人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章第四節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案

第四節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考試要求：1.能畫出三角函數(shù)的圖象．2．了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性、最大(小)值．3．借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]上，正切函數(shù)在-π自查自測知識(shí)點(diǎn)一用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．(1)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象關(guān)于點(diǎn)P(π，0)成中心對(duì)稱．(√)(2)y＝cosx，x∈[0，2π]的圖象關(guān)于直線x＝π2成軸對(duì)稱．(×(3)正弦、余弦函數(shù)的圖象不超過直線y＝1和y＝－1所夾的范圍．(×)(4)函數(shù)y＝cos(－x)與y＝cos|x|的圖象相同．(√)2．函數(shù)y＝cosx＋4，x∈[0，2π]的圖象與直線y＝4的交點(diǎn)的坐標(biāo)為π2，4，3π2，4解析：由y=cosx+4，y=4所以交點(diǎn)的坐標(biāo)為π2，4核心回扣1．在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，0)，π2，1，(π，0)2．在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0，2π]的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，1)，π2，0，(π，－1)注意點(diǎn)：“五點(diǎn)法”作圖時(shí)要注意五點(diǎn)的選取，一般令ωx＋φ分別取0，π2，π，3π2自查自測知識(shí)點(diǎn)二正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．(1)已知y＝cosx在第一、二象限內(nèi)單調(diào)遞減．(×)(2)若非零常數(shù)T是函數(shù)f(x)的周期，則kT(k是非零整數(shù))也是函數(shù)f(x)的周期．(√)(3)函數(shù)y＝sinx的圖象的對(duì)稱軸方程為x＝2kπ＋π2(k∈Z)．(×(4)若y＝ksinx＋1，x∈R，則y的最大值是k＋1.(×)2．(教材改編題)函數(shù)f(x)＝12sin2x-π3(x∈R5π12+kπ，11π12+kπ(k∈Z)解析：由π2＋2kπ≤2x－π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得5π12＋kπ≤x≤11π核心回扣正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)正弦函數(shù)余弦函數(shù)圖象定義域R值域[－1，1]周期2π奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間2k(k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)單調(diào)遞減區(qū)間2k(k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)對(duì)稱軸x＝kπ＋π2(k∈Zx＝kπ(k∈Z)對(duì)稱中心(kπ，0)(k∈Z)kπ+π2，知識(shí)點(diǎn)三正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．(多選題)已知函數(shù)f(x)＝tan2x+πA．函數(shù)f(x)的最小正周期為πB．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)π12C．函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增D．若－π24≤x≤π12，則f(x)BD解析：f(x)的最小正周期為T＝π2，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；令2x＋π3＝kπ2，k∈Z，解得x＝－π6＋kπ4，k∈Z，當(dāng)k＝1時(shí)，x＝π12，所以π12，0是函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心，B選項(xiàng)正確；因?yàn)?＜π，f(0)＝f(π)，所以函數(shù)f(x)在定義域上不是單調(diào)遞增的，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若－π24≤x≤2．(教材改編題)函數(shù)y＝tan2x-3π4π8+kπ2，5π8+kπ2(k∈Z)解析：由－π2＋kπ＜2x－3π4＜π2＋k正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象定義域xx∈R，且x≠π2＋kπ，k∈值域R周期π奇偶性奇函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間-π2+kπ，對(duì)稱中心kπ2，0(【常用結(jié)論】1．對(duì)稱性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是12個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是1(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是122．