高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量配套章末綜合檢測（含解析）新人教A

第五章章末綜合檢測(學(xué)生用書為活頁試卷解析為教師用書獨(dú)有)(檢測范圍：第五章)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知{an}為等差數(shù)列，若a3＋a4＋a8＝9，則S9＝ ()A．24 B.27C．15 D.54解析B由a3＋a4＋a8＝9，得3(a1＋4d)＝9，即a5＝3.則S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝9a5＝27.2．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－eq\f(1,3)a11的值為()A．14 B.15C．16 D.17解析C∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－eq\f(1,3)a11＝(a8＋d)－eq\f(1,3)(a8＋3d)＝eq\f(2,3)a8＝16.3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ann為正奇數(shù)，,an＋1n為正偶數(shù)，))則其前6項(xiàng)之和是 ()A．16 B.20C．33 D.120解析Ca2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以4．在數(shù)列1,2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，4，…中，2eq\r(19)是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)()A．16 B.24C．26 D.28解析C因?yàn)閍1＝1＝eq\r(1)，a2＝2＝eq\r(4)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(10)，a5＝eq\r(13)，a6＝4＝eq\r(16)，…，所以an＝eq\r(3n－2).令an＝eq\r(3n－2)＝2eq\r(19)＝eq\r(76)，得n＝26.故選C.5．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S13<0，S12>0，則在數(shù)列中絕對值最小的項(xiàng)為 ()A．第5項(xiàng) B.第6項(xiàng)C．第7項(xiàng) D.第8項(xiàng)解析C∵S13<0，∴a1＋a13＝2a7<0，又S12∴a1＋a12＝a6＋a7>0，∴a6>0，且|a6|>|a7|.故選C.6.eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n＋12－1)的值為 ()A.eq\f(n＋1,2n＋2) B.eq\f(3,4)－eq\f(n＋1,2n＋2)C.eq\f(3,4)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2))) D.eq\f(3,2)－eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)解析C∵eq\f(1,n＋12－1)＝eq\f(1,n2＋2n)＝eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，∴Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2))).7．(·杭州月考)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若log2(a2a98)＝4，則a40a ()A．－16 B.10C．16 D.256解析C由log2(a2a98)＝4，得a2a98＝2則a40a60＝a2a8．設(shè)f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，則f(n)＝ ()A.eq\f(2,7)(8n－1) B.eq\f(2,7)(8n＋1－1)C.eq\f(2,7)(8n＋3－1) D.eq\f(2,7)(8n＋4－1)解析D∵數(shù)列1,4,7,10，…，3n＋10共有n＋4項(xiàng)，∴f(n)＝eq\f(2[1－23n＋4],1－23)＝eq\f(2,7)(8n＋4－1)．9．△ABC中，tanA是以－4為第三項(xiàng)，－1為第七項(xiàng)的等差數(shù)列的公差，tanB是以eq\f(1,2)為第三項(xiàng)，4為第六項(xiàng)的等比數(shù)列的公比，則該三角形的形狀是()A．鈍角三角形 B.銳角三角形C．等腰直角三角形 D.以上均錯(cuò)解析B由題意知，tanA＝eq\f(－1－－4,7－3)＝eq\f(3,4)＞0.又∵tan3B＝eq\f(4,\f(1,2))＝8，∴tanB＝2＞0，∴A、B均為銳角．又∵tan(A＋B)＝eq\f(\f(3,4)＋2,1－\f(3,4)×2)＝－eq\f(11,2)＜0，∴A＋B為鈍角，即C為銳角，∴△ABC為銳角三角形．10．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足：a7＝a6＋2a5，若存在兩項(xiàng)am、an使得eq\r(aman)＝4a1，則eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值為 ()A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,3)C.eq\f(25,6) D．不存在解析A由題意可知，a5q2＝a5q＋2a5(q>0)，化簡得q2－q－2＝0，解得q＝－1(舍去)或q又由已知條件eq\r(aman)＝4a1，得a1qm－1·a1qn－1＝16aeq\o\al(2,1)，∴qm＋n－2＝16＝24，∴m＋n＝6，∴eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(4,n)))·eq\f(m＋n,6)＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(4m,n)＋\f(n,m)))≥eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(4m,n)·\f(n,m))))＝eq\f(3,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4m,n)＝eq\f(n,m)，即m＝2，n＝4時(shí)，取“＝”．11．(·銀川一中模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n＝1，2,3，…)，若當(dāng)首項(xiàng)a1和公差d變化時(shí)，a5＋a8＋a11是一個(gè)定值，則下列選項(xiàng)中為定值的是 ()A．S17 B.S18C．S15 D.S14解析C由a5＋a8＋a11＝3a1＋21d＝3(a1＋7d)＝3a8是定值，可知a8是定值．所以S15＝eq\f(15a1＋a15,2)＝15a8是定值．12．