2021-2022學(xué)年山西省運(yùn)城市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2021-2022學(xué)年山西省運(yùn)城市九年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）

1.方程X（X-2）=x的根是（）

A.x=0B.x=2C.為=0,X2=2D.XI=0,X2=3

2.將拋物線y=2/+l向左平移2個單位，向上平移3個單位后得到的拋物線表達(dá)式為（）

A.y=2(x-2)2+4B.y=2(x+2)2+4

C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2-2

3.在RtZVLBC中，ZC=90°,若sinA=*^,則cosA的值為()

A.—B.—C.—D.—

1213313

4.如圖，AABC和△A5C是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，若OA：04=1：2,則△4世

與△AB'C的周長比為（）

C.1：2D.1：9

5.某超市一月份的營業(yè)額為50萬元，到三月底營業(yè)額累計(jì)為500萬元.如果設(shè)平均每月的

增長率為x,依題意得，可列出方程為（）

A.50（1+x）2=500

B.50（1+x）3=500

C.50（1+x）2=450

D.50+50（1+x）+50（1+x）2=500

6.如圖，直線/|〃/2〃〃，直線m〃與這三條直線分別交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)E,F,F,若

AB：BC=5：3,貝D：DF等于()

b

8C.3：5D.8：11

7.點(diǎn)A(-3,yi),B(1,”)，C(3,”）在反比例函數(shù)的圖象上，則片,

x

y3的大小關(guān)系是)

A.y2>y3>y\B.y\>y3>y2C.y2>yi>y\D.y3>y\>yi

8.某三棱柱的三種視圖如圖所示，已知俯視圖中tanB=/,S3c=7,下列結(jié)論中：①主

視圖中〃?=3；②左視圖矩形的面積為18；③俯視圖NC的正切值為段.其中正確的個數(shù)

O

左視圖

C.1個D.0個

9.已知拋物線y=a%2+bx+c（aWO）的對稱軸為直線x=l,與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為A（3,

0）,其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中：①％<0；②62-4ac>0；③拋物線與x軸的

另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,0）;④方程ax1+bx+c=｝有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.其中正

確的個數(shù)為（）

C.3個D.4個

10.如圖，在矩形ABC。中，AB=5,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)8

落在矩形ABC。的內(nèi)部點(diǎn)F處，^tanZDAF=|則座的長為<）

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.若a是銳角且sina=返，則a的度數(shù)是

2

12.一個盒子中裝有標(biāo)號為1,2,3,4的四個小球，這些球除標(biāo)號外都相同，從中隨機(jī)摸

出兩個小球，則摸出的小球標(biāo)號之和大于5的概率為.

13.我們把寬與長的比為黃金比（叵1）的矩形稱為黃金矩形，如圖，在黃金矩形ABCZ）

2

中，AB<BC,BC=2,N4BC的平分線交A。邊于點(diǎn)E,則OE的長為.

14.如圖，有一矩形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻（墻足夠長），另三邊用16米的長籬笆圍

成，則矩形A8C。面積的最大值是

15.如圖，在△ABC中，AB=\4,AC=10,點(diǎn)。是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)M是BA延長線上一點(diǎn),

4

已知tan/CAM=±,ND4B=45°,則AO的長為

3

三、解答題(本大題共8個小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明。證明過程或演算步驟)

16.(1)計(jì)算：&sin45°+2cos30°+|1-tan60°|.

(2)解方程：(x+3)2—2x+6.

17.如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC的垂直平分線分別交AO,3c于點(diǎn)E,F,

所與AC相交于點(diǎn)0,連接AF,CE.

(1)求證：四邊形4EC尸是菱形；

(2)已知sin/ACF=返，CF=5,AB=6,請你直接寫出sinB的值.

5

18.某“綜合與實(shí)踐”小組開展了測量運(yùn)城北站關(guān)公銅像高度的實(shí)踐活動，他們設(shè)計(jì)了兩個

測量方案如下表.經(jīng)過老師與小組利用課余時間實(shí)地考察放棄了方案一，采用了方案二,

他們在銅像底部所在的平地上選取兩個不同的測點(diǎn)，分別測量了銅像頂端的仰角以及這

兩個測點(diǎn)之間的距離.為了減小測量誤差，小組在測量仰角的度數(shù)以及兩個測點(diǎn)之間的

距離時，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果填入表格，測量數(shù)據(jù)如下表.

