2024高考數(shù)學(xué)講義：集合與常用邏輯用語

2024高考數(shù)學(xué)講義：集合與常用邏輯用語

目錄

1.集合........................................................................2

1.1.教學(xué)大綱................................................................2

1.2.集合的有關(guān)概念..........................................................2

1.3.集合間的基本關(guān)系........................................................2

1.4.集合的三種基本運(yùn)算......................................................3

1.5.集合基本運(yùn)算的性質(zhì)......................................................3

1.6.練習(xí)....................................................................3

1.7.考點(diǎn)例析對點(diǎn)微練：互動課堂?考向探究..................................5

1.7.1.考點(diǎn)一集合的基本概念自主練習(xí).....................................5

1.7.2.考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系..........................................7

1.7.3.考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算微專題......................................9

1.8.根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的值或取值范圍的步驟..........................11

1.9.教師備用題..............................................................13

1.10.深度探究素養(yǎng)達(dá)成：課外閱讀?增分培優(yōu)，集合中的新定義問題..........14

2.命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件...........................................16

2.1.教學(xué)大綱...............................................................16

2.2.自主學(xué)習(xí)知識積淀.....................................................16

2.3.練習(xí)..................................................................17

2.4.考點(diǎn)例析對點(diǎn)微練：互動課堂?考向探究................................19

2.4.1.考點(diǎn)一四種命題及其關(guān)系自主練習(xí).................................19

2.4.2.考點(diǎn)二充分條件與必要條件的判斷.................................21

2.4.3.考點(diǎn)三充分條件與必要條件的應(yīng)用微專題..........................23

2.5.注意事項(xiàng)..............................................................24

3.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞.......................................25

3.1.教學(xué)大綱..............................................................25

3.2.練習(xí)..................................................................27

3.3.考點(diǎn)例析對點(diǎn)微練：互動課堂?考向探究................................28

3.3.1.考點(diǎn)一簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞自主練習(xí).................................28

3.3.2.考點(diǎn)二全稱命題與特稱命題的真假判斷............................30

3.3.3.考點(diǎn)三含有一個量詞的命題的否定微專題..........................31

3.3.4.考點(diǎn)四根據(jù)全（特）稱命題的真假求參數(shù)的取值范圍微專題............33

第1頁共36頁

3.4.根據(jù)全（特）稱命題的真假求參數(shù)取值范圍的思路............................33

3.5.教師備用題.............................................................34

1.集合

1.1.教學(xué)大綱

內(nèi)容要求考題舉例考向規(guī)律

2020?全國I

卷?T2（集合的

1.了解集合的含義，

交集運(yùn)算）

元素與集合的屬于關(guān)

2020?全國H

系；能用列舉法或描

卷?T1（集合的

述法表示集合

并集、補(bǔ)集運(yùn)考情分析：集合的概念及運(yùn)算一直是高考熱

2.理解集合之間包

算）點(diǎn)，同時近兩年新課標(biāo)高考試題加強(qiáng)了對以集

含與相等的含義，能

2020?全國m合為工具與其他知識相結(jié)合的考查，一般為基

識別給定集合的子

卷-T1（集合的礎(chǔ)題，解題時要充分利用Venn圖、數(shù)軸的直

集；了解全集與空集

表示）觀性迅速得解，預(yù)計(jì)今后這種考查方式不會變

的含義

2020?新高考I核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象

3.理解并會求并

卷-T1（集合的

集、交集、補(bǔ)集；能

并集運(yùn)算）

用Venn圖表示集合

2020?新高考I

的關(guān)系與運(yùn)算

卷-T5（集合的

實(shí)際應(yīng)用）

1.2.集合的有關(guān)概念

（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性。

（2）集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A,記作—A；若b

不屬于集合A,記作場A。

（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法。

（4）五個特定的集合:

集合非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號NN*或N+ZQR

1.3.集合間的基本關(guān)系

表示

關(guān)系^\文字語言記法

集合子集集合A中任意一個元素都是集合B中的元素AUB或B?A

集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬

AB或BA

的基于A

集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，集合B中AGB且BGA

相等

關(guān)系的每一個元素也都是集合A中的元素=A=B

第2頁共36頁

空集是任何集合的子集0GA

空集

空集是任何非空集合的真子集0B且B"

