【矩陣正定的若干判定方法探究4000字（論文）】

１前言在數(shù)學(xué)中，矩陣?yán)碚撌瞧渲械钠鸬街匾饔玫暮诵睦碚撝唬彩侵陵P(guān)重要的一個(gè)基本概念，不僅代數(shù)學(xué)研究以其為主要對(duì)象展開了探究，在實(shí)際應(yīng)用中也充當(dāng)著重要工具的角色，它貫穿于線性代數(shù)的各個(gè)部分.在數(shù)學(xué)中，作為重要分支之一，矩陣?yán)碚摬粏螁问腔A(chǔ)學(xué)科之一，而且還是使用價(jià)值極大、應(yīng)用極廣的一種數(shù)學(xué)矩陣?yán)碚摗２⑶矣捎诰仃嚴(yán)碚撛诂F(xiàn)代在幾何學(xué)、物理學(xué)、概率論及最最新的優(yōu)化矩陣?yán)碚摰戎T多熱門學(xué)科中也都具有廣泛的研究應(yīng)用而且一直都認(rèn)為是重要的熱門研究課題.正定矩陣作為科學(xué)理論研究的一項(xiàng)重要的理論工具，在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程技術(shù)以及社會(huì)經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域中都有著很大的貢獻(xiàn)，掌握好矩陣?yán)碚撘恢倍际俏覀儗W(xué)好線性代數(shù)必不可少的基礎(chǔ)條件.正定二次型在二次型理論中也一直占有很重要的基礎(chǔ)地位，本文先是從二次型中的提出的有定性理論出發(fā)，得出矩陣了具有有定性的結(jié)論，而后對(duì)正定矩陣進(jìn)行了定義。而后本文以正定矩陣為中心，對(duì)部分重要性質(zhì)及其相關(guān)定理進(jìn)行了證明。最后則對(duì)正定矩陣的證明過(guò)程及其各式各樣的判定方法進(jìn)行了論述。1.第一章預(yù)備知識(shí)1.1正定矩陣的定義定義1REF_Ref8459\r\h[2]假定全部都是實(shí)常數(shù)，存在個(gè)實(shí)變量，那么與之相關(guān)的二次齊次多項(xiàng)式函數(shù)，就叫做元實(shí)二次型．定義2REF_Ref8459\r\h[2]如果二次型中全部都是平方項(xiàng)，那么就叫做標(biāo)準(zhǔn)形，也就是．定義3REF_Ref8459\r\h[2]在二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中，如果系數(shù)的取值只有，那么這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形就被叫做二次型的規(guī)范形．定義4任取一組存在非零值的實(shí)數(shù)，假使?jié)M足,那么實(shí)二次型就被叫做正定的；假使?jié)M足，那么就被叫做負(fù)定的；假使?jié)M足，那么就被叫做半正定的；假使?jié)M足，那么就被叫做半負(fù)定的；假使二次型不是半正定的，同時(shí)也不是半負(fù)定的，這時(shí)就被叫做不定的．定義5在實(shí)數(shù)域上，如果存在一個(gè)元二次型為正定二次型，那么就叫做正定矩陣；如果是負(fù)定二次型，那么就叫做負(fù)定矩陣；如果是半正定二次型，那么就叫做半正定矩陣；如果是半負(fù)定二次型，那么就叫做半負(fù)定矩陣。且有，．1.2正定矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1如果是正定矩陣，那么行列式比0大．證明假定是正定矩陣．因?yàn)榕c單位矩陣合同，因而存在可逆矩陣使．對(duì)等式左右兩側(cè)求取行列式，這時(shí)就會(huì)有．性質(zhì)2如果是一個(gè)正定矩陣，那么的全部對(duì)角元都是比0大的．證明假定，對(duì)任取，都會(huì)滿足，且有，．令，代入到上式，這時(shí)有，可知，故而，，這時(shí)結(jié)論就得到了證明．性質(zhì)3REF_Ref10167\r\h[7]如果是正定矩陣，則，是正定矩陣，其中．證明由是正定矩陣，可以得出的特征值，則的特征值，因此是正定矩陣．這樣就可以推知的特征值，因此同樣為正定矩陣．性質(zhì)4在是正定矩陣的情況下，和均為正定矩陣，這里的代表的是的逆矩陣，代表的是的伴隨矩陣．2.正定矩陣的判別方法2.1定義法對(duì)于階實(shí)對(duì)稱矩陣，任取一個(gè)維數(shù)為的實(shí)非零向量，均滿足．