課題測量公關(guān)銅像的高度

成員組長：XXX,組員：XXX,XXX,XXX

工具側(cè)傾器，皮尺等

設(shè)計(jì)方案說明：線段A8表示銅像，線段CQ表

方案示側(cè)傾器，8的高度為1.1米，點(diǎn)E

測量在A8上，點(diǎn)A,B,C,D,E在同一

示平面內(nèi).需要測量的數(shù)據(jù)有BC的距

意圖離，傾斜角BC的距離，傾斜角/4DE

的度數(shù).

方案說明：線段表示銅像，線段C。，

EG表示側(cè)傾器，CO,FG的高度為1.1

測量米，點(diǎn)E在上，點(diǎn)A,B,C,D,

示E,F,G在同一平面內(nèi).需要測量的

意圖數(shù)據(jù)有CF的距離，傾斜角ZADE,Z

AGE的度數(shù).

實(shí)施方案ZADE的平均值2AGE的平均值CF的平均值

方案二的28.5°45°10米

測量

數(shù)據(jù)

(1)“綜合與實(shí)踐”小組為什么放棄方案一，你認(rèn)為原因可能是什么？(寫出一條即可)

(2)請你根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)計(jì)算關(guān)公銅像的高度.

(參考數(shù)據(jù)：sin28.5°g0.48,cos28.5°弋0.88,tan28.5°弋巨)

19.如圖，一次函數(shù)y\=x+b與反比例函數(shù)”=區(qū)交于點(diǎn)A(1,a),D(-4,1),與y

x

軸，x軸分別交于點(diǎn)8,C.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)作AELy軸于點(diǎn)E,連接。區(qū)求△ADE的面積；

(3)根據(jù)圖象請直接寫出當(dāng)%＞丫2時，x的取值范圍.

y

20.某經(jīng)銷商經(jīng)銷一種封面為建黨100周年的筆記本，每本進(jìn)價為3元，按每本5元出售，

每天可售出30本.調(diào)查發(fā)現(xiàn)這種筆記本銷售單價每提高1元，每天的銷售量就會減少3

本.

（1）當(dāng)銷售單價定為多少元時，該經(jīng)銷商每天銷售這筆記本的銷售利潤為105元？

（2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，才能使該經(jīng)銷商每天銷售這種筆記本所得的利潤最大？

最大利潤是多少元？

慶祝中OR共產(chǎn)梵成=100廂年

TZofC'tttw

21.閱讀與思考

閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的性質(zhì)后，希望學(xué)習(xí)小組又進(jìn)行了深入的探究，發(fā)現(xiàn)：如果在雙曲線

上任取兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)分別向兩坐標(biāo)軸垂線（垂足不同時在x或y軸上），那么垂足的

連線和這兩點(diǎn)的連線平行.如圖1,點(diǎn)48是反比例函數(shù)y=K0￥0）在第一象限圖

X

象上的兩點(diǎn)，作AOLy軸于點(diǎn)O,工軸于點(diǎn)C,連接8,則A8〃CO；如圖2,點(diǎn)

A,B是反比例函數(shù)y=K（ZW0）在第一象限圖象上的兩點(diǎn)，作ACx軸于點(diǎn)。，D,

x

BC_Ly軸于點(diǎn)C,連接CD則AB〃CD.在老師指導(dǎo)下希望學(xué)習(xí)小組進(jìn)行嚴(yán)格推理，證

明這一結(jié)論是正確的.

【結(jié)論應(yīng)用】

任務(wù)：（1）如圖2,若與8C交于點(diǎn)E,CE：BE=l：2.

①黑的值為______.

AB

②若△ABE的面積為6,則四邊形OCEO的面積為.

（2）智慧學(xué)習(xí)小組利用上述結(jié)論又進(jìn)行了新的探究，如圖3,直線EF與反比例函數(shù)y

=—(ZWO)的圖象交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方，與X,y軸分別交于點(diǎn)E,F,

x

則得到這一結(jié)論.

下面是該結(jié)論的部分證明：

證明：作ACy軸于點(diǎn)Q,BCLx軸于點(diǎn)C,連接CD,

貝|JAB〃C￡>,BC//DE.

：.NDEA=NCBF,四邊形EDCB是平行四邊形.

仔細(xì)閱讀上面的證明過程，按照上面的證明思路，請你補(bǔ)充完整.

圖I圖2圖3

22.綜合與實(shí)踐

如圖1,在綜合實(shí)踐課上，老師讓學(xué)生用兩個等腰直角三角形進(jìn)行圖形的旋轉(zhuǎn)探究.在

RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=AC,在RtZ\AMN中，NMAN=90°,4M=AM點(diǎn)

M,N分別在AC,AB邊行，直角頂點(diǎn)重合在一起，將RtZXAMN繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)

旋轉(zhuǎn)角NMAC=a,其中0°<a<90°.