⑴ACA=A，Ari0=0o

(2)AUA=A，AU0=A。

(3)AG&A)=g,AU([(/A)={/,[U&A)=A。

(4)ACB=AnB=AOAU8=B0[M3[uB=AG([u8)=0。

1.6.練習(xí)

一、常規(guī)題

1.若集合P={%￡N|%W,2021},a=2?則()

A.aGPB.{a}￡P(guān)

C.[a}^PD.aqP

解析因?yàn)閍=2也不是自然數(shù)，而集合尸是不大于二2021

的自然數(shù)構(gòu)成的集合，所以海尸。

答案D

2.已知集合A={x|f—2%—3<0},8={%[0<xW4},則AU

第3頁共36頁

B=()

A.[-1,4]B.(0,3]

C.(-l,0]U(l,4]D.[—1,0]U(1,4]

解析A={%|f—2%—3W0}={%|—lW%W3},故AU3=[一

l,4]o

答案A

3.設(shè)全集為R,集合A={%[0<x<2},則AA([

附=()

A.{%[0<xWl}B.{x|0<x<l}

C.{%|lWx<2}D.{x|0<x<2}

解析因?yàn)榧?=,所以[R3=,所以

An([RB)={x|0<ji<l}o

答案B

二、易錯題

4.(忽視元素的互異性)已知集合A={1,3,-\fm},B={\,

m},若貝！]根=()

A.1B.0或1或3

C.0或3D.1或3

解析由得m=3或m=Gi,解m=5t,得加=0

或m=1,由集合元素的互異性知相?1。所以加=0或m=3。

答案C

5.(忽視空集的情形)已知集合a=0},N={x\ax-

1=0},若MCN=N,則實(shí)數(shù)”的值是()

A.-1B.1

C.-1或1D.0或1或一1

解析由MCN=N,得NJM,當(dāng)N=0時，a=0;當(dāng)N#

0時，解得a=±l,故a的值為±1,0。

第4頁共36頁

答案D

6.（忽視集合運(yùn)算中端點(diǎn)取值）已知集合A={%|%23},B=

{x\x^m},且AU8=A,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是。

解析因?yàn)榧螦={%|%23},B={x\x^m},且AU8=A,

所以如圖所示，所以m23。

答案[3,+°°）

1.7.考點(diǎn)例析對點(diǎn)微練：互動課堂?考向探究

1.7.1.考點(diǎn)一集合的基本概念自主練習(xí)

1.（2021?重慶一診）已知集合A={xeZ|x2+2x-8<0）,B=

{/|%￡A},則3中元素個數(shù)為（）

A.4B.5

C.6D.7

解析A={%￡Z|f+2%—8<0}={]￡Z[—4<x<2}={—3,一

2,-1,0,1},8={/|%￡A}={0,l,4,9},故3中元素個數(shù)為4。故

選A。

答案A

2.已知集合4=則集合A中的元素個

數(shù)為（）

A.2B.3

C.4D.5

3

解析因?yàn)橐籊Z,且％EZ,所以2—%的取值有-3,-

2—x

1,1,3,所以％的值分別為5,3,1,-1,故集合A中的元素個數(shù)為

4o

答案C

第5頁共36頁

3.(2020?全國川卷)已知集合A={(%,y)|%,y￡N*,y^x],

3={(%,y)|%+y=8},則AG3中元素的個數(shù)為()

A.2B.3

C.4D.6

解析由題意得，AG3={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},所以

AG8中元素的個數(shù)為4。故選C。

答案C

4.已知集合A={%￡N[l<x<log2%},集合A中至少有3個元

素，貝女)

A.女216B.%>16

C.%28D.%>8

解析由集合A中至少有3個元素，得log2%>4,解得人>16。

故選Bo

答案B

f2

5.設(shè)集合A=j2,3,/—3a,Q+"+7，，3={|a—2|,3},已

知4￡A且4q3,則〃的取值集合為o

2'

解析因?yàn)?￡A,4G2,3,〃-3"，?+-+7,所以

2

4—3白=4或a+/+7=4。若/—3a=4,則Q=—1或a=4;

2.