奇偶性(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)若f(x)為偶函數(shù)，則φ＝π2＋kπ(k∈Z)；若f(x)為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z(2)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)若f(x)為偶函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)；若f(x)為奇函數(shù)，則φ＝π2＋kπ(k∈Z(3)若f(x)＝Atan(ωx＋φ)(A，ω≠0)為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)．應(yīng)用1若函數(shù)f(x)＝tanωx(ω＞0)的圖象上的相鄰兩支曲線截直線y＝1所得的線段長為π4，則fπ12的值是3解析：由題意可得f(x)的周期為π4，則πω＝π4，所以ω＝4，則fπ12＝tan4×π應(yīng)用2若函數(shù)f(x)＝3sin2x-π3+φ＋1，φ∈(0，π)，且f(x)為偶函數(shù)，則φ5π6解析：若函數(shù)f(x)＝3sin2x-π3+φ＋1為偶函數(shù)，則－π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，則φ＝5π6＋kπ，k∈三角函數(shù)的定義域1．函數(shù)f(x)＝－2tan2x+πA．{x|xB．{x|xC．{x|xD．{x|xD解析：由2x＋π6≠kπ＋π2(k∈Z)，得x≠kπ2＋π62．函數(shù)y＝cosx-A．-B．kπ-π6，C．2kπ-π6，D．RC解析：由cosx－32≥0，得cosx≥3所以2kπ－π6≤x≤2kπ＋π6，k∈3．函數(shù)y＝sinx-cosxx2k解析：(方法一)要使函數(shù)有意義，必須使sinx－cosx≥0.利用圖象，在同一直角坐標(biāo)系中畫出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的圖象，如圖所示．在[0，2π]內(nèi)，當(dāng)sinx＝cosx時(shí)，x＝π4或5π4，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?方法二)sinx－cosx＝2sinx-π4將x－π4視為一個(gè)整體，由正弦函數(shù)y＝sinx的圖象和性質(zhì)可知2kπ≤x－π4≤π＋2kπ(k∈解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k所以原函數(shù)的定義域?yàn)閤2kπ三角函數(shù)的定義域的求法根據(jù)函數(shù)解析式的特征列出與三角函數(shù)有關(guān)的不等式，借助三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解．提醒：涉及與正切函數(shù)有關(guān)的定義域，要注意正切函數(shù)本身的定義域．三角函數(shù)的值域或最值【例1】(1)(2024·武漢模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sinxcosx+π3＋32，x∈0，πA．-32C．-1，1B解析：f(x)＝2sinxcosx+π3＋32＝sinxcosx－3sin2x＋32＝12sin2x＋32cos2x＝sin2x+π3．當(dāng)x∈0，π2(2)函數(shù)f(x)＝sin2x+3π2－3cosx－4解析：因?yàn)閒(x)＝sin2x+3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1＝－2cosx+342＋178，－1≤cosx(3)函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2的值域?yàn)椋?4，3+2解析：設(shè)sinx＋cosx＝2sinx+π4＝t則2sinxcosx＝t2－1.由函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2可知，y＝f(x)＝t2＋t＋1＝t+122＋34，t∈當(dāng)t＝－12時(shí)，ymin＝34；當(dāng)t＝2時(shí)，ymax＝3＋因此函數(shù)f(x)的值域?yàn)?4三角函數(shù)值域的不同求法(1)把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．(2)化為形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)的三角函數(shù)，可設(shè)sinx＝t(或設(shè)cosx＝t)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(或最值)．(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域．1．函數(shù)y＝tanπ2A．[－1，1]B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－∞，1]D．[－1，＋∞)B解析：因?yàn)椋?≤x≤π4且x所以π4≤π2－x≤3π4且π2所以函數(shù)y＝tanπ2-x的值域?yàn)?－∞，－1]∪[1，＋2．(2024·青島質(zhì)檢)已知x∈(0，π)，則f(x)＝cos2x＋sinx的值域?yàn)?)A．0，9C．(0，1) D．0D解析：由f(x)＝cos2x＋sinx＝1－2sin2x＋sinx，設(shè)sinx＝t，因?yàn)閤∈(0，π)，所以t∈(0，1].