(1)當(dāng)點(diǎn)M落在BC上時，如圖2：

①請直接寫出的度數(shù)為(用含a的式子表示)；

o

②若lana=—,AC=1,求AM的長；

4

(2)如圖3,連接BN,CM,并延長CM交BN于點(diǎn)E,請判斷CE與BN的位置關(guān)系，

并加以證明；

(3)如圖4,當(dāng)/8AC與NMAN是兩個相等鈍角時，其他條件不變，即在△ABC與4

AMN中，AB=AC,AM=AN,NMAN=NBAC=B，NM4C=a,則NCEN的度數(shù)為

(用含a或0的式子表示).

23.綜合與探究

如圖，直線丁=-"|"X+4與x軸，y軸分別交于8,C兩點(diǎn)，拋物線了=底+去:+6經(jīng)過8,

oo

C兩點(diǎn)，與X軸的另一個交點(diǎn)為A(點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè))，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)。.拋物

線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)M是線段8c上一動點(diǎn)，連接。M并延長交x軸交于點(diǎn)凡當(dāng)FM：FD=l：4

時，求點(diǎn)何的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P是該拋物線上的一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為，小試判斷是否存在這樣的點(diǎn)P,

使/PAB+/BCO=90°,若存在，請直接寫出，"的值；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑)

1.方程x(x-2)=x的根是()

A.x=OB.x—2C.xi=0,X2—2D.箱=0,及=3

【分析】利用因式分解法的步驟把原方程變形為x(x-3)=0,再根據(jù)x-3=0或x=0,

即可求出答案.

解：x(x-2)=x,

x(x-2)-x=0,

x(x-3)=0,

x-3=0或x=0,

解得：%i=3,X2=0；

故選：D.

2.將拋物線y=2x2+1向左平移2個單位，向上平移3個單位后得到的拋物線表達(dá)式為()

A.y=2(x-2)2+4B.y=2(x+2)2+4

C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2-2

【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，即可得出平移后拋物線的解析式.

解：拋物線丫="+1向左平移2個單位，向上平移3個單位后得到的拋物線表達(dá)式為：

y=2(x+2)2+3+1,即y=2(x+2)2+4.

故選:B.

3.在Rt^ABC中，NC=90°,若sinA=-^,則cosA的值為()

xo

A.—B.—C.—D.—

1213313

【分析】根據(jù)同一銳角的正弦與余弦的平方和是1.即可求解.

解：sin2A+cos2A=1,即(---)2+cos2A=1,

.?.cosA=[|或一點(diǎn)(舍去)，

xOJLO

故選：D.

4.如圖，Z\A8C和△ABC是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，若04：04=1：2,則△ABC

與AA5c的周長比為()

A.1：4B.1：3C.1：2D.I：9

【分析】根據(jù)位似與相似的關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)解答.

解：-：OA：0A'=\：2,

：.AC：A'C=1：2,

.?.△ABC與△*B1C的相似比是1：2,

.?.△4BC與B'C'的周長比為1：2,

故選：C.

5.某超市一月份的營業(yè)額為50萬元，到三月底營業(yè)額累計(jì)為500萬元.如果設(shè)平均每月的

增長率為x,依題意得，可列出方程為()

A.50(l+x)2=500

B.50(1+x)3=500

C.50(1+x)2=450

D.50+50(1+x)+50(1+x)2=500

【分析】根據(jù)增長率問題，一般增長后的量=增長前的量X(1+增長率)，關(guān)系式為：

一月份月營業(yè)額+二月份月營業(yè)額+三月份月營業(yè)額=500,把相關(guān)數(shù)值代入即可求解.

解：設(shè)平均每月的增長率為x,根據(jù)題意：二月份的月營業(yè)額為50X(1+x),

三月份的月銷售額在二月份月銷售額的基礎(chǔ)上增加X,

為50X(1+x)X(1+x),則列出的方程是：50+50(1+x)+50(1+x)『500.

故選：D.

6.如圖，直線直線4,人與這三條直線分別交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)E,F,F,若

AB：BC=5：3,Ki]EF：。廠等于()

b

A.3：8B.5：8C.3：5D.8：11

【分析】利用平行線分線段成比例定理解決問題即可.

解：；直線/|〃/2〃，3,

.DE=AB=1

??麗―而一石，

?.?EF3,

DF8

故選：A.

