答案，在解題中不要忽視了這點(diǎn)．二、真題展示1．（2023·浙江高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是（）A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線2．（2023·天津高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明考點(diǎn)01數(shù)列求和【典例1】（2023·山東濟(jì)南市·高三二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【典例2】(2023·天津高考真題（文））設(shè){an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*）；{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求Sn和Tn；（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整數(shù)n的值．【典例3】（2023·全國(guó)高考真題（理））設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【總結(jié)提升】1．公式法：如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式來求和.對(duì)于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：類似于等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法，如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．3．錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0等比數(shù)列，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0兩式錯(cuò)位相減并整理即得.4．裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前SKIPIF1<0項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法.適用于類似SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，SKIPIF1<0為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和，(1)裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法：=1\*GB3①SKIPIF1<0，特別地當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；=2\*GB3②，特別地當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，；=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤5．分組轉(zhuǎn)化求和法：有一類數(shù)列SKIPIF1<0，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.6．并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，.考點(diǎn)02等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【典例4】（2023·天津高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【典例5】（2023·山東泰安市·高三三模）在①成等比數(shù)列，②是和的等差中項(xiàng)，③的前項(xiàng)和是這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并求解．已知數(shù)列為公差大于的等差數(shù)列，，且前項(xiàng)和為，若_______，數(shù)列為等比數(shù)列，且．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【總結(jié)提升】用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題：(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.考點(diǎn)03數(shù)列與函數(shù)的綜合【典例7】（2023·江西九江一中高二月考（理））設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意，函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________________．【典例8】（2023·河南高二期中（理））在數(shù)列中，，，若對(duì)于任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為__________．【典例9】(2023山東，理19）已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2（Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積.【溫馨提醒】解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問題的求解過程中往往會(huì)遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常用解法有助于該類問題的解決．考點(diǎn)04數(shù)列與不等式的綜合【典例10】【多選題】（2023·高密市教育科學(xué)研究院高三其他）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，則（）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最小值為【典例11】（2023·山東泰安市·高三其他模擬）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求的公比q；（2）對(duì)于，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值．【溫馨提醒】應(yīng)用基本不等式，要注意條件“一正、二定、三相等”是否完全具備.考點(diǎn)05數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題【典例12】(2023·全國(guó)高考真題（理））幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（）A．440 B．330C．220 D．110【典例13】（2023·全國(guó)高考真題（理））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【總結(jié)提升】1.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.2.等比數(shù)列最值有關(guān)問題的解題思路：求解此類問題的常用思路是根據(jù)題目所給條件建立關(guān)于變量n的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解．有時(shí)也注意基本不等式的應(yīng)用．考點(diǎn)06數(shù)列的“新定義”問題【典例14】（2023·山東青島市·高三三模）行列式是近代數(shù)學(xué)中研究線性方程的有力工具，其中最簡(jiǎn)單的二階行列式的運(yùn)算定義如下：，已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A． B．45 C．75 D．150鞏固提升1.（2023·甘肅張掖市第二中學(xué)高二月考（理））已知是的等差中項(xiàng)，是，的等比中項(xiàng)，則等于___________．2.（2023·上海高三模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列{an}滿足0，則稱{an}為“夢(mèng)想數(shù)列”．已知數(shù)列{}為“夢(mèng)想數(shù)列”，且b1＝2，則{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝_______．3．（2023·河南鄭州·高二期中（理））等比數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)的和為，已知，，則____．4．（2023·甘肅張掖市第二中學(xué)高三月考（理））若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則__________．