若a+7+7=4,即/+34+2=0,則Q=—1或a=—2。由〃

2

—3a與+7互異，得a乎—10故。=—2或a=4。又44B,

即44{|。一2|,3},所以|。一2|力4,解得Q/—2且4力6。綜上所

述，a的取值集合為{4}。

答案{4}

第6頁共36頁

1.解決集合含義問題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是確定構(gòu)成集合的

元素；二是確定元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特征（滿足的

條件）構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題。

2.集合元素的三個特性中的互異性對解題的影響較大，特

別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的

元素是否滿足互異性。

1.7.2.考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系

【例1】（1）已知集合4={%￡24一2%—3W0},8={y|y=

2'},則AG8的子集的個數(shù)為（）

A.10B.16

C.8D.7

解析因?yàn)锳={—1,0,1,2,3},8=（0,+8）,所以

{1,2,3},其子集的個數(shù)為23=8。

答案C

（2）已知集合人={0,1},B={%[%￡A},則下列集合A與8的

關(guān)系中正確的是（）

A.BUAB.AB

C.BAD.AUB

解析因?yàn)椋A,所以B={。，{0},{1},{0,1}},又集合

A={0』}是集合3中的元素，所以AE8。

答案D

（3）已知集合A={x|—2W%W5},B=11）,

若5UA,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為0

解析因?yàn)?UA,所以①若8=0,則2〃2—1＜加+1,此時

第7頁共36頁

2m~11,

m<2o②若BN。，則｛根+12—2,解得2W〃zW3。由①②

J2m—1W5,

可得，符合題意的實(shí)數(shù)相的取值范圍為(-8,3]o

答案(一8,3]

1.判斷集合之間關(guān)系的方法

(1)化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系。

(2)用列舉法表示集合，從元素中尋找關(guān)系。

(3)利用數(shù)軸，在數(shù)軸上表示出兩個集合(集合為數(shù)集)，從而

確定集合與集合的關(guān)系。

2.根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法

已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時，關(guān)鍵是將兩個集

合之間的關(guān)系準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的條件，應(yīng)注意子集與真子

集的區(qū)別。此類問題多與不等式(組)的解集相關(guān)，常常需要利用

數(shù)軸、Venn圖輔助分析。

【變式訓(xùn)練】(1)設(shè)尸={丁|丁=—f+l,%￡R},Q={y\y=

2X,xeR},貝ij()

A.PQQB.QQP

C.(CRP)GQD.Q=([RP)

解析因?yàn)镻={y\y=~^+1,%￡R}={y|yWl},Q={y\y

=2》，xGR}={>>0},所以[丁={九>1},所以[RPUQ。故選

Co

答案c

(2)在例1(3)中，若“BQA”變?yōu)椤癇A”，其他條件不變，

第8頁共36頁

如何求解?

解因?yàn)?A,所以①若8=0,成立，此時加<2。

2m—11,2m-11,

②若BW0,則<根+1］一2,或<m+1>—2,

J2m—1<5、2根一1W5,

解得2W%W3。

由①②可得相的取值范圍為(-8,3]0

1.7.3.考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算微專題

微考向1：集合的基本運(yùn)算

【例2】(1)(多選)已知全集U=R,函數(shù)y=ln(%—2)的定

義域?yàn)镸,集合N={%*—2x>0},則下列結(jié)論正確的是()

A.MCN=MB.Mn([uN)=。

C.MUN=UD.M=luN

解析由X—2>0,得％>2,所以M=(2,+8),由x2—2%>0,

得％<0或%>2,所以N=(—8,0)U(2,+8),[W=[0,2],所

以MC(luN)=0,MCN=M,MUN=N^U,故選ABo

答案AB

(2)(2021?八省聯(lián)考)已知M,N均為R的子集，且[RMCN,

則MU([RN)=()

