必修5-20屆人教版高中數(shù)學專題1

1.2應(yīng)用舉例

k知識

i.解三角形應(yīng)用題的基本思想

解三角形應(yīng)用題時，通常都要根據(jù)題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解三角形，

得到實際問題的解，求解的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為問題.

2.運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本步驟

(1)分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖(一個或幾個三角形)；

(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中，建立一個解三

角形的數(shù)學模型；

(3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數(shù)學模型的解；

(4)檢驗：檢驗所求的解是否符合實際問題，從而得出實際問題的解.

3.三角形面積公式

(1)三角形的高的公式：hA=bsinC=cs\nBf〃產(chǎn)csinA=〃sinC,〃c=〃sin5二加irtA.

(2)三角形的面積公式：5=-6zZ?sinC,5=___________,S=___________.

2

K知識參考答案：

1.解三角形3.—hcsinA—casinB

22

重占

從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解三角形，得到實際問題

K-重點

的解；利用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的問題

測量距離、高度、角度問題中數(shù)學模型的建立，利用正弦定理、余弦定理求

K一難點

證簡單的證明題

K一易錯解題時應(yīng)由題意準確畫出示意圖，容易忽略圖形的多種畫法從而導致錯誤

-留鼠盤&測量距離問題

當?shù)拈L度不可直接測量時，求A,8之間的距離有以下三種類型.

(1)如圖1,A,8之間不可達也不可視

計算方法：測量AC,3C及角C,由余弦定理可得AB=JAC?+_2ACBCcosC?

(2)如圖2,B,C與點A可視但不可達

計算方法：測量8C,角B，角C,則4=?！?-C,由正弦定理可得AB="型C.

(3)如圖3,C,。與點A,B均可視不可達，

計算方法：測量C2NB￡>C,NAC2N3CD,NA。。，在以。。中由正弦定理求AC,

在ABCD中由正弦定理求BC,在△ABC?中由余弦定理求AB.

如下圖，為,了測量河對岸A，8兩點間的距離，在河的這邊測得CD=Ylkm,NADB=N88=30。,

ZACD=60°,/ACB=45。，則A,B兩點間的距離為

【答案】亞

4

【解析】因為乙4。。=乙徹-/?！?gt;5=60',Z.4CZ)=60o,所以ND.4O60。，AC=DC=B,

2

BCDC巫

因為在△3CO中，ZD5C=45C>所以=二飛,所以BC=3.

sin300sm45°4

在△J5c中，由余弦定理得.43：=.=*-5?-"CBCcoJ5：=三+之一2x立x包x立=-

428

所以.43=述，所以/,5兩點間的距離為述km.

44

【名師點睛】在解含有兩個或兩個以上的三角形的問題時，首先應(yīng)根據(jù)條件應(yīng)用正、余弦定理或三角形內(nèi)

角和定理在一個三角形中求解邊和角，然后在此基礎(chǔ)上求解另一個三角形，依此類推.首選哪一個三角形

至關(guān)重要，原則是首選的三角形應(yīng)與其他三角形有一定聯(lián)系，旦方便求解

二鼠鼠彘&測量高度問題

當A8的高度不可直接測量時，求A，8之間的距離有以下三種類型.

（1）如圖1.底部可達

計算方法：測量及角C,則AB=8CtanC.

（2）如圖2,底部不可達，但點8與C,。共線

計算方法：測量CD,角C,/ADB，由正弦定理求AC或AO,再解直角三角形求AB.

（3）如圖3,底部不可達，且點8與C,。不共線

計算方法：測量C2N5CZ）,N8OC,NACB,在△BCD中由正弦定理求BC,再解直角三角形求

AB.

,如下圖，在地,平面上有一旗桿0P,為了測量它的高度兒在地面上選一基線A8,測得A8=20m,

在A點處測得P點的仰角NQ4P=30。，在B點處測得P點的仰角NOBP=45。，又測得NAOB=60。，則旗桿

的高度人。m.（結(jié)果保留整數(shù)）

【解析】因為在RtA4OP中，ZOAP=30°,OP=h,所以。4==舟.

tan30°

OP

在RtZSBOP中，ZOBP=45°,所以。B=---------=h.

tan45°

在△AO8中，AB=20,ZAOB=60°,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2XO4XOB-COS60。,

2LL1400

BP20=（V3^）W-2xA/3/jx/zx-,解得〃2=彳q276.4,所以/?=13.故旗桿的高度約為13m.