5.（2023·北京高考模擬（文））天壇公園是明、清兩代皇帝“祭天”“祈谷”的場(chǎng)所．天壇公園中的圜丘臺(tái)共有三層（如圖1所示），上層壇的中心是一塊呈圓形的大理石板，從中心向外圍以扇面形石（如圖2所示）．上層壇從第一環(huán)至第九環(huán)共有九環(huán)，中層壇從第十環(huán)至第十八環(huán)共有九環(huán)，下層壇從第十九環(huán)至第二十七環(huán)共有九環(huán)；第一環(huán)的扇面形石有9塊，從第二環(huán)起，每環(huán)的扇面形石塊數(shù)比前一環(huán)多9塊，則第二十七環(huán)的扇面形石塊數(shù)是______；上、中、下三層壇所有的扇面形石塊數(shù)是_______．6.(2023·全國(guó)高考真題（文））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求.7．（2023·河南鄭州·高二期中（文））已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，其中，且，.（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.8.（2023·上海楊浦?復(fù)旦附中高一月考）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（），設(shè)（），數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求、、的值；（2）利用“歸納—猜想—證明”求出的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.9.（2023·全國(guó)高考真題（文））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．10.（2023·浙江高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.專題14.5數(shù)列綜合問題（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1.數(shù)列與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化相結(jié)合，考查等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．2．?dāng)?shù)列與新定義問題相結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化、遷移能力，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．3．?dāng)?shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合，考查學(xué)生綜合分析解決問題的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．二、考試要求(1)掌握各類數(shù)列求和方法.(2)能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差、等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.(3)能靈活處理數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識(shí)的結(jié)合問題.三、主干知識(shí)梳理（一）數(shù)列的求和1.等差數(shù)列的前和的求和公式：.2．等比數(shù)列前項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，（錯(cuò)位相減法）.3.數(shù)列前項(xiàng)和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差數(shù)列中，；③等比數(shù)列中，.（二）數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：（1）已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；（2）已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形．（三）數(shù)列與不等式1.數(shù)列型不等式的證明常用到“放縮法”，一是在求和中將通項(xiàng)“放縮”為“可求和數(shù)列”；二是求和后再“放縮”．放縮法常見的放縮技巧有：(1)eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1))).(2)eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k).(3)2(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＜eq\f(1,\r(n))＜2(eq\r(n)－eq\r(n－1))．2.數(shù)列中不等式恒成立的問題數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前n項(xiàng)和的恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題；求項(xiàng)或前n項(xiàng)和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解．（四）解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟(1)確定模型類型：理解題意，看是哪類數(shù)列模型，一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡(jiǎn)單遞推數(shù)列模型．基本特征如下：等差數(shù)列模型：均勻增加或者減少等比數(shù)列模型：指數(shù)增長(zhǎng)或減少，常見的是增產(chǎn)率問題、存款復(fù)利問題簡(jiǎn)單遞推數(shù)列模型：指數(shù)增長(zhǎng)的同時(shí)又均勻減少．如年收入增長(zhǎng)率為20%，每年年底要拿出a(常數(shù))作為下年度的開銷，即數(shù)列(2)準(zhǔn)確解決模型：解模就是根據(jù)數(shù)列的知識(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的和、解方程(組)或者不等式(組)等，在解模時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確．(3)給出問題的回答：實(shí)際應(yīng)用問題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對(duì)實(shí)際問題的答案，在解題中不要忽視了這點(diǎn)．二、真題展示1．（2023·浙江高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是（）A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線答案：C分析：首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對(duì)所得的等式進(jìn)行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解】由題意得，即，對(duì)其進(jìn)行整理變形：，，，，所以或，其中為雙曲線，為直線.故選：C.2．（2023·天津高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明答案：（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.分析：（I）由等差數(shù)列的求和公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)公式；（II）（i）運(yùn)算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；（ii）放縮得，進(jìn)而可得，結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得證.【詳解】（I）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．所以，所以，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以；（II）（i）由題意，，所以，所以，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）由題意知，，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，所以.考點(diǎn)01數(shù)列求和【典例1】（2023·山東濟(jì)南市·高三二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．