此時(shí)就可以稱之為正定矩陣，用來(lái)表示．該定義可以用于對(duì)是不是正定矩陣進(jìn)行證明，利用該定義需對(duì)下述兩點(diǎn)進(jìn)行證明：(1)為實(shí)對(duì)稱矩陣．(2)對(duì)于任取的一個(gè)非零向量，均有．定理1假定是正定矩陣，為實(shí)矩陣，并且用來(lái)表示的轉(zhuǎn)置矩陣，那么是正定矩陣是以的秩為充要條件的．證明先對(duì)必要性進(jìn)行證明假定是正定矩陣，那么對(duì)于任取的一個(gè)維非零列向量，有，于是，因此對(duì)于元齊次線性方程組來(lái)說(shuō)，除了零解之外就沒有別的解，所以的秩．再對(duì)充分性進(jìn)行證明由于，所以是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣.如果，那么對(duì)于齊次線性方程組來(lái)說(shuō)，除了零解之外就沒有別的解，所以對(duì)于任取實(shí)維非零列向量，有．又因?yàn)檎?，因而就而言，滿足，所以在的情況下，滿足，所以是一個(gè)正定矩陣.例1假定是實(shí)矩陣，而且是列滿秩的，也就是，試證為一個(gè)正定矩陣．證明第一步，由于，可以推知，為一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣．第二步，考慮到，那么對(duì)于齊次線性方程組來(lái)說(shuō)，除了零解之外就沒有別的解．所以，任取一個(gè)維列向量，一定會(huì)有，這里可以假設(shè)，那么為一組不同時(shí)等于0的實(shí)數(shù)，所以，對(duì)于任取的一個(gè)維列向量，有二次型，也就是說(shuō)，二次型是正定的，因而結(jié)論得證．例2假定是矩陣，，試證：在的情況下，為一個(gè)正定矩陣．證明考慮到，所以是階實(shí)對(duì)稱矩陣，任取一個(gè)維實(shí)向量，可以使得．考慮到，，那么必定會(huì)有，而且由于，所以有，根據(jù)定義能夠得出是正定矩陣．2.2標(biāo)準(zhǔn)形法（合同變換法）對(duì)于正定二次型而言，其規(guī)范形用來(lái)表示，但是對(duì)于規(guī)范形來(lái)說(shuō)，其矩陣是一個(gè)單位陣，因而實(shí)對(duì)稱矩陣只有在和合同的情況下才為正定矩陣。定理2如果一個(gè)矩陣為正定矩陣，那么其合同矩陣也為正定矩陣．證明假定為一個(gè)階正定矩陣，為一個(gè)階實(shí)對(duì)稱矩陣，而且和合同，根據(jù)等價(jià)條件可知，和單位陣也是合同的?？紤]到和是合同的，這時(shí)可得出和單位陣也是合同的結(jié)論，也就是為正定矩陣．例3證明：若是正定矩陣，則也是正定矩陣。證明因?yàn)槭钦ň仃?，所以是?shí)對(duì)稱矩陣，可逆，且即也是實(shí)對(duì)稱矩陣。例4通過(guò)該法對(duì)分塊矩陣為一個(gè)正定矩陣進(jìn)行證明，這里的分別為階正定矩陣．證明考慮到都是正定矩陣，那么就會(huì)有可逆矩陣與，使得下式成立，假定，那么有，而且為階可逆矩陣．，故而，與單位矩陣合同，所以為正定矩陣．，2.3順序主子式法存在一個(gè)矩陣，如果所有順序主子式都比0大，那么是一個(gè)正定矩陣．利用該法對(duì)正定矩陣進(jìn)行判定時(shí)，首要條件下極易求出各階順序主子式。而后以所有順序主子式都比0大為條件，得出矩陣是不是正定矩陣的結(jié)論。然而，該法只可以在對(duì)部分較為簡(jiǎn)單的、所有順序主子式都便于計(jì)算的矩陣中適用。定理3REF_Ref13080\r\h[1]對(duì)于一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣來(lái)說(shuō)，其為正定矩陣是以其順序主子式都比0大為充要條件的。證先對(duì)必要性進(jìn)行證明即實(shí)對(duì)稱矩陣正定，那么就可以推知，二次型(,,…,)==為正定的，針對(duì)所有大于1小于n的k,使得（,,…，）=，這時(shí)需對(duì)為k元正定二次型進(jìn)行證明，對(duì)一組不同時(shí)取零值的實(shí)數(shù)，，…，，有（，，…，）=（，，…，，0，…,0）>0,因此，是一個(gè)k元正定二次型.由充要條件2得的矩陣行列式>0,（k=1,2,…,n）.