【名師點睛】高度的測量主要是一些底部不能到達或者無法直接測量的物體的高度問題.常用正弦定理或

余弦定理計算出物體的頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.這類

物體高度的測量是在與地面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造三角形或者在空間構(gòu)造,三棱錐，再依據(jù)條件利用正、余

弦定理解其中的一個或者幾個三角形，從而求出所需測量物體的高度.

O留鼠鹿臼測量角度問題

測量角度問題主要涉及海上、空中的追及與攔截，此時問題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、

山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.

J如圖，某船在A處看燈塔S在北偏東30。方向，它以每小時30海里的速度向正北方向航行，經(jīng)過

40分鐘航行到B處，看燈塔S在北偏東75。方向，則此時該船到燈塔5的距離約為海里.（精

確到0.01海里）

【答案】14.14

【解析】由題圖可知，在△且SS中，Z.45S=180°-75e=105°,ZB.4S=30°,

40BSAB

所以4ss=45。，/3=30、￡；=20（海里），由正弦定理，得—

60sin30sm45

故55=也嗒=100a14.14,故該船到燈塔S的距離約為14.14海里.

【名師點睛】解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角

形中已知哪些量，■需要求哪些量.解題時應(yīng)認真審題，結(jié)合圖形去選擇正、余弦定理，這是最重要的一步.

四'里篁邕&三角形的面積計算問題

在求三角形的面積時，若存在三角形邊長平方和的情況，一般聯(lián)想到用余弦定理解決；若存在邊長乘積時,

一般聯(lián)想到用公式5=—abs\nC=—^csinA=—casinB解決.

222

，在△ABC中，角A,B,C對應(yīng)的三邊分別是a,h,c,已知。=2有，Z>=2,AA3C的面積S=6,

則，=

A.2B.77C.2幣D.2或2不

【答案】D

【解析】由S=；而sinC=、2smC=+得sinC=1,所以C=30°或150°.

①當030。時，由余弦定理得八^一尼一2abeosC=(2有)2+2-2x］也x2cos300=4,所以c=2.

②當C=15(T時，由余弦定理得d-a2-抗一2而cosC=C有x2cosl5(T=28,所以c=25.

綜上，c=2或2s.故選D.

【名師點睛】在解三角形面積的問題中，要注意三角形面枳公式與余弦定理的結(jié)合.

五留思點&三角形中邊角關(guān)系恒等式的證明

，在△ABC中，求證:a2+b~_sin2A+sin2B

c2sin2C

【解析】根據(jù)正弦定理，可設(shè)3=/一=1J=Z，顯然k和,

sinAsinBsine

2+b2k2sm2A+k2sm2Bsin2A+sin2B

所以，左邊=@=右邊,

-)2

c氏2sin2csinC

a1+h2sin2A+sin2B

所以

C2sin2C

【名師點睛】有關(guān)三角形的證明問題，主要涉及三角形的邊和角的三角函數(shù)關(guān)系.從某種意義上看，這類

問題就是有目標地對含邊和角的式子進行化簡的問題，所以解題思路與判斷三角形的形狀類似：將邊化為

角或者將角化為邊

■好題

基砒

1.已知4,8兩地的距離為5km,B,C兩地的距離為10km,經(jīng)測量可知，ZABC=120°,則A,C兩地

的距離為

A.5kmB.5石kmC.7A/5kmD.5V7km

2.如圖，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定的一點C，測出AC的

距離為50五m,NACB=45。，NC45=105°后，就可以計算出A，8兩點的距離為

A.100mB.500mC.10072mD.200m

3.如圖，一艘輪船以每小時60海里的速度自A沿南偏東35°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C

處有一座燈塔，輪船在A處觀察燈塔，其方向是南偏東65°,在B處觀察燈塔，其方向是北偏東70°,

那么B,C間的距離是

A.15夜海里B.156海里C.306海里D.30及海里

4.若銳角三角?形ABC的面積為66,且AB=4，AC=6,則3C=

A.4B.2亞C.2"D.2X/7

5.一架直升飛機在600m的高空中，測得地面上一座塔的塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°,則塔高為

A.400mB.40()73mC.20()百mD.200m

6.在△ABC中，若A=60°,Z?=4,%15c=4百，則。=.

7.江岸邊有一炮臺高3()m,江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得兩船的俯角

分別為45。和60。，而且兩條船與炮臺底部連線成30。角，則兩條船相距m.

8.如圖所示，在山頂上有一座塔，在山底測得塔頂?shù)难鼋荖CA8=45。，沿傾斜角為30。的斜坡走1000米

至S點，又測得塔頂?shù)难鼋?￡>SB=75。，求塔高BZ).