7.點(diǎn)4(-3,yi),B(1,>2)，C(3,")在反比例函數(shù)>=工的圖象上，貝Uyi,”，

x

丁3的大小關(guān)系是()

A.y2>y3>y\B.C.y2>yi>y\D.y3>y\>y2

【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式中的比例系數(shù)攵確定函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)各象限內(nèi)

點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及函數(shù)的增減性解答.

解：???反比例函數(shù)y=—■中，k=-3<0,

x

???此函數(shù)圖象在二、四象限，

??,-3<0,

???點(diǎn)A(-3,巾)在第二象限，

Ayi>0,

V3>l>0,

：.B(1,”)，C(3,券)兩點(diǎn)在第四象限，

：.y2<y3<0.

yif”的大小關(guān)系為

故選：B.

8.某三棱柱的三種視圖如圖所示，已知俯視圖中tanB=a,SMBC=7,下列結(jié)論中：①主

視圖中m=3：②左視圖矩形的面積為18；③俯視圖NC的正切值為段.其中正確的個數(shù)

O

為()

A.3個B.2個C.1個D.0個

【分析】根據(jù)這個幾何體的三視圖，得出這個三棱柱，高為6,BD=4,CD=m,由tanB

=pSMBC=7,求出，"的值，進(jìn)而確定CD,再分別對各個結(jié)論進(jìn)行判斷即可.

解：由簡單幾何體的三視圖可知，這個幾何體是三棱柱，高為6,8。=4,CD=m,

1An

VtanB=—,BD=4,

2BD

：.AD=2t

又???5,改=7=/?。">,

(4+w)X2=7,

2

解得m=3,

因此①正確；

左視圖長方形的長為2,寬為6,所以面積為12,

因此②不正確；

在RtZ\A￡>C中，tanC=^=2,

CD3

因此③正確：

綜上所述，正確的結(jié)論有①③，共2個,

故選：B.

左視圖

俯視圖

9.已知拋物線y=or2+/zr+c(a#0)的對稱軸為直線x=l,與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為4(3,

0),其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中：①"c<0；②拄-4ac>0；③拋物線與x軸的

另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0)；④方程a^+bx+c=\有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.其中正

確的個數(shù)為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一判斷即可.

解：①???開口向上與y軸交于負(fù)半軸，對稱軸在y軸右側(cè)，能得到：a>0,c<0,—

2a

>0,b<0,

：.abc>0,錯誤，不符合題意；

②圖象與x軸有2個交點(diǎn)，依據(jù)根的判別式可知及-4“c>0,正確，符合題意；

③；對稱軸為直線x=l,與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為A(3,0),

.?.拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0),正確，符合題意；

④由圖象可知，拋物線>=加+公+。與直線y=l有兩個交點(diǎn)，

方程a?+bx+c=l有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，正確，符合題意；

故選：C.

10.如圖，在矩形ABC。中，A8=5,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，將AABE沿直線AE折疊，點(diǎn)3

落在矩形ABC。的內(nèi)部點(diǎn)尸處，若tan/D4/=g,則BE的長為（）

4

53Q

A.—B.—C.2D.—

224

【分析】過尸作G"〃4B交A。于G,交BC于H,根據(jù)四邊形ABC。是矩形，GH//AB,

得四邊形A8HG是矩形，即知/AGF=NEHF=90°,GH=AB=5,而aABE沿直線AE

折疊，點(diǎn)8落在矩形ABC。的內(nèi)部點(diǎn)尸處，有AF=AB=5,ZAFE=90°,BE=EF,

由tan/D4f=&，得更=3,設(shè)Gf=3x,則AG=4x,在RtZ\AFG中，可得(4x)2+

4AG4

(3x)2=52,解得*=1,從而AG=4,GF=3,可得FH=GH-GF=2,證明△AGf's

"嘮嚕即磬多故EF=V，

BE=—

22

解：過產(chǎn)作GH〃A8交AO于G,交BC于H,如圖:

?.?四邊形ABC￡＞是矩形，GH//AB,

.??四邊形A8”G是矩形,

二/AGF=NEHF=90°,GH=AB=5,

△A8E沿直線AE折疊，點(diǎn)8落在矩形ABCD的內(nèi)部點(diǎn)尸處,

：.AF=AB=5,ZAFE=90°,BE=EF,

2

VtanZDAF=—,

4

?.?GF■■_■3?