令g(t)＝f(x)＝－2t-142＋98，所以g(t)∈0，98，即f(x)＝cos2三角函數(shù)的單調(diào)性考向1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】(1)函數(shù)f(x)＝tanx2A．2kπ-2πB．2kπ-2πC．4kπ-2πD．4kπ-2πB解析：(1)由kπ－π2＜x2－π6＜kπ＋π2，k∈Z，得2kπ－2π3＜x＜2kπ＋4π3，k∈Z，所以函數(shù)f((2)函數(shù)f(x)＝sinπ3-2x的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ-π12，kπ+5π12，k∈Z解析：函數(shù)f由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ-π12，[變式]本例(2)中函數(shù)不變，求f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．解：令A(yù)＝kπ-π12，kπ所以A∩B＝0，5π所以f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為0，5π已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，可先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．考向2已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例3】(1)(2024·淄博模擬)若函數(shù)f(x)＝cosx-π3在區(qū)間[－a，a]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)A．π3 C．2π3A解析：函數(shù)f(x)＝cosx-π3的單調(diào)遞增區(qū)間為-2π3+2kπ，π3+2kπ(k∈Z)，又函數(shù)f(x)在[－a，a]上單調(diào)遞增，所以-a≥-(2)已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋3cosωx(ω＞0)，且在π3，π2上單調(diào)遞增，則滿足條件的133解析：f(x)＝sinωx＋3cosωx＝2sinωx+π3(由2kπ－π2≤ωx＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得2kπω－5π6ω≤x≤2k所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπω-5π由題知，π3，π即2kπω-5所以6k－52≤ω≤4k＋13，k∈因?yàn)棣兀?，所以當(dāng)k＝0時(shí)，－52≤ω≤13，即0＜ω≤13；當(dāng)k＝1時(shí)，72≤ω≤133；當(dāng)k≥2，k∈Z時(shí)，ω∈?，所以已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的兩種方法(1)求出原函數(shù)相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是該單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解．(2)由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正弦、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解．考向3利用三角函數(shù)的圖象確定其單調(diào)區(qū)間【例4】求函數(shù)y＝－sinx+解：設(shè)x＋π4＝u，則y＝－|sinu函數(shù)的周期為π.當(dāng)u∈-π2+kπ，kπ(k當(dāng)u∈kπ，π2+kπ(k∈所以函數(shù)y＝－sinx+π4的單調(diào)遞增區(qū)間為-3π4+kπ，-π一般含絕對(duì)值的函數(shù)式可以先畫出函數(shù)圖象，再結(jié)合圖象確定單調(diào)區(qū)間，一般地，函數(shù)y＝|sin(ωx＋φ)|(或y＝|cos(ωx＋φ)|)的最小正周期是y＝sin(ωx＋φ)(或y＝cos(ωx＋φ))最小正周期的一半．1．(2022·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝cos2x－sin2x，則()A．f(x)在-πB．f(x)在-πC．f(x)在0，D．f(x)在π4C解析：f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x，周期T＝π，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ，π2+kπ(k∈Z)，單調(diào)遞增區(qū)間為對(duì)于A，f(x)在-π對(duì)于B，f(x)在-π4，對(duì)于C，f(x)在0，對(duì)于D，f(x)在π4，π2．(2024·石家莊模擬)已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝sinωx+π4在π2，π上單調(diào)遞減，則12，54解析：由π2＜x＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜因?yàn)閥＝sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ+π2，所以ωπ2+π解得4k＋12≤ω≤2k＋54，k∈又由4k＋12－2k+54≤0，k∈Z，且4k＋12＞0，k∈Z，解得k＝0，所以三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性的應(yīng)用考向1三角函數(shù)的周期性和奇偶性【例5】(1)函數(shù)f(x)＝2cos2x-πA．