2023蘇教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步練習(xí)11解三角形

第11章解三角形

11.1余弦定理

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一已知兩邊及其夾角解三角形

1.（2022江蘇馬壩高級中學(xué)期中）△ABC的內(nèi)角的對邊分別為。力,c,已知

b=3,c=2,cosA=-[,則a等于（）

A.VToB.715C.4D.V17

2.（2021江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)月考）已知△A3C中，角4,8,C所對的邊分別為。力,c,若

10力=15,C=60°,則cos8=（）

A.CB.竺C.-CD.-2

14141414

3.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,Z?,c,已知a=2V5,c=遍+V5,sin（B+：）=1,解

此三角形.

題組二已知三邊（或三邊關(guān)系）解三角形

4.在△ABC中，角A,8,C所對的邊分別為。力了,且層=序*+伍6則角B的大小是

（）

A.45oB.60℃.90°D.135°

5.邊長分別為1,西,2四的三角形的最大角與最小角的和是（）

A.90°B.120°C.135°D.1500

6.（2021江蘇阜寧中學(xué)期中）等腰△A3C中，角A,3,C所對的邊分別為a力,c,如果等

腰△ABC的周長是底邊長的5倍,那么它的頂角。的余弦值為.

7.（2022江蘇東臺安豐中學(xué)月考）在^ABC中，已知a=2后力=6+2值c=4療求A,3,C

的大小.

題組三已知兩邊及其一邊的對角解三角形

8.（2022江蘇無錫階段測試）在^A3c中，角ABC的對邊分別為a,"c,已知

A.,a=V勤=1,則c等于（）

A.2B.更C.亙iD.魂

22

9.（2022北京通州——模）在^ABC中,已矢口cosA甘,。=2通力=3,貝！Jc=（）

A.lB.V3C.2D.3

10.已知在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為Q力,c,且6=V5,c=3,3=30。,解此三

角形.

題組四利用余弦定理判斷三角形的形狀

11.（2021山東煙臺一中期中）在^A3C中，若而2一瓦2=荏.而，則△Age的形狀為

（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形

12.（2020江蘇泰州中學(xué)期中）在443c中,cos?手等3,4c分別為角A,3,C的對邊）,

則△A3c一定是（）

A.等邊三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

13.（2022江蘇淮安楚州中學(xué)期末）在△A6C中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是。、

b、c.若三=4,則△ABC的形狀一定是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

14.（2021江蘇徐州七中月考）在^ABC中，角A,8,C所對的邊分別為a力,c,已知

a：。：c=2：4：5,則4A3C的形狀為.

題組五余弦定理的實(shí)際應(yīng)用

15.（2021江蘇東臺三倉中學(xué)月考）某學(xué)校體育館的“人”字形屋架為等腰三角形，如

圖，測得AC=4m,乙4=30。,則A8=（）

c

H

A.12mB.8mC.2V3mD.4V3m

16.如圖，在某海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東30。方向、距離A處1海里的B處有一艘走私

船，在A處北偏西60。方向、距離A處百海里的C處的緝私船奉命以5H海里南

的速度追截走私船，此時，走私船以5海里河的速度從B處按照北偏東30。方向逃

竄,則緝私船能最快追上走私船的航行方向是（）

A.北偏東30°B.北偏東45°

C.北偏東60°D.正東

17.（2020江蘇常州武進(jìn)高級中學(xué)期中）我艦在島A南偏西50。方向相距12nmile

的B處發(fā)現(xiàn)敵艦正從島A沿北偏西10。的方向航行，若我艦以28nmile/h的速度

用1h追上敵艦，則敵艦的速度為nmile/h.

18.（2022江蘇泗陽中學(xué)階段測試）某觀測站。與兩燈塔A,B的距離分別為3km和

5km,測得燈塔A在觀測站C北偏西50。方向，燈塔8在觀測站C北偏東70。方向,

求兩燈塔之間的距離.

能力提升練

題組一利用余弦定理解三角形

1.（2021江蘇啟東中學(xué)月考）若。,。+1,。+2是銳角三角形的三邊長，則a的取值范圍

是（）

A.l<a<3B.a>lC.a>3D.0<a<l

2.（多選）（2021江蘇泗陽中學(xué)月考）在^A8C中，角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,若

次=/+兒,則角A可以為（）

A-TC.工D.與

3.（2020江蘇響水中學(xué)階段測試）在△ABC中，角A、B、。所對的邊分別為a、b、

c,且C0S等三,。=3力=近則C的值為.

4.（2022江蘇江陰中學(xué)階段測試）在^ABC中，角A,3,C所對的邊分別為a力,c,已知

cosC+（cosA-V3sinA）cos8=0.

（1）求8的大??；

⑵若a+c=l,求人的取值范圍.