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(1,nn＋1)，其前n項(xiàng)和為eq\f(9,10)，則在平面直角坐標(biāo)系中，直線(n＋1)x＋y＋n＝0在y軸上的截距為 ()A．－10 B.－9C．10 D.9解析B∵an＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(n,n＋1)，由eq\f(n,n＋1)＝eq\f(9,10)，得n＝9，∴直線方程為10x＋y＋9＝0，其在y軸上的截距為－9.二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上)13．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中a1＝1，a2＝2，當(dāng)整數(shù)n>1時(shí)，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，則S15＝________.解析由Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)，得(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝2S1＝2，即an＋1－an＝2(n≥2)，數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起構(gòu)成等差數(shù)列，S15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.【答案】21114．若數(shù)列{an}滿足關(guān)系a1＝3，an＋1＝2an＋1，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為________．解析∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，∴an＋1＝4·2n－1，∴an＝2n＋1－1.【答案】an＝2n＋1－115．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，已知對任意的n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝3x＋r的圖象上，則實(shí)數(shù)r＝________.解析∵{an}是等比數(shù)列，且{n，Sn}在函數(shù)y＝3x＋r上，即Sn＝3n＋r，∴公比q＝3，且a1＝S1＝3＋r，a2＝S2－S1＝6，∴eq\f(a2,a1)＝eq\f(6,3＋r)＝q＝3，∴r＝－1.【答案】－116．給定：an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定義使a1·a2·…·ak為整數(shù)的數(shù)k(k∈N*)叫做數(shù)列{an}的“企盼數(shù)”，則區(qū)間[1,2013]內(nèi)所有“企盼數(shù)”的和M＝________.解析設(shè)a1·a2·…·ak＝log23·log34·…·logk(k＋1)·logk＋1(k＋2)＝log2(k＋2)為整數(shù)m，則k＋2＝2m∴k＝2m又1≤k≤2013，∴1≤2m∴2≤m≤10.∴區(qū)間[1,2013]內(nèi)所有“企盼數(shù)”的和為M＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－18＝eq\f(22×1－29,1－2)－18＝2026.【答案】2026三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(12分)已知等差數(shù)列{an}滿足：a4＝6，a6＝10.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Tn為其前n項(xiàng)和，若b3＝a3，T2＝3，求Tn.解析(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，∵a4＝6，a6＝10，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝6，,a1＋5d＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝2，))∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.(2)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0)．∵an＝2n－2，∴a3＝4，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1q2＝4，,b11＋q＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝2，,b1＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝－\f(2,3)，,b1＝9))(舍去)，∴Tn＝eq\f(b11－qn,1－q)＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.18．(12分)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，且對任意的n∈N*，有Sn＝eq\f(3,2)an－eq\f(3,2).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,log3an·log3an＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解析(1)由已知得Sn＝eq\f(3,2)an－eq\f(3,2)，∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝eq\f(3,2)an－1－eq\f(3,2)，∴Sn－Sn－1＝eq\f(3,2)an－eq\f(3,2)an－1，即an＝eq\f(3,2)an－eq\f(3,2)an－1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝3an－1，∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比q＝3；又當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝eq\f(3,2)a1－eq\f(3,2)，即a1＝eq\f(3,2)a1－eq\f(3,2)，∴a1＝3.∴an＝3n.(2)由(1)知an＝3n，故bn＝eq\f(1,log33n·log33n＋1)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).19．