四川省綿陽市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月月考理試題含解析

Page19Page19留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、考號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的）1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定集合，再由并集的定義計(jì)算．詳解】由已知，故選：C．2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依據(jù)命題的否定的定義推斷．【詳解】存在命題的否定是全稱命題，命題“，”的否定是：，．故選：C．3.函數(shù)的零點(diǎn)為，且，，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】依據(jù)零點(diǎn)的存在性定理求解.【詳解】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且，即，所以，故選：C.4.已知函數(shù)的最小正周期是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的最小正周期可求得的值，由當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，可求出的值，可得出函數(shù)的解析式，然后代值計(jì)算可得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，則，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則，所以，，所以，，其中，因此，.故選：B.5.在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）與燃料的質(zhì)量（單位：），火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系是．當(dāng)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)到．若要使火箭的最大速度達(dá)到，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值應(yīng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可求得，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意得：，，，即當(dāng)火箭的最大速度達(dá)到，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為.故選：D.6.已知等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和滿意，則（）A.4 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，與等差中項(xiàng)易得，由等差中項(xiàng)易得.【詳解】是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)為，，，.故選：A.7.已知點(diǎn)在冪函數(shù)f（x）＝xn的圖象上，設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.b＜a＜c B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.a＜c＜b【答案】C【解析】【分析】先將點(diǎn)代入冪函數(shù)即可求出，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可推斷出大小.【詳解】解：∵點(diǎn)在冪函數(shù)f（x）＝xn的圖象上，∴，∴，∴冪函數(shù)，在上單調(diào)遞減，又∵，∴，即a＞c＞b.故選：C．8.若：實(shí)數(shù)使得“”為真命題，：實(shí)數(shù)使得“”為真命題，則是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)命題的真假性求出的范圍，化簡命題，再依據(jù)充分性和必要性的概念求解即可.【詳解】因?yàn)椋簩?shí)數(shù)使得“”為真命題，所以有解，所以，解得，即；因?yàn)椋簩?shí)數(shù)使得“”為真命題，所以，由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得，即，所以，，即是的必要不充分條件，故選：A9.部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性以及函數(shù)值的對(duì)應(yīng)性，利用解除法即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，可化為所以，故為偶函數(shù)，圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，解除B，D選項(xiàng)；令可得，或，由，解得，，由，解得，所以函數(shù)最小的正零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，，，解除A，故選：C.10.設(shè)函數(shù)，則使得的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)解析式推斷函數(shù)單調(diào)性和奇偶性，將外函數(shù)大小比較轉(zhuǎn)換為內(nèi)函數(shù)的大小比較，由此得出答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且所以函?shù)為偶函數(shù)，

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)，單調(diào)遞增，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因?yàn)榕己瘮?shù)有，

所以由可得，

所以，即，整理得：，

解得：，

所以的取值范圍為.

