高中數(shù)學(xué)選擇性必修二課件：微專題2 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型突破(人教A版)

微專題2導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型突破第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值(最值)是高考的常見題型，常將導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式等知識交匯命題，難度偏向中高檔.一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；①當a≤0時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；②當a>0時，令g(x)＝ax2－2x＋a，∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，∴g(x)≥0在區(qū)間[1，＋∞)上恒成立，∴a≥1.∴當a≥1時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.∴實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0]∪[1，＋∞).(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解f(x)的定義域為(0，＋∞)，由(1)可知：①當a≤0時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；②當a≥1時，此時函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.③當0<a<1時，由ax2－2x＋a＝0，綜上，當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，當a≥1時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.反思感悟利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)注意以下幾點(1)關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間.(2)已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性時轉(zhuǎn)化要等價.(3)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實質(zhì)是討論不等式的解集.(4)求參數(shù)的范圍時常用到分離參數(shù)法.反思感悟利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)注意以下幾點(1)關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間.(2)已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性時轉(zhuǎn)化要等價.(3)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實質(zhì)是討論不等式的解集.(4)求參數(shù)的范圍時常用到分離參數(shù)法.二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題例2

已知函數(shù)f(x)＝2ax－ln(2x)，x∈(0，e]，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R.(1)當a＝1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；解當a＝1時，f(x)＝2x－ln(2x)，(2)是否存在實數(shù)a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.解假設(shè)存在實數(shù)a，使f(x)＝2ax－ln(2x)，x∈(0，e]有最小值3，①當a≤0時，因為x∈(0，e]，所以f′(x)<0，f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，綜上，存在實數(shù)a＝e2，使得當x∈(0，e]時，f(x)的最小值為3.綜上，存在實數(shù)a＝e2，使得當x∈(0，e]時，f(x)的最小值為3.反思感悟(1)已知極值點求參數(shù)的值后，要代回驗證參數(shù)值是否滿足極值的定義.(2)討論極值點的實質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即f′(x)的正負.(3)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值進行比較，最大的那個值是最大值，最小的那個值是最小值.三、利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題例3

設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2時取得極值.(1)求a，b的值；解f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，因為函數(shù)f(x)在x＝1及x＝2時取得極值，所以f′(1)＝0，f′(2)＝0，(2)若對于任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范圍.解由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).當x∈(0,1)時，f′(x)＞0；當x∈(1,2)時，f′(x)＜0；當x∈(2,3)時，f′(x)＞0.所以，當x＝1時，f(x)取極大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.所以當x∈[0,3]時，f(x)的最大值為f(3)＝9＋8c.因為對于任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2恒成立，所以9＋8c＜c2，解得c＜－1或c＞9.因此c的取值范圍為(－∞，－1)∪(9，＋∞).反思感悟解決不等式恒成立問題，有兩種求解方法.一種是轉(zhuǎn)化為求最值，另一種是分離參數(shù).分離參數(shù)求解不等式恒成立問題的步驟四、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題√解析由f′(x)sinx>f(x)cosx，得f′(x)sinx－f(x)cosx>0，(2)已知定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足f(x)>f′(x)，且f(0)＝2，則不等式f(x)<2ex的解集為A.(－∞，0) B.(－∞，2)C.(0，＋∞) D.(2，＋∞)√∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0，即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減.∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，則不等式等價于g(x)<g(0).∵函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，∴x>0，∴不等式的解集為(0，＋∞).反思感悟解決不等式問題，通常先構(gòu)造新函數(shù)，然后再利用導(dǎo)數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性，從而使不等式問題得以解決.五、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，當a≤0時，f′(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當x>1時，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(1)>0，反思感悟利用導(dǎo)數(shù)證明不等式(比較大小)常與函數(shù)最值問題有關(guān).因此，解決該類問題通常是構(gòu)造一個函數(shù)，然后考察這個函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合給定的區(qū)間和函數(shù)在該區(qū)間端點的函數(shù)值使問題得以求解.備用工具&資料當x>1時，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(1)>0，解函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，當a≤0時，f′(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.①當a≤0時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；②當a>0時，令g(x)＝ax2－2x＋a，∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是單