AG4

設(shè)GF=3x,則AG=4x,

在Rt^AFG中，462+6嚴(yán)=4產(chǎn)，

(4x)2+(3x)2=52,

解得x=l或》=-1(舍去)，

：.AG=4,G尸=3,

：.FH=GH-GF=2,

VZAFE=90°,

AZAFG=90°-ZEFH=ZFEHfZAGF=ZEHF=90°,

???AAGF^AFWE,

.EF=FH即里=2

"AFAG''54'

：.BE=—,

2

故選：A.

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.若a是銳角且sina=返，則a的度數(shù)是60°.

2------------

【分析】結(jié)合各特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行求解即可.

解：是銳角且sina=1,

2

.二Na=60°.

故答案為：60。.

12.一個盒子中裝有標(biāo)號為1,2,3,4的四個小球，這些球除標(biāo)號外都相同，從中隨機(jī)摸

出兩個小球，則摸出的小球標(biāo)號之和大于5的概率為《.

一3一

【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的情況數(shù)，其中摸出的小球標(biāo)號之和大于5的有4

種，再由概率公式求解即可.

解：根據(jù)題意畫圖如下：

234124

和345356457567

共有12種等可能的情況數(shù)，其中摸出的小球標(biāo)號之和大于5的有4種,

則摸出的小球標(biāo)號之和大于5的概率為得?=2，

114O

故答案為：4

13.我們把寬與長的比為黃金比（立工）的矩形稱為黃金矩形，如圖，在黃金矩形ABC。

2

中，AB<BC,BC=2,NABC的平分線交AO邊于點(diǎn)E,則DE的長為3-、底.

【分析】由黃金矩形的定義得A。=8C=2,4B=Y|zlBC=遙-l,/力=NABC=90°,

再證△ABE是等腰直角三角形，得AE=4B=J^-1,即可得出答案.

解：；四邊形4BCO是黃金矩形，AB<BC,BC=2,

；.AQ=BC=2,AB=J^~^BC=y/s-1./A=NABC=90。，

；BE平分/ABC,

：.ZABE=45°,

.?.△ABE是等腰直角三角形，

：.AE=AB=^-I,

：.DE=AD-AE=2-（娓-1）=3-遍，

故答案為：3-

14.如圖，有一矩形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻（墻足夠長），另三邊用16米的長籬笆圍

成，則矩形ABC。面積的最大值是32m2.

AD

B'-------'c

【分析】設(shè)矩形的寬為初?，進(jìn)而確定矩形的另一條邊長，根據(jù)矩形的面積公式即可求出

函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法求出函數(shù)最值.

解：設(shè)矩形的寬為X，"，面積為碗2,

根據(jù)題意得：S=x（16-2x）

——-2X2+16X

=-2（x-4）2+32,

，x=4/〃時，菜園面積最大，最大面積是32m2.

故答案為：32/n2.

15.如圖，在△ABC中，A8=14,AC=10,點(diǎn)。是8c上一點(diǎn)，點(diǎn)M是84延長線上一點(diǎn),

4L

已知lan/CAM=￡,/D48=45°,則4。的長為4、萬.

o

【分析】過點(diǎn)c、。作CMLBM,DNLBM.先利用/C4M的正切和勾股定理求出CM、

AM的長，再利用/B的正切求出￡W、AN的長，最后利用勾股定理求出AO的長.

解：過點(diǎn)C、。作CMLBM,DNLBM.

：.CM=4k,AM=3k（%為不等于0的常數(shù)）.

在Rt^ACM中，

???亞=a24仔

：7（曲產(chǎn)+化幻2=10.

解得k=2.

：.CM=S,AM=6.

：.BM=AB+AM=2Q,

在RtZ\ADV中，

,：ZDAB=45°,

：.AN=DN.

.8_DN_DN

??元一麗—14-DN

:.DN=AN=4.

.\AD=4yf2.

故答案為：4&.

三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明。證明過程或演算步驟）

16.(1)計(jì)算:&sin45°+2cos30°+|1-tan600|.

(2)解方程：(x+3)2=2X+6.

【分析】(1)先代入三角函數(shù)值，再進(jìn)一步計(jì)算即可；

(2)先移項(xiàng)，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于x的一元一

次方程，再進(jìn)一步求解即可.

解：(1)&sin45°+2cos30°+|l-tan600

=近X亨+2X亨+^-1

=1W3+V3-1

=2無；

(2)*/(x+3)2=2X+6,

??.(x+3)2=2(x+3),

???(x+3)2-2(x+3)=0,

則(x+3)(x+3-2)=0,

.,.x+3=0或x+l=0,

/,X[=-3,X2="1.