答案：（1）；（2）．【解析】（1）根據(jù)題意列方程求出首項(xiàng)與公差即可求解；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差，因?yàn)椋?，所以，解得，所以．?），所以．【典例2】(2023·天津高考真題（文））設(shè){an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*）；{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求Sn和Tn；（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整數(shù)n的值．答案：(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.【解析】（I）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由b1=1，b3=b2+2，可得．因?yàn)?，可得，故．所以，．設(shè)等差數(shù)列的公差為．由，可得．由，可得從而，故，所以，．（II）由（I），有由,可得，整理得解得（舍），或．所以n的值為4．【典例3】（2023·全國(guó)高考真題（理））設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．答案：（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，.【總結(jié)提升】1．公式法：如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式來求和.對(duì)于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：類似于等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法，如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．3．錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0等比數(shù)列，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0兩式錯(cuò)位相減并整理即得.4．裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前SKIPIF1<0項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法.適用于類似SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，SKIPIF1<0為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和，(1)裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法：=1\*GB3①SKIPIF1<0，特別地當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；=2\*GB3②，特別地當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，；=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤5．分組轉(zhuǎn)化求和法：有一類數(shù)列SKIPIF1<0，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.6．并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，.考點(diǎn)02等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【典例4】（2023·天津高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．答案：（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項(xiàng)公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項(xiàng)公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，對(duì)任意的正整數(shù)n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.【典例5】（2023·山東泰安市·高三三模）在①成等比數(shù)列，②是和的等差中項(xiàng)，③的前項(xiàng)和是這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并求解．已知數(shù)列為公差大于的等差數(shù)列，，且前項(xiàng)和為，若_______，數(shù)列為等比數(shù)列，且．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．答案：（1），；（2）.【解析】（1）分別選條件①，選條件②，選條件③根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列基本量的運(yùn)算，直接求解即可；（2）等差等比數(shù)列乘積的數(shù)列可以利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列和.【詳解】（1）設(shè)的公差為選條件①：，或，，所以，選條件②：，，即解得：，，選條件③：的前項(xiàng)和是，即解得：．，設(shè)的公比為，，，，（2）．【總結(jié)提升】用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題：(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.考點(diǎn)03數(shù)列與函數(shù)的綜合【典例7】（2023·江西九江一中高二月考（理））設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意，函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________________．答案：分析：根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可以判定函數(shù)為唯一零點(diǎn)的橫坐標(biāo)必然為0，進(jìn)而得到數(shù)列的和與項(xiàng)的關(guān)系式，利用作差法消和得到項(xiàng)的遞推關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列結(jié)合首項(xiàng)的求解結(jié)果，可以判定數(shù)列是等比數(shù)列，然后寫出通項(xiàng)公式即可.【詳解】函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，結(jié)合余弦函數(shù)和二次函數(shù)的對(duì)稱性，為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱可知這個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)一定是0，（否則公共點(diǎn)則成對(duì)出現(xiàn)），即,取得,所以,當(dāng)時(shí)得到,,即,∴數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴,即故答案為：.【典例8】（2023·河南高二期中（理））在數(shù)列中，，，若對(duì)于任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為__________．答案：【解析】由有，故數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，可得.不等式可化為，令，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，，故，，因此，實(shí)數(shù)的最小值是.故答案為：.【典例9】(2023山東，理19）已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2（Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積.答案：(I)（II）（II）過……向軸作垂線，垂足分別為……,由(I)得記梯形的面積為.由題意，所以……+=……+=1\*GB3①又……+=2\*GB3②=1\*GB3①-=2\*GB3②得=所以【溫馨提醒】解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問題的求解過程中往往會(huì)遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常用解法有助于該類問題的解決．