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為π2D．最小正周期為π2A解析：因?yàn)閒(x)＝2cos2x-π4－1＝cos2x-π4＝cos所以T＝2π2＝π，f(x)＝sin2故函數(shù)f(x)是最小正周期為π的奇函數(shù)．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝cosωx+π6在[－π，π]的圖象大致如圖，則f(A．10π9C．4π3C解析：(方法一)由題圖知，函數(shù)f(x)的最小正周期T滿足0－(－π)＜T＜π－-4π9，即π＜T＜13π9，即π＜2πω＜13π9，即1813＜|ω|＜2.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象過點(diǎn)-4π9，0，所以cos-4π9ω+π6＝0，所以－4π9ω＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，解得ω＝－9(方法二)由題圖知，函數(shù)f(x)的最小正周期T滿足0－(－π)＜T＜π－-4π9，即π＜T＜13π9，即π＜2πω＜13π9，即1813＜|ω|＜2.因?yàn)閤＝－4π9是函數(shù)f(x)的一個(gè)上升零點(diǎn)，故－4π9ω＋π6＝－π2＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝32－1．奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx＋b的形式．2．周期的計(jì)算方法：利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為2πω，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為考向2三角函數(shù)的對(duì)稱性【例6】(1)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，φ＜π2的圖象關(guān)于直線xA．π3，C．5π12B解析：(1)由題意可得2πω＝π，所以可得f(x)＝Asin(2x＋φ)．再由函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝π3故2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，得φ＝kπ－π6，k∈Z，又|φ|＜π2所以函數(shù)f(x)＝Asin2x-π令2x－π6＝kπ，k∈Z可得x＝kπ2＋π12，k∈Z，故函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為kπ2所以函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是π12(2)(2022·新高考全國Ⅰ卷)記函數(shù)f(x)＝sinωx+π4＋b(ω＞0)的最小正周期為T.若2π3＜T＜π，且y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)3A．1 B．32C．52 A解析：函數(shù)f(x)＝sinωx+π4＋b(ω＞0)的最小正周期為T，則T＝由2π3＜T＜π，得2π3＜2因?yàn)閥＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)3π2，2中心對(duì)稱，所以則3π2ω＋π4＝kπ，k所以ω＝23k-14，因?yàn)?＜ω＜3，所以取k＝4，可得ω＝52所以f(x)＝sin52則fπ2＝sin5[變式]將本例(2)中的函數(shù)變?yōu)間(x)＝cosωx+π4＋b(ω＞0)，4π5＜解：由函數(shù)的最小正周期T滿足4π5＜T＜π，得4π5＜2π又因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)3π所以3π2ω＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，且b＝2，所以ω＝2k3＋1由2＜ω＜52，得k＝3，所以ω＝13所以g(x)＝cos136x+π4＋2，則求三角函數(shù)對(duì)稱軸方程(對(duì)稱中心坐標(biāo))的方法(1)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的對(duì)稱軸方程，只需對(duì)ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)整理，求對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x(2)求f(x)＝Acos(ωx＋φ)圖象的對(duì)稱軸方程，只需對(duì)ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，求對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x(3)求f(x)＝Atan(ωx＋φ)圖象的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝kπ2(k∈Z)，求考向3與不等式的綜合運(yùn)用【例7】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋π)＝2f(x)，當(dāng)x∈[0，π)時(shí)，f(x)＝sinx．若存在x0∈(－∞，m]使f(x0)≥43，則m的取值范圍為．10π3，+∞解析：因?yàn)閒(x＋π)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－π)．因?yàn)楫?dāng)x∈[0，π)時(shí)，f(x)＝sinx，所以當(dāng)x∈[π，2π)時(shí)，f(x)＝2sin(x－π)時(shí)，當(dāng)x∈[2π，3π)時(shí)f(x)＝4sin(x－2π)，當(dāng)x∈[3π，4π)時(shí)，f(x)＝8sin(x－3π)．