A.0B.MC.ND.R

解析解法一：因?yàn)槭笥冒麼,所以M3[RN,所以MU([

RN)=MO故選B。

解法二：如圖所示，設(shè)矩形ABCD表示全集R,矩形區(qū)域

ABHE表示集合M,則矩形區(qū)域CQEH表示集合[RM,矩形區(qū)域

CDFG表示集合N,滿足[RMCN,結(jié)合圖形可得MU(CRA0=

M。故選B。

第9頁共36頁

答案B

解集合的運(yùn)算題的常用技巧

1.若已知的集合是不等式的解集，常利用數(shù)軸求解。

2.若已知的集合是點(diǎn)集，常利用數(shù)形結(jié)合法求解。

3.若已知的集合是抽象集合，常利用Venn圖求解。

微考向2：利用集合的運(yùn)算求參數(shù)

【例3】（1）（2020?全國I卷）設(shè)集合4={%/一4W0},B=

{x|2%+aW0},且AG3={%|一2W%W1},則“=（）

A.-4B.-2C.2D.4

解析解法一：易知A={%|—2WxW2},B=g,

因?yàn)锳n3={%|—2WxWl},所以一3=1,解得Q=-2。故選B。

解法二：由題意得A={x|-2W%W2}。若1=-4,則3=

{%|%W2},又A={%|-2W%W2},所以AnB={%|一2W%W2},不

滿足題意，排除A;若a=~2,則3={%|%W1},又A={x]—

2W%W2},所以An8={%|一2W%W1},滿足題意；若〃=2,則

8={%|%W-1},又A={%|一2W%W2},所以AGB={%|-2WxW

-1},不滿足題意，排除C;若Q=4,則8={%|%W-2},又A

={%]-2忘％忘2},所以4門3={%|%=-2},不滿足題意，排除D。

故選Bo

答案B

第10頁共36頁

(2)已知集合A=[x\x<a},B={xlx2_3x+2<0},若APlB=

B,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.a<lB.aWlC.a>2D.

解析集合3={4^—3%+2<0}={%|14<2},由AHB=B

可得作出數(shù)軸如圖?？芍?22。

答案D

1.8.根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的值或取值范圍的步驟

1.將集合的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個集合之間的關(guān)系。若集合

中的元素能一一列舉，則用觀察法得到不同集合

中元素之間的關(guān)系；若集合是與不等式有關(guān)的集合，則一

般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到。

2.將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解方程(組)或不等式(組)問題。

3.根據(jù)求解結(jié)果來確定參數(shù)的值或取值范圍。

【題組對點(diǎn)練】

1.(微考向1)(2020?全國n卷)已知集合u={-2,-

1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},則[u(AUB)=()

A.{-2,3}B.{-2,2,3}

C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}

解析解法一：由題意，得AUB={—1,0,1,2},所以[u(AU

B)={-2,3}o故選A。

解法二：因?yàn)?WB,所以26(AUB),所以24[u(AU3),故

排除B,D;又0￡A,所以0￡(AU8),所以0q[“AUB),故排

除C。故選A。

第11頁共36頁

答案A

2.（微考向1）（2020?新高考I卷）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育

鍛煉,其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué)生喜歡足球,

82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)

占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）

A.62%B.56%

C.46%D.42%

解析不妨設(shè)該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為100,既喜歡足球又喜歡游

泳的學(xué)生人數(shù)為％,則100X96%=100X60%—%+100X82%,

所以％=46,所以既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總

數(shù)的比例為46%。故選C。

答案C

3.（微考向2）已知集合A={xez|x2-4x-5<0},B=

{%|4、>2勺，若AG3中有三個元素，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.[3,6）B.[1,2）

C.[2,4）D.（2,4]