考點(diǎn)04數(shù)列與不等式的綜合【典例10】【多選題】（2023·高密市教育科學(xué)研究院高三其他）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，則（）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最小值為答案：ABD【解析】因?yàn)檎?xiàng)等差數(shù)列滿足，所以，即.①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故A選項(xiàng)正確.②由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故B選項(xiàng)正確.③，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以的最小值為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.④結(jié)合①的結(jié)論，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD【典例11】（2023·山東泰安市·高三其他模擬）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求的公比q；（2）對(duì)于，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值．答案：（1）2；（2）【解析】（1）由已知建立關(guān)系即可求出公比；（2）化簡(jiǎn)可得不等式等價(jià)于，利用的單調(diào)性可求出最小值，即可得出.【詳解】解：（1）由，得，整理得，所以，因?yàn)?，所以，由題意得，所以．（2）由（1）得，所以，所以，所以，令．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，遞增，所以．所以，故實(shí)數(shù)的最大值為．【溫馨提醒】應(yīng)用基本不等式，要注意條件“一正、二定、三相等”是否完全具備.考點(diǎn)05數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題【典例12】(2023·全國(guó)高考真題（理））幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（）A．440 B．330C．220 D．110答案：A【解析】解法一：由題意得，數(shù)列如下：則該數(shù)列的前項(xiàng)和為，要使，有，此時(shí)，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設(shè)，所以，則，此時(shí)，所以對(duì)應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)，故選A.解法二(排除法)：記SN為數(shù)列的前N項(xiàng)和，由題意得，數(shù)列的前110項(xiàng)為20,20,21,20,21，…，20,21，…，213,20,21,22,23,24，所以S110＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋213)＋(20＋21＋22＋23＋24)＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(214－1)＋(25－1)＝(21＋22＋…＋214)－14＋31＝215＋15，這是一個(gè)奇數(shù)，不可能是2的整數(shù)冪，故選項(xiàng)D不正確．同理，S220＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋219)＋(20＋21＋22＋23＋…＋29)＝221＋210－23，這是一個(gè)奇數(shù)，不可能是2的整數(shù)冪，故選項(xiàng)C不正確．同理，S330＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋224)＋(20＋21＋22＋23＋24)＝226＋4，不是2的整數(shù)冪，故選項(xiàng)B不正確，所以正確的選項(xiàng)為A.解法三：不妨設(shè)1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2n－1)＋(1＋2＋…＋2t)＝2m(其中m、n、t∈N,0≤t≤n)，則有N＝eq\f(nn＋1,2)＋t＋1，因?yàn)镹＞100，所以n≥13.由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得2n＋1－n－2＋2t＋1－1＝2m.因?yàn)閚≥13，所以2n＞n＋2，所以2n＋1＞2n＋n＋2，即2n＋1－n－2＞2n，因?yàn)?t＋1－1＞0，所以2m＞2n＋1－n－2＞2n，故m≥n＋1，因?yàn)?t＋1－1≤2n＋1－1，所以2m≤2n＋2－n－3，故m≤n＋1.所以m＝n＋1，從而有n＝2t＋1－3，因?yàn)閚≥13，所以t≥3.當(dāng)t＝3時(shí)，N＝95，不合題意；當(dāng)t＝4時(shí)，N＝440，滿足題意，故所求N的最小值為440.【典例13】（2023·全國(guó)高考真題（理））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊答案：C【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【總結(jié)提升】1.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.2.等比數(shù)列最值有關(guān)問題的解題思路：求解此類問題的常用思路是根據(jù)題目所給條件建立關(guān)于變量n的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解．有時(shí)也注意基本不等式的應(yīng)用．考點(diǎn)06數(shù)列的“新定義”問題【典例14】（2023·山東青島市·高三三模）行列式是近代數(shù)學(xué)中研究線性方程的有力工具，其中最簡(jiǎn)單的二階行列式的運(yùn)算定義如下：，已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A． B．45 C．75 D．150答案：C【解析】先由行列式的定義化簡(jiǎn)，再根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求和即可.【詳解】由行列式的定義有，即，所以.故選：C.鞏固提升1.（2023·甘肅張掖市第二中學(xué)高二月考（理））已知是的等差中項(xiàng)，是，的等比中項(xiàng)，則等于___________．答案：##分析：利用等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的性質(zhì)求參數(shù)a、b，進(jìn)而求的值.【詳解】由是的等差中項(xiàng)，則，又是，的等比中項(xiàng)，則，即，∴．故答案為：．2.（2023·上海高三模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列{an}滿足0，則稱{an}為“夢(mèng)想數(shù)列”．已知數(shù)列{}為“夢(mèng)想數(shù)列”，且b1＝2，則{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝_______．答案：3n﹣1分析：由題得是公比為的等比數(shù)列，則是公比為3的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)求解.【詳解】由＝0可得an＋1＝an，故{an}是公比為的等比數(shù)列，由數(shù)列{}為“夢(mèng)想數(shù)列”，得{bn+1}是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以bn+1＝3×3n﹣1＝3n，則bn＝3n﹣1．故答案為：3n﹣1．3．（2023·河南鄭州·高二期中（理））等比數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)的和為，已知，，則____．答案：分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的求和公式列方程組，求出和的值，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，所以，可得，所以，，所以，故答案為?4．（2023·甘肅張掖市第二中學(xué)高三月考（理））若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則__________．答案：25分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再代入計(jì)算即可.【詳解】解：由數(shù)列