作出函數(shù)y＝令8sin(x－3π)＝43，解得x＝10π3或x＝11π3．若存在x0∈(－∞，m]，使得f(x0)≥43，則(1)不等式f(x)＜k在x∈I時(shí)恒成立?f(x)max＜k，x∈I或f(x)的上界小于k.(2)不等式f(x)＜k在x∈I時(shí)有解?f(x)min＜k，x∈I或f(x)的下界小于k.(3)不等式f(x)＞k在x∈I時(shí)恒成立?f(x)min＞k，x∈I或f(x)的下界大于k.(4)不等式f(x)＞k在x∈I時(shí)有解?f(x)min＞k，x∈I或f(x)的上界大于k.解決恒成立和有解問題的基本策略常常是構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，最值(或上、下界)，圖象求解，基本方法包括：分類討論，數(shù)形結(jié)合，參數(shù)分離，變換主元等．1．(多選題)(2024·1月九省適應(yīng)性測試)已知函數(shù)f(x)＝sin2x+3π4A．函數(shù)fx-πB．曲線y＝f(x)的對(duì)稱軸為x＝kπ，k∈ZC．f(x)在區(qū)間π3D．f(x)的最小值為－2AC解析：f(x)＝sin2x+3π＝sin2xcos3π4＋sin3π4cos2x＋cos2xcos3＝－22sin2x＋22cos2x－22cos2x－22sin2x＝－即f(x)＝－2sin2x.對(duì)于A，fx-π4＝－2sin2x-π2＝對(duì)于B，曲線f(x)＝－2sin2x的對(duì)稱軸為2x＝π2＋kπ，k∈Z，解得x＝π4＋kπ2，對(duì)于C，x∈π3，π2，則2x∈2π3，π，此時(shí)y＝sin2x單調(diào)遞減，則對(duì)于D，因?yàn)閒(x)＝－2sin2x，又sin2x∈[－1，1]，所以f(x)∈[－2，故選AC.2．(2023·全國乙卷)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)在區(qū)間π6，2π3上單調(diào)遞增，直線x＝π6和x＝2π3為函數(shù)yA．－32 B．－1C．1D解析：因?yàn)閒(x)＝sin(ωx＋φ)在區(qū)間π6，2π3上單調(diào)遞增，且直線x＝π6和x＝2π3為函數(shù)f(x)的圖象的兩條對(duì)稱軸，設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，所以T2＝2π3－π6當(dāng)x＝π6時(shí)，f(x)取得最小值，則2×π6＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，則φ＝2kπ－5π6不妨取k＝0，則f(x)＝sin2x-5則f-5π12＝sin-課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(二十四)1．(2024·廣州模擬)如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)4π3，A．π6 B．C．π3A解析：由題意得3cos2×4π3+φ＝3cos所以2π3＋φ＝kπ＋π2(k所以φ＝kπ－π6(k∈Z取k＝0，得|φ|的最小值為π62．已知函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸為直線x＝2，f(x)的一個(gè)周期為4，則f(x)的解析式可能為()A．f(x)＝sinπ2x B．f(x)＝cosπC．f(x)＝sinπ4x D．f(x)＝cosπB解析：對(duì)于A，f(x)＝sinπ2x，最小正周期為2ππ2＝4，因?yàn)閒(2)＝sinπ＝0，所以函數(shù)f(x)＝sinπ2x的圖象不關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，故排除A；對(duì)于B，f(x)＝cosπ2x，最小正周期為2ππ2＝4，因?yàn)閒(2)＝cosπ＝－1，所以函數(shù)f(x)＝cosπ2x的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，故選項(xiàng)B符合題意；對(duì)于C，D，函數(shù)f(x)＝sinπ43．(多選題)已知函數(shù)f(x)＝3sin2x-πA．f(x)的最大值為3B．f(x)的最小正周期為πC．fx-πD．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝11πABD解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝3sin2x-π所以f(x)的最大值為3，故A正確；最小正周期為2πfx-π12＝3sin2x-π12-π3＝f(x)的圖象的對(duì)稱軸滿足2x－π3＝π2＋kπ，k∈Z，當(dāng)k＝1時(shí)，x＝4．函數(shù)y＝sin2x＋22cosx的定義域?yàn)?3π4，αA．0，3C．-π4A解析：由y＝sin2x＋22cosx＝1－cos2x＋22cosx＝－(cosx－2)2＋3，令t＝cosx，得y＝－(t－2)2＋3，顯然當(dāng)t＝cos-3π4＝－22時(shí)，令－(t－2)2＋3＝22，得t＝1.可知cosx∈-2又x∈-3π4所以有0≤α≤3π所以α的取值范圍是0，5．(2024·瀘州診斷)寫出一個(gè)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)＝．①定義域?yàn)镽；②函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；③f(x＋π)＝f(x)．解析：由③f(x＋π)＝f(x)知所求函數(shù)的周期為π，再結(jié)合性質(zhì)①②，故所求的函數(shù)可以是f(x)＝sin2x，答案不唯一．