《2.2基本不等式》應(yīng)試拓展

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《基本不等式》應(yīng)試拓展拓展1利用基本不等式求解最值、范圍問(wèn)題基本不等式又叫均值不等式,應(yīng)用時(shí),要注意構(gòu)造滿足基本不等式的條件,常用的解題技巧是合理拆分項(xiàng)或配湊因式,目的在于滿足“和為定值或積為定值”,在應(yīng)用時(shí)必須注意保證“一正、二定、三相等”一要正:各項(xiàng)必須為正數(shù);二定值:必須滿足“和為定值”或“積為定值”,要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結(jié)構(gòu),否則求最值就會(huì)出錯(cuò);三相等:要保證等號(hào)能成立,如果等號(hào)不能成立,那么求出的值仍不是最值.【例1】求的最大值.分析:認(rèn)識(shí)變量的范圍.由x<0,可知不滿足各項(xiàng)必須是正數(shù)這一條件,不能直接應(yīng)用基本不等式,處理方法是加上負(fù)號(hào)變正數(shù).解:∵,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).∴的最大值為?1.拓展2掌握基本不等式求最值時(shí)的一些技巧應(yīng)用基本不等式解題的關(guān)鍵是湊出“定和”或“定積”及保證能取到等號(hào),此時(shí)往往需要采用拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)、平方、平衡系數(shù)、“1”的整體代入、消元化歸部分分式、三角換元等變形技巧,選擇合理的變形技巧可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,達(dá)到事半功倍的效果.1.配湊法配湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形,即將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)、湊系數(shù)等方法湊成“和為定值”或“積為定值”的形式.(如:湊成的形式等),然后利用基本不等式求解最值的方法.2.“1”的整體代入(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù)).(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1.(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除,進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式.(4)利用基本不等式求解最值.3.消元法對(duì)于含有多個(gè)變量的條件最值問(wèn)題,若直接運(yùn)用基本不等式無(wú)法求最值時(shí),可嘗試減少變量的個(gè)數(shù),即根據(jù)題設(shè)條件建立兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的函數(shù)的最值問(wèn)題,即減元(三元化二元,二元化一元).【例2】已知,求的最小值.分析:要求的最小值,應(yīng)構(gòu)建某個(gè)積為定值,這需要對(duì)條件進(jìn)行必要的變形,下面給出三種湊定值的方法.解:方法一:“1”的整體代入.∵.∵,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).又:當(dāng)時(shí),取得最小值16.方法二:消元化歸部分分式由,得,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取等號(hào),此時(shí)當(dāng)時(shí),取得最小值16.方法三:配湊定值.由,得,且,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).又當(dāng)時(shí),取得最小值16.【關(guān)鍵技巧】本題給出了應(yīng)用基本不等式求最值的三種思維方法,涉及的變形技巧有“‘1’的整體代入”“消元化歸部分分式”“配湊定值”,突顯應(yīng)用中的整體思維和配湊出基本不等式滿足條件的目標(biāo)意識(shí),要學(xué)會(huì)觀察,善于積累,注意被代換的變量的范圍對(duì)另外一個(gè)變量的范圍的影響.拓展3多次應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)等號(hào)同時(shí)成立的條件多次應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),一定要求出同時(shí)取等號(hào)的變量的值,只有保證每次取等號(hào)的條件相同,即等號(hào)步步傳遞,才能求得最后的最大(小)值.若多次不能同時(shí)取等號(hào),此時(shí)可應(yīng)用整體代入、恒等變換等技巧,湊出定值,再應(yīng)用基本不等式求解.【例3】若a>b>0,求的最小值及取得最小值時(shí)a,b的值.分析:本題很難尋求到正確的求解途徑,究其原因是對(duì)題設(shè)中隱含條件的挖掘、對(duì)基本不等式湊定值的方法和技巧應(yīng)用不到位,注意到條件a>b>0和b(a?b),可先求出b(a?b)的最大值,即得到(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),注意,兩次應(yīng)用基