(12分)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq\f(n,3)(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；(2)設(shè)bn＝eq\f(n,an)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解析(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq\f(n,3)， ①∴a1＝eq\f(1,3)，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝eq\f(n－1,3)(n≥2)， ②①－②得3n－1an＝eq\f(n,3)－eq\f(n－1,3)＝eq\f(1,3)(n≥2)，化簡得an＝eq\f(1,3n)(n≥2)．顯然a1＝eq\f(1,3)也滿足上式，故an＝eq\f(1,3n)(n∈N*)．(2)由①得bn＝n·3n.于是Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，③3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，④③－④得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，即－2Sn＝eq\f(3－3n＋1,1－3)－n·3n＋1，Sn＝eq\f(n,2)·3n＋1－eq\f(1,4)·3n＋1＋eq\f(3,4).20．(12分)(·長沙模擬)已知{an}為遞減的等比數(shù)列，且{a1，a2，a3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)bn＝eq\f(1－－1n,2)an時(shí)，求證：b1＋b2＋b3＋…＋b2n－1<eq\f(16,3).解析(1)∵{an}是遞減數(shù)列，∴數(shù)列{an}的公比q是正數(shù)，又∵{a1，a2，a3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}，∴a1＝4，a2＝2，a3＝1.∴q＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，∴an＝a1qn－1＝eq\f(8,2n).(2)bn＝eq\f(8[1－－1n],2n＋1)，當(dāng)n＝2k(k∈N*)時(shí)，bn＝0，當(dāng)n＝2k－1(k∈N*)時(shí)，bn＝an，即bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0n＝2k，k∈N*,ann＝2k－1，k∈N*))∴b1＋b2＋b3＋…＋b2n－2＋b2n－1＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝eq\f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n)),1－\f(1,4))＝eq\f(16,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n))<eq\f(16,3).21．(12分)已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1.(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)3nbn＝n(3n－an)，求|b1|＋|b2|＋…＋|bn|.解析(1)∵an＋1＝an＋6an－1，∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)．又a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1∴an＋an＋1≠0，∴eq\f(an＋1＋2an,an＋2an－1)＝3，∴數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，即an＋1＝－2an＋5×3n，∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，∴{an－3n}是以2為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列．∴an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．(3)由(2)及3nbn＝n(3n－an)，可得3nbn＝－n(an－3n)＝－n[2×(－2)n－1]＝n(－2)n，∴bn＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n，∴|bn|＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n.∴Tn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝eq\f(2,3)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋…＋n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n， ①①×eq\f(2,3)，得eq\f(2,3)Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋…＋(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n＋n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n＋1， ②①－②得eq\f(1,3)Tn＝eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n＋1＝2－3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n＋1－neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n＋1＝2－(n＋3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n＋1，∴Tn＝6－2(n＋3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n.22．(14分)已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝eq\f(1,2).(1)當(dāng)n∈N*時(shí)，求f(n)的表達(dá)式；(2)設(shè)an＝n·f(n)，n∈N*，求證：a1＋a2＋a3＋…＋an<2；(3)設(shè)bn＝(9－n)eq\f(fn＋1,fn)，n∈N*，Sn為{bn}的前n項(xiàng)和，當(dāng)Sn最大時(shí)，求n的值．解析(1)令x＝n，y＝1，得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝eq\f(1,2)f(n)，∴{f(n)}是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，即f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n.(2)設(shè)Tn為{an}的前n項(xiàng)和，∵an＝n·f(n)＝n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4