6．設(shè)函數(shù)f(x)＝cosωx-π6(ω＞0)，若f(x)≤fπ4對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則ω23解析：因?yàn)閒(x)≤fπ4對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，所以fπ4為f所以π4ω－π6＝2kπ(k∈所以ω＝8k＋23(k∈Z因?yàn)棣兀?，所以當(dāng)k＝0時(shí)，ω取得最小值為237．已知函數(shù)f(x)＝sin12x+φ(0≤φ≤π)在π2，ππ4≤φ≤π解析：當(dāng)x∈π2，π時(shí)，∈φ+π又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝sin12x+φ(0≤φ≤π)在所以φ+π4，所以φ+π4≥π2，8．(2024·海淀模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，φ條件①：f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)π3條件②：f(x)的圖象關(guān)于直線x＝π12(1)請(qǐng)寫出你選擇的條件，并求f(x)的解析式；(2)當(dāng)x∈-π4，m時(shí)，若(1)中所求函數(shù)f(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：(1)因?yàn)閒(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞所以T＝2πω＝π，得ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋若選條件①，因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)π3，0對(duì)稱，則即fπ3＝2sin2π3+φ＝0，所以2π3＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－因?yàn)閨φ|＜π2，所以φ＝π所以f(x)＝2sin2x+π若選條件②，因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x＝π12所以fπ12＝±2，即fπ12＝2sinπ6所以π6＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，得φ＝π3＋kπ，k因?yàn)閨φ|＜π2，所以φ＝π所以f(x)＝2sin2x+π(2)因?yàn)閤∈-π4，m，所以－π6≤2x＋π3因?yàn)楫?dāng)x∈-π4，m時(shí)，函數(shù)所以π2≤2m＋π3≤7π6，得π12所以m的一個(gè)值可以為π39．(2024·昆明模擬)已知函數(shù)f(x)＝sinωx-π4(ω＞0)，x∈0，π2A．0，3C．3，7B解析：因?yàn)棣兀?，所以當(dāng)x∈0，π2時(shí)，ωx－π因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝sinωx-π4(ω＞0)，x∈0，π2的值域是-22，1，所以π2≤ω10．(多選題)(2024·青島模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinωx＋3cosωx，x∈R，其中ω＞0，在曲線y＝f(x)與直線y＝3的所有交點(diǎn)中，相鄰交點(diǎn)距離的最小值為π6，則A．f(x)的最大值為1B．ω＝2C．f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝kπ2＋π12，D．f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為-BCD解析：由題意可得f(x)＝sinωx＋3cosωx＝212sinωx+32cosωx＝2sinωx+π3，易知f(x)的最大值為2，A錯(cuò)誤；由2sinωx+π3＝3，可得sinωx+π3＝32，得到ωx＋π3＝2kπ＋π3或ωx＋π3＝2kπ＋2π3(k∈Z)，令k＝0，可得x1＝0，x2＝π3ω，由|x1－x2|＝π6，可得π3ω＝π6，解得ω＝2，B正確；易得f(x)＝2sin2x+π3，令2x＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ2＋π12，k∈Z，C正確；令2kπ－π2≤211．已知函數(shù)f(x)＝1x-1＋3sinπx，則函數(shù)f(xA．2 B．4C．2π D．4πB解析：令f(x)＝1x-1＋3sinπx則1x-1＝－3sinπx所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)就是函數(shù)y＝1x-1與函數(shù)y＝－3sinπx因?yàn)閥＝1x-1的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，函數(shù)y＝－3sinπx由圖象可知，兩函數(shù)圖象在[－1，3]上共有4個(gè)交點(diǎn)，且這4個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，所以其橫坐標(biāo)的和為4，所以函數(shù)f(x)在[－1，3]上的所有零點(diǎn)的和為4.12．(多選題)(數(shù)學(xué)與生活)聲音中包含著正弦函數(shù)，聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的波．每個(gè)音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是y＝Asinωt，其中響度與振幅有關(guān)，振幅越大，響度越大，音調(diào)與頻率有關(guān)，頻率低的聲