專題13 函數(shù)的概念及構(gòu)成要素-【初升高銜接】新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講義（解析版）

第第頁(yè)專題13函數(shù)的概念及構(gòu)成要素【考點(diǎn)清單】1、“函數(shù)的概念設(shè)集合是非空的數(shù)集，對(duì)于中的任意實(shí)數(shù)，按照確定的對(duì)應(yīng)法則，都有唯一確定的實(shí)數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做集合上的一個(gè)函數(shù)．記作．其中，叫做自變量，自變量的取值范圍（數(shù)集）叫做這個(gè)函數(shù)的定義域；與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．函數(shù)也常寫(xiě)作函數(shù)或函數(shù)．2、同一函數(shù)的概念如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)法則完全一致，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)．3、求函數(shù)定義域的原則:①用列表法表示的面數(shù)的定義域,是指表格中實(shí)數(shù)x的集合;用圖象法表示的面數(shù)的定文城,是指圖象在x軸上的投影所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的集合;當(dāng)函數(shù)y=f(x)用解析法表示時(shí)，函數(shù)的定義城是指使解析式有意義的實(shí)數(shù)的集合，一般通過(guò)列不等式(組)求其解集。常見(jiàn)的限制條件有:分式的分母不等于0，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，偶次根式下的被開(kāi)方數(shù)大于或等于0等。②求抽象函數(shù)的定義域常用轉(zhuǎn)移法，若y=f(x)的定義域?yàn)椋╝,b），則解不等式a<g(x)<b即可求出y=f(g(x))的定義域；若y=f(g(x))的定義城為(a，b），則求出g(x)在(a，b)上的值城，即得y=f(x)的定義域.4、復(fù)合函數(shù)的定義域①?gòu)?fù)合函數(shù)的概念：如果是的函數(shù)，記作，是的函數(shù)，記為，且的值域與的定義域的交集非空，則通過(guò)確定了是的函數(shù)，這時(shí)叫做的復(fù)合函數(shù)，其中叫做中間變量，叫做外層函數(shù)，叫做內(nèi)層函數(shù)．②求解策略：1°括號(hào)等于括號(hào)。2°定義域永遠(yuǎn)是x的取值范圍。5、求抽象函數(shù)的解析式①換元法②配湊法③待定系數(shù)法④方程組法【考向精析】考向一：函數(shù)的定義1．（多選）中文“函數(shù).（function）”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯出來(lái)的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，即函數(shù)指一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，下列關(guān)于函數(shù)的命題正確的是（

）

A．與表示同一函數(shù)B．函數(shù)的定義域是C．已知函數(shù)，則在區(qū)間的值域?yàn)镈．上圖所示的橢圓圖形可以表示某一個(gè)函數(shù)的圖像【答案】AC【分析】對(duì)于A，根據(jù)同一函數(shù)的定義即可判斷；對(duì)于B，求解定義域即可判斷；對(duì)于C，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)函數(shù)的概念即可判斷.【詳解】對(duì)于A，與的定義域都為，且解析式一樣，所以與表示同一函數(shù)，A對(duì)；對(duì)于B，，解得且，所以函數(shù)的定義域是，B錯(cuò)；對(duì)于C，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以在區(qū)間的值域?yàn)?，C對(duì)；對(duì)于D，上圖所示的橢圓圖形不可以表示某一個(gè)函數(shù)的圖像，D錯(cuò).故選：AC2．（多選）下列四個(gè)圖象中，是函數(shù)圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)的定義可知，對(duì)任意的自變量，有唯一的值相對(duì)應(yīng)，選項(xiàng)B中的圖像不是函數(shù)圖像，出現(xiàn)了一對(duì)多的情況，其中選項(xiàng)A、C、D皆符合函數(shù)的定義，可以表示是函數(shù).故選：ACD3．（多選）歐拉公式（）被數(shù)學(xué)家們稱為“宇宙第一公式”.（其中無(wú)理數(shù)），如果記小數(shù)點(diǎn)后第位上的數(shù)字為，則是關(guān)于的函數(shù)，記為.設(shè)此函數(shù)定義域（）為，值域（）為，則關(guān)于此函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．函數(shù)的圖像是一群孤立的點(diǎn)C．是的函數(shù) D．【答案】ABD【分析】根據(jù)的定義可知A正確；由可知B正確；根據(jù)函數(shù)定義可知C錯(cuò)誤；根據(jù)，可知D正確.【詳解】對(duì)于A，小數(shù)點(diǎn)后第位上的數(shù)字為，，A正確；對(duì)于B，，的圖像是一群孤立的點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，由的值可知：當(dāng)時(shí)，，不符合函數(shù)的定義，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意知：；又，，D正確.故選：ABD.4．（多選）下列各組函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】ABD【分析】從定義域和對(duì)應(yīng)法則兩方面來(lái)判斷是否是同一函數(shù).【詳解】對(duì)于A，的定義域是，的定義域是R，定義域不同，故不是同一函數(shù)，A錯(cuò)；對(duì)于B，與的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一函數(shù)，B錯(cuò)；對(duì)于C，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)可知兩函數(shù)的解析式與定義域都一樣，所以為同一函數(shù)，C對(duì)；對(duì)于D，的定義域是，的定義域是，定義域不同，故不是同一函數(shù)，D錯(cuò).