17.如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC的垂直平分線分別交A。，BC于點(diǎn)、E,F,

EF與AC相交于點(diǎn)。，連接AF,CE.

(1)求證：四邊形AECF是菱形；

(2)已知sinNACF=返，CF=5,AB=6,請你直接寫出sinB的值.

5

【分析】(1)由線段垂直平分線的性質(zhì)得O4=OC.EA=EC,再證△AOEg^COF(ASA),

得0E=。匕則四邊形AEC尸是平行四邊形，然后由EA=EC,即可得出結(jié)論；

(2)過A作于由銳角三角函數(shù)定義得。/=娓，貝l]OC=2、/mAC=2OC

=4泥，再由勾股定理求出FM=3,則AM=4,即可解決問題.

【解答】(1)證明???四邊形A8C。是平行四邊形，

J.AD//BC,

：.ZEAO=ZFCO,

又垂直平分AC,

：.OA=OC.EA=EC,

在AAOE和△C。/7中，

'NEA0=NFC0

?OA=OC

ZA0E=ZC0F

/.AAOE^ACOF(ASA),

：.OE=OF,

四邊形AEC尸是平行四邊形，

?：EA^EC

平行四邊形4EC尸是菱形；

(2)解：過4作AM,8c于如圖所示:

\'EF±AC,

；.NC。尸=90°,

'：smZACF=^-=—,CF=5,

5CF

：.OF=娓,

???OC=7CF2-OF2=V52-(V5)2=2VS-

；.AC=2OC=4巫，

由(1)得：四邊形AECF是菱形，

：.AF=CF^5,

VAM1BC,

AZAMB=ZAMC=90°,

：.AM2=AF，2-FNf^AC1-CM2,

即52-尸肝=(4/5)2-(FM+5)2,

解得：FM=3,

.?MM=7AF2-FM2=V52-32=4)

18.某“綜合與實(shí)踐”小組開展了測量運(yùn)城北站關(guān)公銅像高度的實(shí)踐活動，他們設(shè)計(jì)了兩個

測量方案如下表.經(jīng)過老師與小組利用課余時間實(shí)地考察放棄了方案一，采用了方案二,

他們在銅像底部所在的平地上選取兩個不同的測點(diǎn)，分別測量了銅像頂端的仰角以及這

兩個測點(diǎn)之間的距離.為了減小測量誤差，小組在測量仰角的度數(shù)以及兩個測點(diǎn)之間的

距離時，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果填入表格，測量數(shù)據(jù)如下表.

課題測量公關(guān)銅像的高度

成員組長：XXX,組員：XXX,XXX,XXX

工具側(cè)傾器，皮尺等

設(shè)計(jì)方案說明：線段AB表示銅像，線段表

方案示側(cè)傾器，CO的高度為11米，點(diǎn)E

測量在上，點(diǎn)A,B,C,D,E在同一

小,平面內(nèi).需要測量的數(shù)據(jù)有BC的距

意圖離，傾斜角的距離，傾斜角/AOE

的度數(shù).

方案說明：線段AB表示銅像，線段。，

EG表示側(cè)傾器，CO,FG的高度為1.1

測量米，點(diǎn)E在A8上，點(diǎn)A,B,C,D,

示E,F,G在同一平面內(nèi).需要測量的

意圖數(shù)據(jù)有C尸的距離，傾斜角NAOE,Z

AGE的度數(shù).

實(shí)施方案ZADE的平均值A(chǔ)AGE的平均值CF的平均值

方案二的28.5°45°10米

測后

數(shù)據(jù)

（1）“綜合與實(shí)踐”小組為什么放棄方案一，你認(rèn)為原因可能是什么？（寫出一條即可）

（2）請你根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)計(jì)算關(guān)公銅像的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin28.5°七0.48,cos28.5°-0.88,tan28.5°七看）

A

A

【分析】(1)根據(jù)題意寫出原因即可；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到。G=C尸=10,BE=CD=\A,設(shè)AE=x.解直角三角形即可

得到結(jié)論.

解：(1)答案不唯一，如：方案一適合底部可直接到達(dá)；底部不可到達(dá)：方案二適合測

量底部不可直接到達(dá)的物體的高度；在地面上可以無障礙地直接測得測點(diǎn)與被測物體的

底部之間的距離；

(2)解：由題意可得：四邊形CDGF,四邊形CDEB是矩形，

：.DG=CF^\0,BE=CD=1.1,

設(shè)

在Rtz^AEG中，N4EG=90°,NAGE=45°,

：tanz^AGE=^->

EG

??.tan45。嗑

在RtZiAEO中，ZAED=90Q,/AOE=28.5°,

AE

tanNADE=Y^r，

UE.

tan28.5°=7^7

UE

DE=----

tan28.5

?:DG=DE?EG,

.10=zt""X

??o,

IT

,'.x=12,

AAB^AE+BE=12+1.1=13.1（米），

答：關(guān)公銅像AB的高度為13.1米.