解析因?yàn)閤2—4%—5<0,所以一l<x<5。集合A={%￡Z|f

-4X-5<0}={0,1,2,3,4},B={x\4x>2m}={

%%>,卜又因?yàn)锳CB中有三個元素，所以1W,<2,解得

2W機(jī)<4,所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是[2,4）。

答案C

4.（微考向2）設(shè)全集U=R,集合A={%|%>1},集合B=

{x\x>p},若（[UA）G8=0,則〃應(yīng)該滿足的條件是（）

A.p>\B.p>l

C.p<\D.pWl

第12頁共36頁

解析全集U=R,集合A={%|%>1},集合8={%|%>"},所

以[uA={x[%Wl},又（[UA）G3=0,所以pel。

答案B

1.9.教師備用題

【例1】（配合考點(diǎn)一使用）已知集合4={川>=/},B={y\y=^-],C=

{（x，）'）1）'=/}，則AAB=，AAC=o

解析集合A是函數(shù)y=/的定義域，即A=（—8,+8）,

集合8是函數(shù)的值域，即3=[0,+°°）,所以AC8=[0,

2

+°°）o集合C是函數(shù)yuji的圖象上的點(diǎn)的集合，故ACC=0。

答案[0,+°°）0

【例2】（配合例1使用）已知集合M,N,P為全集。的

子集，且滿足則下列結(jié)論不正確的是（）

A.[uNU[dB.[N尸與CNM

c.（[d）rw=0D.QM）GN=0

解析解法一：根據(jù)已知條件畫出Venn圖結(jié)合各選項(xiàng)知,

只有D不正確。故選D。

解法二：（特例法）取u=z,M={1},尸={1,2},N={1,2,3},

驗(yàn)證各選項(xiàng)知D不正確。

答案D

【例3]（配合例1使用）設(shè)A={%|f—8%+15=0},B—

{x|a%—1=0}。

（1）若。=/試判斷集合A與3的關(guān)系；

⑵若5A,求實(shí)數(shù)。組成的集合C。

解（1）由％2—81+15=0,

得％=3或%=5,所以A={3,5}。

若。=:，由“%—1=0,得;%—1=0,即％=5。

第13頁共36頁

所以8={5}。所以8Ao

(2)因?yàn)锳={3,5},又8A,

故若3=0,則方程以一1=0無解，有”=0;

若BW。,則“N0,由如一1=0,得％=:。

所以，=3或，=5,即Q=J或a=!。

aaf35

故C=<0,I，；>。

【例4】(配合例3使用)已知集合A={%|1<%<%},集合3

={yly=2x-5,x^A},若An8={%|1<%<2},則實(shí)數(shù)％的值為

()