B

9.銳角三角形ABC中，角A，B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cos2C=—'.

4

(1)求sinC的值;

(2)當〃=2,2sinA=sinC時;求b的長及△ABC的面積.

犍力

10.已知"BC的周長為20,面積為106，A=60。，則8c的長等于

A.5B.6C.7D.8

11.如圖所示，在一條水平直線上選取三點A,B,C進行測量，測得A8=25m,BC=60m,水深4￡>=40m,

BE=100m,CF=55m,則NZ)E廠的余弦值為

12.為了測量一建筑物的高度，某人在地面上選取共線的三點A,B,C,分別測得此建筑物的仰角為30。,

45°,60°,且A8=BC=30m,如圖所示，則建筑物的高度為

c

A.5#mB.105/6mC.15cmD.20#m

13.兩船同時從A港出發(fā)，甲船以每小時20海里的速度向北偏東80°的方向航行，乙船以每小時12海里

的速度向北偏西40°方向航行，一小時后兩船相距海里.

14.如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，

某目標點P沿墻面上的射線CN移動，此人為了瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角6的大

小.若A8=12m,AC=20m,ZBCM=45°，則tan0的最大值為.(仰角。為AP

與平面ABC所成角)

15.某港口。要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口的。北

偏西30。且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)

該小艇沿直線方向以u海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過“、時與輪船相遇.

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

(2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；

(3)是否存在也使得小艇以u海里〃卜時的航行速度。行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？

若存在，試確定v的取值范圍；若不存在，請說明理由.

真M

16.（2017浙江）已知△”（?，AB=AC=4,BC=2.點。為A3延長線上一點，BD=2,-連結(jié)CD則

的面積是，cosZBDC=.

17.（2017山東文）在/XABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知43,ABAC=-6>^5C=3,

求A和a.

18.（2017新課標全國I理）"5。的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知八45。的面積為一一

3sinA

(1)求sinBsinC；

(2)若6cos3cosc=1,a=3,求△ABC的周長.

B

19.(2017新課標全國II理)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8si9M-.

2

(1)求cos8;

(2)若。+c=6,ZvlBC的面積為2,求b.

1.D【解析】在八48。中，AB=5km,BC=10km,NA5C=120。，根據(jù)余弦定理得,

AC2=52+102-2x5xl0xcos120°nAC=5不km.故選D.

2.A【解析】在中，乙4cB=45。，NC.W5=105。，所以N43C=30。，又,4C=500tn,所

以由正弦定理，可得，傷=———xsmZ.4Cg=^^-xsin45°=10072x=100(m).故選

sinAABCsin30°2

3.A【解析】易知在ZXABC中，AB=30海里，ZC4B=30°,ZABC=35°+70°=105°,/.ZACB=45°,

BCAB

根據(jù)正弦定理得貳而=訴，解得BC=15c（海里）?故選A.

66,sinA=走,由于△ABC為銳

4.D【解析】三角形面積S=LAB-AC-sinA=』x4x6sinA

222

角三角形，所以cosA=；，由余弦定理可求得BC=JAB?+4c2一2AB.ACcosA=2J7，故選D.

CD

5.A【解析】如下圖所示，在Rt△AC。中，可得tan30。=——

AC

CP=AC-tan30°=600x=20073在AWE中，由正弦定理，可得

3

ABBE

=AB=200,所以。E=50=600—200=400(m).故選A.

sin300sin60°

，解得，又。,

6.4【解析】S^BC=—/?csinA=—x4xcxsin60°46c=4.;2=c=4A=60

22

所以△ABC為等邊三角形，所以。=4.

7.1073【解析】如下圖，O,A分別為炮臺底部和頂部，M,N為兩艘船，假設(shè)由炮臺頂部測得M船的

俯角為60°,測得N船的俯角為45。，可求得ON=Q4=30m,0M=—OA=lQy/3>n,又

3

ZMON=30°,所以可根據(jù)余弦定理求得MN=106(m).故兩條船相距106m.

8.500米

【解析】?/ZS18=ZC18-ZC4S=450-30o=15°,NS3/=Z^BC-NS5C=450-15°=30°,

BSASAS-sin150.五k、

??.在△月5s中，一=「而，：.BS=?=50°AA（/#-4（米）,

sin15sin30sin30

：.BD=BSsm75°=500（痣-0）x?=500（米）.故塔高BD為500米.

9.（1）sinC=—;（2）b=2庭,5=715.

4

【解析】（1）因為cos2c=1—2sin2c=-Lo<C<3,所以sinC=亞.