19.如圖，一次函數(shù)＞i=x+b與反比例函數(shù)次=區(qū)交于點(diǎn)4(1,a),￡)(-4,1),與y

x

軸，x軸分別交于點(diǎn)8,C.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式：

(2)作AE_Ly軸于點(diǎn)E,連接OE,求△AOE的面積；

(3)根據(jù)圖象請直接寫出當(dāng)力〉”時，x的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；

(2)由反比例函數(shù)的解析式求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可;

(3)根據(jù)圖象即可求得.

解：(1)1?點(diǎn)。(-4,-1)在反比例函數(shù)y=K的圖象上，

x

：.k=-4X(-1)=4.

...反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=￡

X

(2)?.?點(diǎn)4(1,“)在在反比例函數(shù)y二的圖象上，

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4),

；AE_Ly軸，

：.AE=\,0E=4,

作交AE的延長線于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N.

則MN=0E=4,ND=1.

：.MD=5,

115

甘或磅

???SAADEXAExDMXIx5

(3)當(dāng)時，x的取值范圍-4<x<0或x>1.

20.某經(jīng)銷商經(jīng)銷一種封面為建黨100周年的筆記本，每本進(jìn)價為3元，按每本5元出售，

每天可售出30本.調(diào)查發(fā)現(xiàn)這種筆記本銷售單價每提高1元，每天的銷售量就會減少3

本.

（1）當(dāng)銷售單價定為多少元時，該經(jīng)銷商每天銷售這筆記本的銷售利潤為105元？

（2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，才能使該經(jīng)銷商每天銷售這種筆記本所得的利潤最大？

最大利潤是多少元？

慶祝中01共產(chǎn)荒點(diǎn)立100閑年

TH1Wt?,g，

TMCvrcnvwitl>3.C

【分析】（I）根據(jù)銷售利潤=每本的利潤X銷售量，列出一元二次方程，在自變量范圍

內(nèi)求解即可；

（2）根據(jù)銷售利潤=每本的利潤X銷售量，列出平均每天的銷售利潤卬（元）與銷售價

x（元/本）之間的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得最大利潤.

解：（1）設(shè)每本銷售單價是x元時，每天獲利105元，

由題意得：（x-3）[30-3（x-5）]=105,

整理得：（-18x+8O=O,

解得：%|=10,X2=8,

，銷售單價定為10元或8元，每天獲利105元；

（2）設(shè)利潤為w元，

則w=（x-3）[30-3（x-5）]

=-3/+54x-135

=-3（x-9）2+108,

；-3<0,

.?.當(dāng)x=9時，卬有最大值，最大值為108,

答：銷售單價定為9元時，才能使該經(jīng)銷商每天銷售這種筆記本所得的利潤最大，最大

利潤108元.

21.閱讀與思考

閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的性質(zhì)后，希望學(xué)習(xí)小組又進(jìn)行了深入的探究，發(fā)現(xiàn)：如果在雙曲線

上任取兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)分別向兩坐標(biāo)軸垂線（垂足不同時在x或y軸上），那么垂足的

連線和這兩點(diǎn)的連線平行.如圖1,點(diǎn)A,B是反比例函數(shù)y=K（%#0）在第一象限圖

X

象上的兩點(diǎn)，作軸于點(diǎn)。，軸于點(diǎn)C,連接CD,則AB〃C。；如圖2,點(diǎn)

A,8是反比例函數(shù)丫=區(qū)儀/0）在第一象限圖象上的兩點(diǎn)，作AOJ_x軸于點(diǎn)。，D,

x

8CJ_y軸于點(diǎn)C,連接CZ）,則A8〃C￡>.在老師指導(dǎo)下希望學(xué)習(xí)小組進(jìn)行嚴(yán)格推理，證

明這一結(jié)論是正確的.

【結(jié)論應(yīng)用】

任務(wù)：（1）如圖2,若AO與8C交于點(diǎn)E,CE-BE=\-2.

①黑的值為4.

AB~2~

②若AABE的面積為6,則四邊形。CEZ）的面積為3.