再對(duì)充分性進(jìn)行證明此時(shí)需要用到數(shù)學(xué)歸納法在n等于1的情況下，f()=,根據(jù)>0可知，f()正定．假設(shè)n-1元二次型也滿足上式，這時(shí)對(duì)n元二次型進(jìn)行了證明.令=，=，則=.根據(jù)的順序主子式都比0大不難推出，的順序主子式都是比零大的，根據(jù)假設(shè)可知，為一個(gè)正定矩陣，這時(shí)存在n-1階可逆陣，使得=,令=,則==.令=,則==.令=,=-,則有=.等式兩邊求得行列式，可知=,根據(jù)>0可以推出>0.考慮到=.所以，和單矩陣是合同的.是正定矩陣．例5存在一個(gè)二次型，試對(duì)其矩陣是不是正定矩陣作出判定.解對(duì)于題中二次型來(lái)說(shuō)，其矩陣可以表示為，那么各階順序主子式就可以求解得出，也就是：都是比0大的，因而是正定矩陣．例6二次型在等于何值的情況下為正定二次型。解對(duì)于二次型而言，其矩陣如下為讓二次型正定，那么的各階順序主子式都是要比0大的，也就是下式成立：可知，時(shí)，二次型為正定二次型。2.4特征值法定理4REF_Ref13080\r\h[1]實(shí)對(duì)稱矩陣是正定是以二次型f(,,…)=中的系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的都是比0大的特征值為充要條件的.證明對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣來(lái)看，對(duì)角化處理可以轉(zhuǎn)換成這里的，即為的特征值，那么對(duì)于二次型而言，其標(biāo)準(zhǔn)形可以表示為：++…+,由于是非退化實(shí)線性變換，那么正定性不會(huì)發(fā)生改變，根據(jù)(,,…，)=++…+.正定得>0()．例7證明：二次型為正定二次型。證設(shè)的矩陣為，則由，可知的特征值，由于特征值全為正數(shù)，所以是正定矩陣，從而為正定二次型。例8設(shè)A是一個(gè)階數(shù)為n的實(shí)對(duì)稱矩陣，而且有.證明：A為正定矩陣.證設(shè)是A的任一特征值，對(duì)應(yīng)特征向量為，即，代入已知等式,有，因?yàn)?，故符合下式可知，由于A是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，其特征值一定為實(shí)數(shù)，故只有，即A的全部特征值就是，這就結(jié)論得證.結(jié)論本文圍繞著正定矩陣展開，以其定義、性質(zhì)及其多種判別方法當(dāng)作理論判據(jù)，基于正定矩陣滿足的定理及其具有的性質(zhì)，對(duì)四種判別法進(jìn)行了介紹，包括順序主子式法、定義法、特征值法以及標(biāo)準(zhǔn)型法，利用這些判別方法來(lái)判定一個(gè)矩陣是否屬于正定矩陣，且簡(jiǎn)單地舉了一些實(shí)例來(lái)闡述實(shí)矩陣正定性的判定.正定矩陣涉及到了物理、概率論與統(tǒng)計(jì)、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域.總之，研究正定矩陣的性質(zhì)和判別方法對(duì)于自然科學(xué)的發(fā)展，理論學(xué)科的進(jìn)步有著不可替代的重要作用.參考文獻(xiàn)王萼芳，石生明《高等代數(shù)》（第三版）[M].北京：高等教育出版社．何亞麗．《線性代數(shù)》[M]．科學(xué)出版社．陳大新．《矩陣?yán)碚摗穂M]．上海：上海交通大學(xué)出版社．劉暢．正定矩陣性質(zhì)的推廣［J］．沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2009,27(3),268~271．岳貴鑫．正定矩陣及其應(yīng)用[J］．遼寧省交通高等?？茖W(xué)院學(xué)報(bào)，2008,10(5),31~33．黃云美．正定矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用［J］．煙臺(tái)職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2011,17(3):85~88．張丹，劉慶平．正定矩陣的性質(zhì)及相關(guān)問題［J］．中南大