424

（2）當a=2,2sinA=sinC時，由‘一解得c=4.

sinAsinC

由cos2c=2cos2（?—1=-4及0<C<無，可得cosC=仄，

424

由c2=a2+62-2"cosC，可得廿一廂,一口=0,解得b=2"（負值舍去），

所以SAABC=^^sinC=\Z15.

10.C【解析】設(shè)角A，B,，。所對的邊分別為。，匕，c,由題意得a+/?+c=20?,-Z7csin60°=1073

2

②，由①②得。+c=20-a,〃c=40,所以/=〃+c、2一〃c=3+c）2-3bc=（20-〃）2一3x40,

解得a=7.故選C.

H.A【解析】如下圖所示，作DM〃AC交BE千N，交CE于則

DF=y/MF2+DM2=7152+852=5^98(m)-

DE=y/DN2+EN2=A/252+602=65(m)-

EF=?BE-FC):+BC?="52+602=75(m),

在△￡)石尸中，由余弦定理的推論可得，

cos/阻JE"尸一次=652+75-52x2985

2DExEF2x65x7565

故選A.

12.C【解析】設(shè)建筑物的高度為2由題圖知，尸―，PB=6m,PC=W〃m,

302+2/I2-4^2

所以在△PBA和中△EBC中，分別由余弦定理的推論，得cosZPBA=

2x30x@①,

302,21,2_g"

cosZPBC=_________一§②，因為NP3/+NP8C=180。，所以COSZPBK+COSNPBC

__2x30x@

=0③.由①②③，解得力=15《或”=一15褥（舍去），即建筑物的高度為15&m.故選C.

13.28【解析】如圖，在ZXABC中，AB^20,AC=12,NC45=40°+80°=120。，由余弦定理得

BC2=202+122-2x20x12-cos120°=784,二BC=28(海里).故一小時后兩船相距28海里.

c

北I

'B

40c!

西i-4東

14.-【解析】如圖，過P作于點。，連接AO,則NP4O=e，設(shè)OC=x，則OP=x,

3

4

在直角A45C中，由勾股定理，可得BC=16,所以cosNBCA=《.

在“。。中,，由余弦定理，可得AO=^400+--2x20xx￡=J%?-32x+400,

tan人”X_1

從而AO32尤+400J(20_4,+2>

2045

易知當一二一,即x=25時，tan。取得最大值，最大值為一.

x53

15.(1)30海里/小時；(2)lOg海里/小時；(3)存在，u的取值范圍為(15百,30).

【解析】(D設(shè)相遇時小艇的航行距離為S海里，

則由余弦定理，可得S=^900r:+400-2x30rx20cos(90°-30°)

=，900產(chǎn)-6001+400

2

=^900(r-1)+300s

故當”:時，%n=10W，此時v=30道，

即小艇以30檔海里小時的速度航行，相遇時小能的航行距禽最小.

(2)如圖，設(shè)小艇與輪船在一處相遇，

由題意可知(⑺2=2()2+(30t)2-2?20-30Jcos(900-30。),

化簡得聲=理—竺2+900=400(---)2+675,

ttt4

由于所以！22,

2t

所以當1=2時，v取得最小值10萬，即小艇航行速度的最小值為10/海里/小時.

t

(3)存在.由(2)知丫2=型一%+900,

tt

設(shè)1=〃(〃>0),于是400M2-6(X)M+900-V2=().

t

小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價于方程有兩個不等正根，

22

600-1600(900-v)>0「r-

即j002>0，解得156<”30,所?以v的取值范圍是(156,30).

16.半呼【解析】取5c中點E,由題意可知在人4班中，cosZ^BC=^1=l,所以

24期4

cosZDBC=-l,sinZDBC=,所以S.==：xBDx5CxsinZD5C=半.因為

NABC=2ZBDC,所以8SZABC=8s2Z3Z）C=28s：ZBDC-l=[,解得8sZBDC=典或

44

esNBDC=T（舍去）.綜上可得，△38的面積為羋，8sZBDC=吧.

424

43兀I—

17.A=――,a=>/29.

4

3ccosA=-6

【思路分析】先由數(shù)量積公式及三角形面積公式得1一..一，由此求A,再利用余弦定理求公

一x3csinA=3

12

【解析】因為礪.*=一6，所以匕ccosA=-6,

又S4ABe=3,所以hcsinA=6,因此tanA=—l,

37r

又0<A<7i,所以A=q-,又b=3,所以C=2Q.

萬

由余弦定理〃=〃+C2-27?CCOSA，可得/=