人教A版（2019）選修第二冊 導數(shù)的概念及其意義（含解析）

人教A版(2019)選修第二冊5.1導數(shù)的概念及其意義

(共21題)

一、選擇題(共12題)

1.已知函數(shù)y=/(%),當自變量％由工。改變到(k為常數(shù))時，函數(shù)值的改變量4y

為()

A./(%o+kAx)B./(%。)+/cd%

C./(%0)-kAxD./(%0+如)一/8))

3

2.若函數(shù)/(%)=%,g(%)=%2,/i(x)=x在區(qū)間［0,1］上的平均變化率分別為mlfm2,m3,則

下列結論正確的是()

A.m1=m2=m3B.m1>m2>m3C.m2>m1>m3D.m1<m2<m3

3.已知函數(shù)f(x)=x2圖象上四點A(l,「(l)),B(2"(2)),C(3,/(3)),。(4,/(4)),割線AB,BC,

CD的斜率分別為七，七，&，貝U()

A.kr<k2<k3B.k2<kr<k3C.k3<k2<七D.<k3<k2

4.已知函數(shù)f(x)和gM在區(qū)間［見句上的圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

A.f(x)在a到b之間的平均變化率大于g(%)在Q到b之間的平均變化率

B./(%)在a到匕之間的平均變化率小于g(%)在a到b之間的平均變化率

C.對于任意x0G(a,b),函數(shù)/(%)在％處的瞬時變化率總大于函數(shù)g(%)在％=&處

的瞬時變化率

D.存在x0G(a,b),使得函數(shù)/(%)在％=&處的瞬時變化率小于函數(shù)g(%)在％=%。處

的瞬時變化率

5.函數(shù)y=y/x在x=1處的瞬時變化率為()

A.2B.-C.—D.1

22

6.若曲線y=/+。％+力在點(0,力)處的切線方程是％+y+1=0,則()

A.a=1,b=1B.a=—1,b=1

C.a=1,b=—1D.a=—1,b=—1

7.做直線運動的質點在任意位置處所受的力F（%）=l+ex,則質點沿著與F（x）相同的方向，從點

=0處運動到點血=1處，力尸（工）所做的功是（）

1

A.1+eB.ec.D.e—1

e

8.設/（%）為可導函數(shù)且滿足lim巫四2則曲線y=/(%)在點（1,7（1））處的切線斜

x->02X

率為（）

A.2B.-1c.1D.-2

9.已知函數(shù)f（x）在x=與處的導數(shù)為「（X。），則lim3哼匕3（利40）等于（）

A.時Go）B.-何’（無0）

C.-/。。）D.

10.已知r⑴=1.limf(i+34x)5D等于（)

1

A.1B.-1C.3D.

3

2

11.若一物體的運動方程為s=mtf在"1時的速度v=2,則m等于（)

1

A.1B.-C.D.-1

22

12.設P為曲線C\y=x2+2%+3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為日己）

則點p橫坐標的取值范圍為（)

A.(-8月B.[-1,0]

C.[0,1]D.

二、填空題（共5題）

13.在曲線、=無2+1的圖象上取一點（1,2）及鄰近一點（1.1,2.21）,則該曲線在［1,1.1］上的平均

變化率為—.

14.設/(%)=ax+4,若/'(I)=2,貝！Ja等于.

15.已知函數(shù)y=3，，則函數(shù)在區(qū)間［1,3］上的平均變化率為.

16.若函數(shù)y=log3x在［a,a+l］(a>0)上的平均變化率大于1,則a的取值范圍為__.

2

17.已知曲線/(%)=2x+1在點M(x0,/(x0))處的瞬時變化率為一8,則與的值為,點M

的坐標為_.

三、解答題(共4題)

18.已知函數(shù)f(x)=-x2+x圖象上兩點4(2,「(2)),B(2+4x,f(2+4x))(2%>0).

(1)若割線AB的斜率不大于—1,求Ax的范圍；

(2)求函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象在點4(2,f(2))處切線的方程.

19.如圖是函數(shù)y=f(x)的圖象.

(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間上的平均變化率為—；

(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,2］上的平均變化率為____.

20.已知直線l-.y=4x+a和曲線y=了(無)=/一2久2+3相切，求切點坐標及a的值.

21.求曲線y=/(%)=x2+1過點P(l,0)的切線方程.

答案

一、選擇題(共12題)

1.【答案】D

【解析】=/(%0+k』%)一f(%o).

2.【答案】A

【解析】函數(shù)/(x)=x在區(qū)間［0,1］上的平均變化率=咨=1；

1—0

函數(shù)g(x)=/在區(qū)間［0,1］上的平均變化率租2=營=1；

函數(shù)/l(x)=X3在區(qū)間［0,1］上的平均變化率巾3=注=1；

1—0

所以7nl=血2=血3?