（2）智慧學(xué)習(xí)小組利用上述結(jié)論又進(jìn)行了新的探究，如圖3,直線EF與反比例函數(shù)y

=—awo）的圖象交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)8的上方，與X,y軸分別交于點(diǎn)E,F,

x

則得到AE=BF這一結(jié)論.

下面是該結(jié)論的部分證明：

證明：作軸于點(diǎn)。，軸于點(diǎn)C,連接CD,

則AB〃C￡>,BC//DE.

/QE4=/CBF,四邊形EDCB是平行四邊形.

仔細(xì)閱讀上面的證明過程，按照上面的證明思路，請你補(bǔ)充完整.

【分析】(1)①由CQ〃A8,得△ABEs^QCE,從而得出答案；

②根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得答案；

(2)由兩種對邊分別平行，可知四邊形E3CB是平行四邊形，則BE=CD,同理，四邊

形AQCF是平行四邊形，得AF=C￡?,從而得出結(jié)論.

解：(1)①?..C￡>〃AB,

...AABEs^DCE,

?.?CD—CE,

ABBE

,/CE-BE=l：2,

.?.CD—1,

AB2

故答案為：

@'：CE：BE=1：2,

.SACDE_1

2AABE4

?.?△ABE的面積為6,

7_3

；NCOD=/OCE=NODE=90°,

...四邊形OOEC是矩形，

SODEC=2S^CDE=3,

故答案為：3；

(2)如圖，作AOLy軸于點(diǎn)O,軸于點(diǎn)C,連接8,

則AB〃C￡),BC//DE.

二四邊形EDCB是平行四邊形，

：.BE=CD,

同理，四邊形AOCF是平行四邊形，

：.AF=CD,

：.BE^AF,

：.AE=BF.

22.綜合與實(shí)踐

如圖1,在綜合實(shí)踐課上，老師讓學(xué)生用兩個等腰直角三角形進(jìn)行圖形的旋轉(zhuǎn)探究.在

Rt/XABC中，NBAC=90。，AB=AC,在RtZ\AMN中，NMAN=90°,AM=AN,點(diǎn)、

M,N分別在AC,AB邊行，直角頂點(diǎn)重合在一起，將RtZ\AMN繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)

旋轉(zhuǎn)角NM4C=a,其中0°<a<90°.

（1）當(dāng)點(diǎn)M落在8C上時，如圖2：

①請直接寫出NBMN的度數(shù)為a（用含a的式子表示）；

o

②若tana=—,AC—1,求4W的長；

4

（2）如圖3,連接BN,CM,并延長CM交BN于點(diǎn)E,請判斷CE與BN的位置關(guān)系，

并加以證明；

（3）如圖4,當(dāng)N8AC與NMAN是兩個相等鈍角時;其他條件不變，即在△回。與4

AMN中，AB=AC,AM=AN,NMAN=NBAC=B，ZMAC=a,則NCEN的度數(shù)為

180°-B（用含a或0的式子表示）.

【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/M4C=/BAN=a,通過證明點(diǎn)A,點(diǎn)M,點(diǎn)8,

點(diǎn)N四點(diǎn)共圓，可得N84V=NBMN=a；

②設(shè)例D=3x,由銳角三角函數(shù)可求A￡>=4,DM=3,由勾股定理可求解；

（2）由“SAS”可證△BAN絲△CAM,可得NACM=/ABN,由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；

（3）由“S4S”可證△BAN絲△CAM,可得NBNA=NAMC,由四邊形內(nèi)角和定理可求

解.

解：（1）①：將Rt/XAMN繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角NMAC=a,

：.NMAC=NBAN=a,

VZBAC=90°，AB=AC,

AZABC=ZACB=45°,

VZMAN=90Q,AM=AN,

：.ZAMN=ZANM=45°,

???N4NM=N48C=45°,

???點(diǎn)A,點(diǎn)M,點(diǎn)B,點(diǎn)N四點(diǎn)共圓,

:?/BAN=/BMN=a,

故答案為：a；

②如圖2,作MOL4C于點(diǎn)。，

?。?

設(shè)MD=3x,

?：ZBAC=90°,AB=ACf

AZC=45°,

：.ZDMC=ZC=45°,

：.CD=DM=3X9

在Rt/XAOM中，ZADM=90°,

MD

tanNMAD-AD"I

.\AD=4xf

：.AC=AD+CD=3x+4x=l,

?1f

???A￡>=4,0M=3,

AM=7AD2+DM2=V32+42=5；

(2)CELBN,理由如下：

如圖3,設(shè)AB與CE相交于點(diǎn)尸,

圖3