題組二利用余弦定理判斷三角形的形狀

5.（2020江蘇啟東中學(xué)期中）在^ABC中，角4,SC的對邊分別為“力,6若二*=夜,

COSDCL

則該三角形一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

6.（2022吉林第一次調(diào)研考試）若將直角三角形的三邊分別增加1個單位長度，組

成新三角形，則這個新三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.無法確定

7.（2022山東東營一中期末）在^ABC中，已知S+c-a）S+c+Q）=3bc,且2cosBsin

C=sinA,則△A3c為（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

題組三余弦定理的綜合應(yīng)用

8.（2022湖南長沙一中期中）在△ABC中,A8=3,AC=4,cosA.,則荏?尻=（）

AUB.-0CD

422.-4F

9.（2022福建廈門一中期中）為了測量某道瀑布的實(shí)際高度,某同學(xué)設(shè)計(jì)了如下測

量方案:選一段水平且筆直的山道，且山道與瀑布不在同一平面內(nèi)，瀑布底端與山道

在同一平面內(nèi)，可粗略認(rèn)為瀑布與該水平山道所在平面垂直，取瀑布頂端上一點(diǎn)p,

底端上一點(diǎn)與水平山道所在平面垂直），在水平山道上A點(diǎn)位置測得P點(diǎn)的

仰角的正切值為|,沿山道繼續(xù)走20m,抵達(dá)B點(diǎn)位置，此時測得P點(diǎn)的仰角為今已

知該同學(xué)沿山道行進(jìn)的方向與他在A點(diǎn)處望向瀑布底端”的方向所成的角為全

則該瀑布的高度約為（）

A.60mB.90mC.108mD.120m

答案與分層梯度式解析

第n章解三角形

n.i余弦定理

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.Cb=3,c=2,cosA---,

4

.?.由余弦定理可得a2=b2+(r-2bccos4=32+22-2*3*2、(一￡)=16,解得a=4(負(fù)值舍去).

故選C.

2.A由余弦定理得。2=/+/-2。氏osC=100+225-2x1Ox15x|=175,Ac=5V7,

02+。2一匕2_100+175-225_77

/.cosB-2ac-2x10x577—14,

故選A.

3.解析由sin(B+*=1得B+2J+2E,kez,即B『+2kn,kWZ.

\47424

又8為三角形內(nèi)角..3=；.

4

*//?2=<72+C2-2?CCOSB

=(2V3)2+(V6+V2)2-2X2V3X(V6+V2)XCOS-

4

=12+(V6+V2)2-4V3X(V3+1)=8,

/?=2V2.

根據(jù)余弦定理得cos4=也產(chǎn)

2bc

二(2夜產(chǎn)+(6+短)2-(2%)2=l

-2X2A/2X(V6+V2)-2，

?A_K,「―Sir

解題模板

已知兩邊及其夾角解三角形時，可先用余弦定理建立關(guān)于第三邊的方程，求第三邊，再運(yùn)用余弦定理

的另一種形式求其他的角.

4.Acr^-c^+yjT.ac,a2+c2-ft2=V2ac,

a2+c2-d2x[2ac\[2

由余弦定理得cosB=：

2ac2ac2

?.?0。<8<180。,二8=45。.故選A.

5.C由題意可得，邊長為迷的邊對的角不是最大角，也不是最小角，

設(shè)邊長為通的邊所對的角為。，則由余弦定理可得cos啟1±等=?,.?.(9=45。,

4V22

故三角形的最大角與最小角的和是180°-45°=135°.

6.答案I

解析設(shè)周長為/，由題意可知/=5c,所以a=b=2c,

a2+b2-c24C2+4C2-C27

由余弦定理得cosC=-

2ab2X2CX2C"8,

;：_46+2佝2+(4a2―Q佝2—陰

7.解析根據(jù)余弦定理，得36年

2X(6+2-73)X4V3-2'

VAG(0,n),6

g2+b2c2_(2遍)2+(6+26)2-(471)2_立

由余弦定理得cosC上

2ab2X2A/6X(6+2V3)2

C￡('O',TC"),C=4-.B=7t-A-C=7i6---4-=—121,A=6-,B=—12,C=4-.

解題方法

已知三角形的三邊解三角形的方法:利用余弦定理求出三個角的余弦值，進(jìn)而求出三個角.

8.A由余弦定理得a2=ft2+c2-2Z>ccosA,即，-c-2=0,解得c=2(負(fù)值舍去).故選A.

9.D因?yàn)樵凇鰽BC中,cosA=^,a=2V3,h=3,

所以由余弦定理得tz2=ft2+c2-2/?ccosA,BP}2(>3=0,解得c=3或c=?l(舍去).

故選D.

10.解析由/?2=tz2+c2-26fccosB,nJ(V3)2=?2+32-2x6fx3xcos30°,

所以q2_3Ha+6=0,解得方值或a=2y/3.

當(dāng)小上。=4所以A=B=30°,C=120。;

當(dāng)。=2遍時,cosA=b+C~a：3+9一12二()

2x75x3

所以A=90°,C=60°.

11.D設(shè)在△A8C中，內(nèi)角A,仇C的對邊分別為a,b,c.

因?yàn)榍?一近2=荏,前，

所以c2-q2=bccosA=bc-+c,

2bc

化簡，得<?=?2+&2,

所以△ABC是直角三角形.

無法判斷該三角形是不是等腰直角三角形，

故選D.