A.5B.4.5C.2D.3.5

解析3=(—3,2%—5),由An3={%[l<x<2},知％=2或2%

-5=2,因?yàn)椋?2時，2%—5=-1,AG8=0,不合題意，所以

%=3.5。故選D。

答案D

1.10.深度探究素養(yǎng)達(dá)成：課外閱讀?增分培優(yōu)，集合中的新

定義問題

一、定義新運(yùn)算

【例1】設(shè)尸，。為兩個非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P*Q=

[z\z=ah,a^P,b^Q},若。={1,2},Q={-1,0,1},則集合P*Q

中元素的個數(shù)是o

【解析】因?yàn)閎GQ,所以”的取值只能為1,2;b

的取值只能為一1,0,1,z=">的不同運(yùn)算結(jié)果如下表所示：

-101

a

1111

1

2

221

第14頁共36頁

由上表可知P*Q=<1,2-,顯然該集合中共有3個不同

的元素。

【答案】3

二'定義新概念

【例2]（多選）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世

紀(jì)。直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用

有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實(shí)數(shù)理

論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的

時代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)。所

謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集”與

N,且滿足MUN=Q,MCN=。,M中的每一個元素都小于N

中的每一個元素，則稱（M,M為戴德金分割。試判斷下列選項(xiàng)中，

可能成立的是（）

A.M={x|x<0},N={%|%>0}是一個戴德金分割

B.M沒有最大元素，N有一個最小元素

C.M有一個最大元素，N有一個最小元素

D.M沒有最大元素，N也沒有最小元素

【解析】對A,因?yàn)镸={%[%<0},2V={x|x>0},MUN=

{%|%W0}WQ,故A錯誤；對B,設(shè)M={%￡Q|%<0},N={%￡

Q|%20},滿足戴德金分割，則M中沒有最大元素，N有一個最

小元素0,故B正確；對C,若M有一個最大元素，N有一個最

小元素，則不能同時滿足MUN=Q,MHN=0,故C錯誤；對

D,設(shè)加={%￡（^]%</},N={%￡Q|X2/},滿足戴德金分割，

此時M沒有最大元素,N也沒有最小元素，故D正確。故選BD。

【答案】BD

【名師微點(diǎn)】解決集合創(chuàng)新型問題的方法

（1）緊扣新定義。首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的

第15頁共36頁

問題本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是解決

新定義型問題的關(guān)鍵所在。

（2）用好集合的性質(zhì)。集合的性質(zhì)（概念、元素的性質(zhì)、運(yùn)算

性質(zhì)等）是解決新定義集合問題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時

要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些信息，在關(guān)鍵之處

用好集合的性質(zhì)。

2.命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

2.1.教學(xué)大綱

內(nèi)容要求考題舉例考向規(guī)律

2020?天津高考?T2（充分條

1.理解命題的概念考情分析：以選擇題或填空

件與必要條件）

2.了解"若p,則q”形式的題為主要題型，一般為容易

2020?北京高考?T9（充分條

命題的逆命題、否命題與逆題或中等題，近兩年的新課

件與必要條件）

否命題，會分析四種命題的標(biāo)高考題多為對充要條件的

2019?天津高考?T3（充分條

相互關(guān)系考查，少數(shù)涉及到四種命題

件與必要條件）

3.理解充分條件、必要條及其真假的判斷

2019?北京高考47（充分條

件與充要條件的含義核心素養(yǎng)：邏輯推理

件與必要條件）

2.2.自主學(xué)習(xí)?知識積淀

1.命題

（1）命題的概念：數(shù)學(xué)中把用語言、符號或式子表達(dá)的，能夠

判斷真假的陳述句叫做命題。其中判斷為真的語句叫做真命題,

判斷為假的語句叫做假命題。

（2）四種命題及其相互關(guān)系

特別提醒：若兩個命題互為逆否命題，則它們具有相同的真

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假性。

2.充分條件、必要條件與充要條件

(1)若P=9，則。是〃的充分條件。

(2)若鄉(xiāng)0p,則.是〃的必要條件。

(3)若既有p=q,又有q=p,記作p0q,則p是q的充要條

件。

1.充要條件的兩個結(jié)論：

(1)若p是q的充分不必要條件，q是r的充分不必要條件,

則p是r的充分不必要條件。

(2)若夕是＜7的充分不必要條件，則^學(xué)是㈱尸的充分不必

要條件。

2.充分、必要條件與集合的關(guān)系

使p成立的對象構(gòu)成的集合為A,

使q成立的對象構(gòu)成的集合為B

p是q的充分條件AGB

p是q的必要條件BeA

p是q的充分不必要條件AB

p是q的必要不充分條件BA

p是q的充要條件A=B

2.3.練習(xí)

一、常規(guī)題

1.命題“若5＞y2,貝的逆否命題是()

A.“若工勺，則%2勺2"B.“若%＞y,則r＞產(chǎn)

C.“若％0,則D.“若％則％22y2”

解析根據(jù)原命題和逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系得命題

“若/＞產(chǎn)，貝的逆否命題是“若XWy,則％2Wy2”。故選

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Co

答案c

2.“(%—1)(%+2)=0”是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析若％=1,則(%—1)(%+2)=0顯然成立，但反之不成

立，即若。-1)(%+2)=0,則%的值也可能為一2。故選B。

答案B

3.設(shè)％GR,貝心0<%<5”是“僅一1|<1"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析由卜一1|<1可得0<%<2,因?yàn)樾》秶梢酝瞥龃蠓秶?/p>

大范圍推不出小范圍，所以是必要不充分條件。故選B。

答案B

二、易錯題

4.(對命題中條件與結(jié)論否定不全面)命題“若a2+b2=0,

a,A￡R,則a=b=0,,的逆否命題是。

答案若“W0或力WO,a,則4+/#。

5.(忽視大前提)已知命題“對任意a,Z?eR,若仍>0,則

。>0"，則它的否命題是。

答案對任意a,b￡R,若仍W0,則aWO

6.(忽視等號的選取)已知p：x>a,q：%22。

(1)若.是學(xué)的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是

(2)若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

________________________O

解析(1)因?yàn)椤ㄊ荿的充分不必要條件，所以

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{%[%>。}{%|%22},則實(shí)數(shù)a的取值范圍是422。

(2)因?yàn)?是的必要不充分條件，所以{%|422}{x\x>a),

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<2。

答案(1)。>2(2)a<2

2.4.考點(diǎn)例析對點(diǎn)微練：互動課堂?考向探究

2.4.1.考點(diǎn)一四種命題及其關(guān)系自主練習(xí)