故選：ABD5．下列等量關(guān)系中，y是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)定義判斷各項(xiàng)正誤即可．【詳解】A：當(dāng)時(shí)，不符合函數(shù)的定義，故錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，不符合函數(shù)的定義，故錯(cuò)誤；C：顯然任意都有唯一y值與之對(duì)應(yīng)，滿足函數(shù)的定義，故正確；D：當(dāng)時(shí)，不符合函數(shù)的定義，故錯(cuò)誤．故選：C6．下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的概念即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義知，一個(gè)有唯一的對(duì)應(yīng)，由圖象可看出，只有選項(xiàng)D的圖象滿足.故選：D.考向二：函數(shù)的定義域7．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合B中函數(shù)的定義域，得到集合B，再求.【詳解】函數(shù)有意義，則有，即，所以，又，所以.故選：D8．已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的定義域求出的定義域，從而可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以，所以,即的定義域?yàn)?，所以，解得，即的定義域是.故選:C.9．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】定義域?yàn)榈娜≈捣秶?，結(jié)合同一對(duì)應(yīng)法則下括號(hào)內(nèi)范圍相同，求出答案.【詳解】由題意得，故，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D10．已知函數(shù)的值域是，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫(huà)出的圖像，數(shù)形結(jié)合即可判斷出答案．【詳解】，畫(huà)出圖像，如圖所示，

令，則，解得或，令，則，解得（舍去）或，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故D正確；故選：D．11．設(shè)集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先分別求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】或，，所以.故選：B.12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____.【答案】【分析】結(jié)合抽象函數(shù)與具體函數(shù)定義域的求法，解不等式組即可得出答案.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋褂幸饬x，則，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：考向三：由函數(shù)的定義域求參數(shù)范圍13．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的范圍________.【答案】【分析】利用函數(shù)定域?yàn)椋瑢?wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于不等式的恒成立問(wèn)題，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍，得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所恒成立，?dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述，.故答案為：.14．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】由，可知，解不等式即可.【詳解】由，可知，解得，故答案為：.考向四：求函數(shù)的解析式15．已知二次函數(shù)滿足，且的最大值是8，則此二次函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件設(shè)二次函數(shù)為，代入條件求解即可.【詳解】根據(jù)題意,由得:的對(duì)稱軸為，設(shè)二次函數(shù)為，因的最大值是8,所以,當(dāng)時(shí),，即二次函數(shù)，由得:,解得：，則二次函數(shù)，故選：A.16．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用換元法令，運(yùn)算求解即可.【詳解】令，則，且，則，可得，所以.故選：B.17．若，且，則______．【答案】1【分析】利用換元法求函數(shù)的解析式，再代入求.【詳解】設(shè)，，所以，即，，得.故答案為：118．寫(xiě)出一個(gè)滿足：的函數(shù)解析式為_(kāi)_____.【答案】【分析】賦值法得到，，求出函數(shù)解析式.【詳解】中，令，解得，令得，故，不妨設(shè)，滿足要求.故答案為：19．已知求的解析式【答案】【分析】令，運(yùn)用換元法進(jìn)行求解即可.【詳解】令，則，代入，得，即20．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足，并且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有，求的解析式.【答案】【分析】對(duì)進(jìn)行賦值，解方程求得的解析式.【詳解】對(duì)任意實(shí)數(shù)，，，令，得，即，又，所以.21．若函數(shù)滿足方程且，則：（1）___________；（2）___________．【答案】【分析】令可得；用替換，再解方程組可得答案.【詳解】令可得：，所以；由①得，②，聯(lián)立①②可得：.故答案為：①；②.【鞏固檢測(cè)】1.已知集合，，則下列圖象中，能表示從集合到集合的一個(gè)函數(shù)的是A．B．C．D．