3.【答案】A

【解析】的=粵2=4—1=3,

2—1

￡M2)=9_4=

Z3-2

上歡*=16-9=7,

§4-3

所以kr<k2<k3.

4.【答案】D

【解析】因為f(x)在a到b之間的平均變化率是咒二⑷,g(x)在a到b之間的平均變化

率是哈衿，f(b)=g(b),f(a)=g(a),

所以f⑻-f(a)_。㈤-g(a)

b-ab-a

所以A,B錯誤；

易知函數(shù)f(x)在尤=無0處的瞬時變化率是函數(shù)/(X)在X=無0處的導數(shù)，即函數(shù)f(x)在該

點處的切線的斜率，

同理函數(shù)g(x)在無=&處的瞬時變化率是函數(shù)g(x)在該點處的導數(shù)，即函數(shù)9(無)在該點處

的切線的斜率，

由題中圖象知C錯誤，D正確.

5.【答案】B

6.【答案】D

【解析】將(0,b)代入切線方程可得0+b+1=0,

所以b=-1,y'=lim—=2x+a,

Ax^O^X

所以當x=0時，y'=a=-1.

7.【答案】B

8.【答案】B

【解析】易知

=1血"5S

XTO1-(1-2X)

="I,

根據(jù)導數(shù)的定義可得f(l)=-1.

故曲線y=f(x)在點(l,f(l))處的切線斜率為—1.

9.【答案】B

【解析】因為函數(shù)f(x)在X=Xo處的導數(shù)為r(Xo)，

所以

=_租1而必匚四包魚2

-mAx

10.【答案】C

11.【答案】A

【解析】由題意可知，v=s'(l)=2.

又

s'(t)=杷送

At

2

limmit+Aty-mt

At-^OAt

=lim(2mt+mJt)

ASO

=2mt.

所以s'(l)=2m,

所以由2nl=2,

所以m=1.

12.【答案】D

(x+zlx)2+2(x+21x)+3-(x2+2x+3)

y,=nm-----------------------

Ax^O4%

..(2X+2)-Z1X+(21X)2

=lim------------

【解析】Ax^O4工

=lim(Jx+2%+2)

Ax^O

=2%+2,

又曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為g,=),

所以共斜率fc>1.

由y'=2x+2e[1,+00),解得X>-

二、填空題(共5題)

13.【答案】2.1

【解析】2.21-2-0.-21=20.13.

1.1-10.1

14.【答案】2

【解析】因為f(x)=ax+4,

a(l+Ax)-a

所以f'(l)=lim*3-/⑴lim—Cl,

Ax^OA久4靠r0Ax

又)(1)=2,

所以a=2.

15.【答案】12

【解析】當％=1時，y=3,當％=3時，y=27,

則該函數(shù)在區(qū)間［1,3］上的平均變化率為吞=12.

故答案為：12.

16.【答案】(0,|)

【解析】因為第二等篙瞥-1唯(1+J>1=1唯3,?>0,

所以1+工>3,

a

所以0VaV

17.【答案】—2；(—2,9)

【解析】因為s=f(x)=2x2+1,

所以f(x+h)-f(x)2(x+n)2+l-2x2-l

=4%+2h,

、hh

所以在點M(%o，/(%o))M(%oJGo))處的瞬時變化率為=lim(4x0+2h)=4x0=-8,得

xo=-2,

所以/(-2)=9,因此點M的坐標為(-2,9).

三、解答題(共4題)

18.【答案】

絲_f(2+4x)-f(2)

AxAx

_-(2+21X)2+(2+^X)-(-44-2)

(1)由題意得，割線AB的斜率為Ax

-4Ax+Ax-(Ax)2

~Ax

=-3—Ax,

由一3一Ax〈一1,得AxN—2,

又因為Jx>0,所以Jx的取值范圍是(0,+8).

(2)由(1)知函數(shù)/(%)=-x2+x的圖象在點/l(2,f(2))處切線的斜率為k=1而父

Ax->0

lim(—3—Jx)=—3,

21X->0

又/⑵=—22+2=-2,

所以切線的方程為y—(―2)=—3?！?),

即3無+y—4=0.

19.【答案】

⑴1

【解析】

⑴函數(shù)/(%)在區(qū)間［-1,1］上的平均變化率為陪笄=平=；

(2)由函數(shù)/(%)的圖象知，

/)=［等，-UMI,

1%+1,1<x<3

3

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,2］上的平均變化率為線衿=q=：.