故選：C.11.若函數(shù)滿意，且時(shí)，，已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.14 B.13 C.12 D.11【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定條件，分析函數(shù)的性質(zhì)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的部分圖象，借助圖形求出在內(nèi)兩個(gè)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，而，即是周期?的周期函數(shù)，函數(shù)在上遞增，且，在上遞減，且，在上遞增，且，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的部分圖象，如圖，由得，即函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是函數(shù)的圖象在內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，視察圖象知，函數(shù)的圖象在內(nèi)有12個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)在內(nèi)有12個(gè)零點(diǎn)，C正確.故選：C12.函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿意，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題目條件可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)推斷出函數(shù)單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化成，即在上恒成立，求出函數(shù)在上的最大值即可得的取值范圍.【詳解】設(shè)，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)．由的定義域?yàn)榭芍?，得，將不等式整理得，即，可得在上恒成立，即在上恒成立；令，其中，所以，令，得．?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；所以，即故選：B．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若實(shí)數(shù)滿意約束條件，則的最大值為__________.【答案】3【解析】【分析】由實(shí)數(shù)滿意約束條件，作出可行域，再平移直線，由直線直線在y軸上的截距最小時(shí)求解.【詳解】解：由實(shí)數(shù)滿意約束條件，得可行域如圖所示：平移直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取的最大值，最大值為3，故答案為：314.已知函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求出的值，進(jìn)而求解結(jié)論.【詳解】解：∵函數(shù)，∴，∴.故答案為：.15.若，則的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算找出之間的關(guān)系，再利用基本不等式求出最值.【詳解】即：則，于是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】靈敏運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，以及駕馭基本的基本不等式題型.16.設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中確定正確的是_______________.（1）函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱；（2）；（3）；（4）【答案】（1）（3）【解析】【分析】依據(jù)為奇函數(shù)推出對(duì)稱中心,依據(jù)逆向思維得到,代入推出的對(duì)稱軸,進(jìn)一步得出周期4,周期也為4,算出時(shí)的函數(shù)值以及一個(gè)周期內(nèi)的值即可求解.【詳解】因?yàn)?則,因?yàn)?，所?用去替x，所以有，所以有,取代入得到則，故，用換x，可得，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱,故（1）正確；在上為奇函數(shù),則過,圖像向右移動(dòng)兩個(gè)單位得到過，故圖像關(guān)于對(duì)稱，;，而，所以有，則的周期;又因?yàn)閳D像關(guān)于對(duì)稱，;函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱,，故,,故（3）正確；,是由的圖像移動(dòng)變更而來,故周期也為4,因?yàn)?所以，,所以，故（2）錯(cuò)誤；，周期為4,，,,故，由于的值未知，不愿定為0，所以無法推斷的值為-4046，故（4）錯(cuò)誤;故答案為：（1）（3）三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿意：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）．【解析】【詳解】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，可求出，當(dāng)時(shí)，利用可求出是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故而可求出其通項(xiàng)公式；（2）由裂項(xiàng)相消可求出其前項(xiàng)和.試題解析：（1）依題意：當(dāng)時(shí)，有：，又，故，由①當(dāng)時(shí)，有②，①－②得：化簡得：，∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）得：，∴∴18.已知函數(shù)在時(shí)取得極大值4.（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【答案】（1）；（2）最大值為4，,最小值為0.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，依據(jù)，解方程組求出a，b的值；（2）依據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，分別求出極值和端點(diǎn)值，再比較得出最大值和最小值.【小問1詳解】，由題意得，解得.此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以在時(shí)取得極大值.所以.【小問2詳解】由（1）可知，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又因?yàn)?，，，，所以函?shù)在區(qū)間上的最大值為4，,最小值為0.19.記的內(nèi)角所對(duì)邊分別為．已知．（1）求的大??；（2）若，再從下列條件①，條件②中任選一個(gè)作為已知，求的面積．條件①：；條件②：．注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由正弦定理化邊為角，結(jié)合內(nèi)角和公式，三角函數(shù)恒等變換化簡求；(2)若選①，由正弦定理求，由條件求，結(jié)合三角形面積公式求面積，若選②，由條件可設(shè)，利用余弦定理求，結(jié)合三角形面積公式求面積.【小問1詳解】，由正弦定理知，即．在中，由，．．．．【小問2詳解】若選擇條件①，由正弦定理，得．．又，即．．．若選擇條件②，由，即．設(shè)．則．由，得．．．20.已知函數(shù)（），（）．（1）若函數(shù)在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)與的值；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)隨意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)幾何意義得到方程，求出，從而得到，代入切線中，求出答案；（2）轉(zhuǎn)化為時(shí)，，求導(dǎo)得到的單調(diào)性，求出，再分三種狀況求出，得到不等式，求出的取值范圍.【小問1詳解】，由得，∴，，即切點(diǎn)為，代入方程得，所以，；【小問2詳解】由題意可得時(shí)，．∵時(shí)，在恒成立，故在為增函數(shù)，∴，．①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增，所以，由解得，舍去；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故，解得或，∴；③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞減，所以，由解得，∴.綜上，.21.已知函數(shù)（為常數(shù)）.（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)，（）恰為的零點(diǎn)，求的最小值.【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】【詳解】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，探討導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變更規(guī)律：當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)符號(hào)由正變負(fù)，即單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，（2）先求導(dǎo)數(shù)得為方程的兩根，再求導(dǎo)數(shù)得，因此，而由為的零點(diǎn)，得,兩式相減得,即得，因此，從而，其中依據(jù)韋達(dá)定理確定自變量范圍：因?yàn)橛?，所以試題解析：（1），當(dāng)時(shí)，由解得,即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由解得,即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí)，,即在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，故，即在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）,則,所以的兩根即為方程的兩根.因?yàn)?所以,又因?yàn)闉榈牧泓c(diǎn)，所以,兩式相減得,得,而,所以令,由得因?yàn)?兩邊同時(shí)除以，得，因?yàn)?，故，解得或，所以，設(shè)，所以，則在上是減函數(shù)，所以，即的最小值為.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值【思路點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，假如f′(x)＞0，則y＝f(x)在該區(qū)間為增函數(shù)；假如f′(x)＜0，則y＝f(x)在該區(qū)間為減函數(shù).(2)函數(shù)單調(diào)性問題包括：①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，經(jīng)常通過求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為解方程或不等式，常用到分類探討思想；②利用單調(diào)性證明不等式或比較大小，常用構(gòu)造函數(shù)法.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答．留意：只能做所選定的題目．假如多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑．22.已知在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），點(diǎn).（Ⅰ）將曲線的方程化為一般方程，并指出曲線是哪一種曲線；（Ⅱ）直線與曲線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的斜率..【答案】(Ⅰ)，圓;(Ⅱ)1.【解析】【分析】（Ⅰ）消去參數(shù)可得曲線的一般方程是，曲線是圓.（Ⅱ）聯(lián)立直線的參數(shù)方程與圓的一般方程，結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義計(jì)算可得直線的斜率為.【詳解】（Ⅰ）參數(shù)方程化為一般方程可得曲線的一般方程是，曲線是圓.（Ⅱ）點(diǎn)滿意：所以，即.因?yàn)?，所?從而.所以.據(jù)此可得直線的斜率為.【點(diǎn)睛】直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式，而極