1.已知命題“若函數(shù)/(%)=e、一如在(0,+8)上是增函數(shù),

則mWl”，則下列說法正確的是()

A.否命題是“若函數(shù)=陽%在(0,+8)上是減函數(shù)，

則21”

B.逆命題是“若根W1,則函數(shù)如在(0,+°°)

上是增函數(shù)”

C.逆否命題是“若相>1,則函數(shù)/(%)=爐一陽%在(0,+8)

上是減函數(shù)”

D.逆否命題是“若根W1,則函數(shù)/(%)=]一根%在(0,+

8)上不是增函數(shù)”

解析原命題為“若函數(shù)陽%在(0,+8)上是增

函數(shù)，則mW1”。則其逆命題為“若MWI,則函數(shù)/(%)=8—

47%在(0,+8)上是增函數(shù)”；否命題為“若函數(shù)/(%)=ex一如

在(0,+8)上不是增函數(shù)，則m>1"；逆否命題為“若相>1,

則函數(shù)/(%)=ex一g在(0,+8)上不是增函數(shù)”。綜上所述，B

正確。

答案B

2.已知命題"設(shè)a,b,c《R,若a>。，則a+c>b+c”,

則在原命題以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個

數(shù)為()

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A.1B.2C.4D.0

解析因?yàn)樵}為“設(shè)a,b,c￡R,若a>b,則a+c>力

+c”，是真命題，所以原命題的逆否命題是真命題；原命題的

否命題為“設(shè)a,b,c、￡R,若aWb,則a+cWA+c”,是真命

題，所以原命題的逆命題是真命題。故真命題的個數(shù)為4。故選

Co

答案c

3.下列四個命題為真命題的是()

A.“設(shè)％￡R,若2">8,則沖>3”的逆命題

B.“全等三角形的面積相等”的否命題

C.“若cWl,則/+2%+°=0無實(shí)根”的逆否命題

D.對于實(shí)數(shù)%,乃若％+yW3,則％W2或yWl

解析對于選項(xiàng)A,原命題的逆命題為“設(shè)X￡R,若|%|>3,

則2、>8"，為假命題；對于選項(xiàng)B,原命題的否命題為“不全等

的三角形的面積不相等"，為假命題；對于選項(xiàng)C,原命題的逆

否命題為"若f+Zx+cuO有實(shí)根，則c>l",若％?+2%+c=

。有實(shí)根，則/=4-4c20,解得cWl,可知該命題為假命題；

對于選項(xiàng)D,該命題的逆否命題為“對于實(shí)數(shù)％,y,若％=2且

y=l,則x+y=3"，為真命題，故原命題為真命題。故選D。

答案D

1.求一個命題的其他三種命題時，需注意：

(1)對于不是“若p,則/‘形式的命題，需先改寫為“若p,

則鄉(xiāng)”的形式。

(2)若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提。

2.判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命

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題為假命題，只需舉出反例。

2.4.2.考點(diǎn)二充分條件與必要條件的判斷

【例1】（1）已知a,b《R,貝I"：>>'是、<加'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析先考慮充分性，當(dāng);〉（時，如a=l,/?=—1,但是

不成立，所以“."是、<加'的不充分條件；再考慮必要性，當(dāng)

a<b時，如a=—1,力=1,但是不成立，所以是％<萬”

的不必要條件。故“1>4"是、<加'的既不充分也不必要條件。

ab

答案D

（2）（2020?天津高考）設(shè)a￡R,則”0>1”是“於>〃，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析由得a>l或a<0,反之，由a>l得a2>a,貝

是％2>q”的充分不必要條件。故選A。

答案A

（3）（2020?北京高考）已知a,/3UR,則“存在k￡Z使得a=

E+（—1）%”是“sina=sin4”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析若存在使得。=也+（—1）的，則當(dāng)左=2”，

Z時，a=2mi+/3,則sina=sin（2?7i+y^）=sinB；當(dāng)k=2n~\~1,

第21頁共36頁

時，a=(2〃+l)兀一夕，則sina=sin(2〃兀+兀-Q)=sin(冗一夕)

