二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與y=ax2+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)-知識(shí)講解（基礎(chǔ)）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解二次函數(shù)的概念，能用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式；2．會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與y=ax2+c(a≠0)的圖象，并結(jié)合圖象理解拋物線、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、開口方向等概念；3.掌握二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與y=ax2+c(a≠0)的圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與+c(a≠0)之間的關(guān)系上加下減）.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次函數(shù)的概念1.二次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c為常數(shù)）的函數(shù)是二次函數(shù).若b=0，則y=ax2+c；若c=0，則y=ax2+bx；若b=c=0，則y=ax2.以上三種形式都是二次函數(shù)的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函數(shù)的一般式.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①y=a（a≠0）；②y=ax2+k（a≠0）；③（a≠0）；④y=afx-"+k（a≠0），其中；⑤y=dx2+bx+c（a≠0）.要點(diǎn)詮釋：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當(dāng)a=0時(shí)就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時(shí)都為零．a(chǎn)的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小.2.二次函數(shù)解析式的表示方法2.頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠03.兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或稱交點(diǎn)式）.要點(diǎn)詮釋：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b2-4ac≥0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.要點(diǎn)二、二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象及性質(zhì)1.二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象，如圖，它是一條關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線，這樣的曲線叫做拋物線.因?yàn)閽佄锞€y=x2關(guān)于y軸對(duì)稱，所以y軸是這條拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，從圖上看，拋物線y=x2的頂點(diǎn)是圖象的最低點(diǎn)。因?yàn)閽佄锞€y=x2有最低點(diǎn)，所以函數(shù)y=x2有最小值，它的最小值就是最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).2.二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象的畫法用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象時(shí)，應(yīng)在頂點(diǎn)的左、右兩側(cè)對(duì)稱地選取自變量x的值，然后計(jì)算出對(duì)應(yīng)的y值，這樣的對(duì)應(yīng)值選取越密集，描出的圖象越準(zhǔn)確.要點(diǎn)詮釋：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象．用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象，該圖象是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是y軸．y=ax2(a≠0)是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)，把y=ax2(a≠0)的圖象左右、上下平行移動(dòng)可以得到y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).3.二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象的性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象的性質(zhì)，見下表：開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸函數(shù)變化最大（小）值下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載y=ax2a>0（0，0）增大而增大；增大而減小.y最小=0y=ax2a<0（0，0）增大而減小；增大而增大.y最大=0要點(diǎn)詮釋：頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.│a│相同，拋物線的開口大小、形狀相同.要點(diǎn)三、二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象及性質(zhì)1.二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象yjyjyj2 OxO\'2\'2\O/、xcyjcyjcyj cxyj cx2y=ax2O\x2.二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象的性質(zhì)下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載關(guān)于二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的性質(zhì)，主要從拋物線的開口方向、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、函數(shù)值的增減性以及函數(shù)的最大值或最小值等方面來(lái)研究．下面結(jié)合圖象，將其性質(zhì)列表歸納如下：y=ax2y=ax2開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸函數(shù)變化當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大.最大（?。┲怠?)之間的關(guān)系上加下減）.y=ax2圖象.要點(diǎn)詮釋：拋物線y=ax2+c(a≠0)的對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，c)，與拋物線y=ax2(a≠0)的形狀相同.函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象是由函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象向上（或向下）平移|c|個(gè)單位得到的，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c).拋物線y＝ax2(a≠0)的對(duì)稱軸、最值與頂點(diǎn)密不可分，其對(duì)稱軸即為過(guò)頂點(diǎn)且與x軸垂直的一條直線，其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x＝0，拋物線平移不改變拋物線的形狀，即a的值不變，只是位置發(fā)生變化而已.【典型例題】類型一、二次函數(shù)的概念1．下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是().A.y=3x﹣1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2﹣2t+1D．y=x2+【答案】C；【解析】A、y=3x﹣1是一次函數(shù)，故A錯(cuò)誤；下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載B、y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函數(shù)，故B錯(cuò)誤；C、s=2t2﹣2t+1是二次函數(shù)，故C正確；D、y=x2+不是二次函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：C．【總結(jié)升華】本題考查了二次函數(shù)的定義，y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函數(shù)，注意二次函數(shù)都是整式．舉一反三：【變式】如果函數(shù)y=(m-3)xm2-3m+2+mx+1是二次函數(shù)，求m的值．【答案】根據(jù)題意，得2=2,解得m＝0．類型二、二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象及性質(zhì)2．函數(shù)y＝x2的圖象對(duì)稱軸左側(cè)上有兩點(diǎn)A(a，15)，B(b，)，則a-b0(填“＞”、“＜”【答案】＜.解法二：畫函數(shù)y＝x2的草圖(如圖所示)，可知在y軸左側(cè)(x＜0)時(shí)，y隨x的增大而減小，【總結(jié)升華】利用草圖和函數(shù)的增減性比較函數(shù)值的大小或自變量的大小顯得更簡(jiǎn)單、直觀，充分運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想．下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載舉一反三：【變式1】二次函數(shù)y=ax2與y=-2x2的形狀相同，開口大小一樣，開口方向相反，則a=.【答案】2；【變式2】拋物線y=﹣x2不具有的性質(zhì)是().A.開口向上B.對(duì)稱軸是y軸C.在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大D.最高點(diǎn)是原點(diǎn)【答案】A.類型三、二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象及性質(zhì)3．求下列拋物線的解析式：（1）與拋物線3形狀相同，開口方向相反，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-5）的拋物線；（2）頂點(diǎn)為（0，1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-2）并且關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線.【答案與解析】（1）由于待求拋物線x2+3形狀相同，開口方向相反，可知二次項(xiàng)系數(shù)為，又頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-5故常數(shù)項(xiàng)k=-5，所以所求拋物線為x2-5.（2）因?yàn)榇髵佄锞€頂點(diǎn)為（0，1所以其解析式可設(shè)為y=ax2+1，∴所求拋物線為x2+1.【總結(jié)升華】拋物線形狀相同則|a|相同，再由開口方向可確定a的符號(hào)，由頂點(diǎn)坐標(biāo)可確定k的值，從而確定拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+k.4．在同一直角坐標(biāo)系中，畫出y=-x2和y=-x2+1的圖象，并根據(jù)圖象(如圖所示)回答下列問(wèn)題.下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載(1)拋物線y=x2+1向平移個(gè)單位得到拋物線y=x2；(2)拋物線，y=x2+1開口方向是，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；值，其最值是.【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩條拋物線，利用圖象回答問(wèn)題.(1)拋物線y=x2+1向下平移1__個(gè)單位得到拋物線y=x2；(2)拋物線，y=x2+1開口方向是向下，對(duì)稱軸為___y軸_____，頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(0，1)__；(3)拋物線y=x2+1，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)y有最大值，其最大值是1.【總結(jié)升華】本例題把函數(shù)y=一x2+1與函數(shù)y=一x2的圖象放在同一直角坐標(biāo)系中