【解析】解：由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)榧希涤驗(yàn)榧系淖蛹?，?duì)于選項(xiàng)：函數(shù)圖像滿足定義域和值域的要求，且定義域內(nèi)一個(gè)對(duì)應(yīng)值域內(nèi)唯一的一個(gè)值，所以選項(xiàng)正確，對(duì)于選項(xiàng)：函數(shù)圖像滿足定義域和值域的要求，但是當(dāng)時(shí)，的值有2個(gè)，不符合函數(shù)的定義，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)：函數(shù)的定義域不符合題意，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)：函數(shù)的定義域不符合題意，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：．2.（多選）中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書(shū)中解釋說(shuō)“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，1930年美國(guó)人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義，已知集合，1，2，，，1，2，4，，給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)法則，請(qǐng)由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從到的函數(shù)的是A． B． C． D．【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)，，，故不能構(gòu)成從到的函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)，，，故能構(gòu)成從到的函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)，，，故不能構(gòu)成從到的函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)，，，故能構(gòu)成從到的函數(shù)；故選：．3.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是A． B． C． D．【解析】解：中，的定義域是，，的定義域是，，，不是同一函數(shù)；中，，，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)；中，，，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)；中，，，它們的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；故選：．4.函數(shù)的定義域?yàn)锳．， B．，， C．，， D．，，【解析】解：由題意得：，解得：且，故選：．5.函數(shù)的定義域?yàn)锳．，，B．， C．， D．，【解析】解：使得函數(shù)的表達(dá)式有意義，則且，解得，．故選：．6.函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C．， D．【解析】解：的定義域是，則恒成立，即恒成立，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故選：．7.函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，有，不合題意；當(dāng)時(shí)，需要，即．實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故選：．8.（2021秋?虎丘區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在，上有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）根據(jù)題意得：在上恒成立，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，有，解得．綜上，的取值范圍是，；（2）根據(jù)題意得在，上恒成立，令，當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，解得滿足題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸且，同時(shí)（1），此時(shí)滿足在，上恒成立，滿足題意．綜上，的取值范圍是，．9.設(shè)在，上有定義，要使函數(shù)有定義，則的取值范圍為A． B． C． D．【解析】解：由條件得：即函數(shù)的定義域就是集合與的交集．（1）當(dāng)時(shí)，，集合與的交集為空集，此時(shí)，函數(shù)沒(méi)有意義；（2）當(dāng)時(shí)，，集合與的交集為，即函數(shù)的定義域?yàn)?；?）當(dāng)時(shí)，，集合與的交集為，即函數(shù)的定義域?yàn)椋唬?）當(dāng)時(shí)，，集合與的交集為空集，此時(shí)，函數(shù)沒(méi)有意義．要使函數(shù)有定義，故選：．10.函數(shù)的定義域?yàn)?，，則函數(shù)定義域?yàn)锳．， B．， C． D．，【解析】解：的定義域?yàn)椋?，，解得：，故函?shù)定義域?yàn)?，，故選：．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則函數(shù)的定義域?yàn)锳．， B．， C．， D．，【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，，解得：，故選：．12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锳． B． C．，， D．，，【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，再由，得，即的定義域?yàn)椋?，即．函?shù)的定義域?yàn)?，，．故選：．13.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锳． B． C． D．，【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，解得：，故選：．14.已知，則函數(shù)