=sin/?o若sina=sinp,則a=2〃兀+4或a=2〃冗+冗一夕，〃￡Z,

即。=也+(—1)伊，kGZ。故選C。

答案C

充分條件、必要條件的三種判定方法

1.定義法：根據(jù)4np進(jìn)行判斷，適用于定義、定理

判斷性問題。

2.集合法:根據(jù)p,q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，

多適用于命題中涉及字母范圍的推斷問題。

3.等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性進(jìn)行

判斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題。

【變式訓(xùn)練】(1)已知條件p：4r+2—)1—2x>0,條件q：

(n

V-2P0,則〃是q成立的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

%+220,

解析由qX+2—q1—2%>。知<i—2%三o,解得一

Nx+2>q1—2%,

11r111rn

鏟%t2，即p成立的條件為集合A=I%一鏟%由2

W0得0W%母，即^成立的條件為集合3={X0<W，由

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于8A,所以"是學(xué)的必要不充分條件。

答案B

(2)王安石在《游褒禪山記》中寫道“世之奇?zhèn)?、瑰怪，非?/p>

之觀，常在于險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，

請問“有志”是到達(dá)“奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀”的()

A.充要條件

B.既不充分也不必要條件

C.充分不必要條件

D.必要不充分條件

解析非有志者不能至，是必要條件；但“有志”也不一定

“能至”，不是充分條件。

答案D

2.4.3.考點(diǎn)三充分條件與必要條件的應(yīng)用微專題

【例2】已知P={4?—8%—20W0},非空集合S={X|1—

若是x^S的必要條件，求m的取值范圍。

解由x2—8%—20W0,得一2W%W10,

所以P={%|一2W%W10}。

由％是％的必要條件，知SCP。

1—mW1+m,

則＜1一m2—2,所以0WmW3。

+/71W10,

所以當(dāng)0W機(jī)W3時，是％￡5的必要條件，

即所求m的取值范圍是［0,3］。

【母題變式】本例中，若遇P是遇S的必要條件，求小的

取值范圍。

解若依P是KS的必要條件，則遙S0前P,

第23頁共36頁

所以％￡P(guān)=>%￡S,所以PNS,

1—mW1+根,

則<1—mW—2,所以加29,

故機(jī)的取值范圍是［9,+°°)0

2.5.注意事項(xiàng)

充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上。

解題時需注意

1.把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)

系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式

組)求解。

2.要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)。

【變式訓(xùn)練】(1)(多選)已知％￡R,條件條件,：

若是^的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值可能有()

?Vp

A.5B.1C.2D.—2

解析因?yàn)椋?R,條件pifa,所以p對應(yīng)的集合為A=

(0,1);因?yàn)闂l件學(xué)：所以當(dāng)Q=0時，學(xué)對應(yīng)的集合為8=

(11

當(dāng)a>0時，q對t應(yīng)的集合為B=當(dāng)a<0時,

(0,+°°);I0,C;I;;

對應(yīng)的集合為3=1—8,(U(0,+°°)；因?yàn)閜是^的充分不

必要條件，所以AB,所以當(dāng)a=0時，學(xué)對應(yīng)的集合為5=(0,

+°°),此時滿足AB,故Q=0滿足題意；當(dāng)a>0時，學(xué)對應(yīng)

的集合為此時滿足B,需解得

3=I0,-a,Aci

第24頁共36頁

f1

當(dāng)時，夕對應(yīng)的集合為（+°°）,此時滿足

a<08=y—°°,-ClU0,

AB,故a<0滿足題意。所以實(shí)數(shù)Q的取值范圍是（一8,1]0

故選ABDo

答案ABD

10g2X,%>0,

（2）函數(shù)/（%）=…有且只有一個零點(diǎn)的充分不

2十a(chǎn),xW0

必要條件是（）

A.a<0B.0<a<；

C.；<a<lD.aWO或。>1

解析因?yàn)楫?dāng)％>0時，％=1是函數(shù)/（%）的一個零點(diǎn)；所以

當(dāng)％W0時，一2'+470恒成立，即或恒成立，故QWO,

或。>1。又｛a|aW0,或。>1｝。故選A。

答案A

3.簡