12.B?.?cos2g="V.2cos2g=^Wi+cos分竺V.l+土乂石工整理得

22c2cc2acc

.?.△ABC為直角三角形.

無法判斷該三角形是不是等腰直角三角形，故選B.

21.2a(a2+c2-b2')_b(b2+c2-a2)

13.AEt]-=—,ffi/cosB=b2cosA,即

cos/lcosB

可得a3-/?3+ac2-/;c2+a/>(a-/?)=(a-/?)[(a+Z?)2+c2]=0,

???3+4+d>0,???環(huán)瓦因此,△ABC為等腰三角形.

無法判斷該三角形是不是等腰直角三角形，故選A.

14.答案鈍角三角形

解析因?yàn)閍：〃：c=2：4：5,

所以可令a=2k,b=4k,c=5k(k>0).

則角C最大,cos需等=-2<0,所以C為鈍角，

2X乙KX4K1o

所以△ABC為鈍角三角形.

15.答案D

信息提?、僭诘妊切蜛BC中/C=4m,NA=30。;②三角形中已知兩邊及其中一邊的對角,求另一

邊.

數(shù)學(xué)建模以生活中的“人”字形屋架為背景,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，求解三角形中的邊長問題.根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)及余弦定理求A8的長即可.

解析因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，

所以BC=AC=4m,ZB=ZA=30°

所以NC=120。，

由余弦定理得，

AB=y/42+42-2x4x4xcosl20°=4V3(m).

故選D.

16.C如圖，

A

設(shè)緝私船在。處追上走私船，所用時間為f小時，則8=58/海里石￡>=5f海里.

由題意可知/。。=90。力。=g海里,A8=l海里，

...A￡>=(5r+1)海里，

由余弦定理可得CZ^ACZ+AD^ACAOCOS90。,即75?=(5什1)2+3,解得仁|或仁-|(舍去).

：.AD=3海里,tan/DCA噢=點(diǎn)

ZDCA=60°,：./NCD=6Qo(N在C的正北方向).故選C.

17.答案20

解析設(shè)敵艦的速度為vnmile/h,我艦在C處追上敵艦，如圖，由題意得NBAC=120X3=12n

mile^4C=vxl=v(nmile),BC=28x1=28(nmile),

在4ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACCOSZBAC=122+v2-2x12xvxcos120°=784,

解得v=20(v=-32舍去)，即敵艦的速度為20nmile/h.

4東

18.解析依題意知小ABC中,AC=3km,BC=5km,ZACB=120°.

由余弦定理得/52=AC2+8C2_2ACX8CXCOSNAC8=32+52-2X3X5XCOS120°=49.

：.AB=1km,即兩燈塔A,B之間的距離為7km.

能力提升練

1.C因?yàn)槿切问卿J角三角形,所以最大邊長4+2對應(yīng)的角為銳角，設(shè)該角為0,

所以cos廿2+(：+y-(：+2)2=,又心0所以/_2e3>0,所以a>3.

2a(a+l)2a(Q+1)

故選c.

2.BC由余弦定理得cr=b2+c2-2bccosA,

又a^b^+bc,?\Z?2+/?C=/?2+C2-2Z?CCOSA,

整理，得cos鬻.

對于A,若A二號則cos貝I故A錯誤；

42o2

對于B,若A=:則cos則0=(1+e)比>0,故B正確；

42b2

對于C,若則cosA二1二與漁，則c'=2+f-%>0,故C正確；

122D42

對于D,若A=￥，則cos則c=0,故D錯誤.

32b2

故選BC.

3.答案1或2

解析在△ABC中/+B+CF,

?A+CTl—BB1

??cos----=cos----=sin-=-,

2222’

由/?2=?2+^-2^<?008B,得/-3(:+2=0,解得c=l或c=2.

4.解析⑴由已知得,?cos(A+3)+cosAcosB-V3sinAcos3=0,即sinAsinB-V3sinAcosB=0.

因?yàn)閟inA#),所以sinB-V5cosB=0.

所以tanB=V3.

又OvBv匹所以5二去

(2)由余弦定理，得Z?2=ez2+c2-26/ccosB.

因?yàn)?r+c=l,cosB=j,

2

所以b2=3^a—0￡.

易知0<〃<1,所以上序<1,

又〃>0,所以

故》的取值范圍為假,1).

5.A*/空f...4cosA=hcosB,

cosBa

由余弦定理可得ax'+‘一"=bx°整理可得6f2(/?2+c2-6r2)=/?2(6z2+c2-Z?2),/.<:2=a2+/?2,

2bc2ac

又勺71

.u亥三角形是非等腰直角三角形.

6.A設(shè)原直角三角形的三邊長分別為“、b、c,且,2=/+此則新三角形的三邊長分別為4+1、6+1、

C+1,易知C+1為最大邊，其對應(yīng)角最大.

因?yàn)閙+1>+S+1)2-(c+1)2=\+2(a+h-c)>0,

所以由余弦定理知新三角形中的最大角為銳角，

所以新三角形是銳角三角形.

故選A.

歸納總結(jié)

在判斷三角形形狀時注意以下結(jié)論的應(yīng)用：

①