《運(yùn)籌學(xué)》 課件 第10章-排隊(duì)論

7/16/2024第10章排隊(duì)論1WheretheTimeGoes美國(guó)人一生中平均要花費(fèi)---7/16/202426年吃5年排隊(duì)等待4年做家務(wù)2年回電話不成功1年尋找放置不當(dāng)?shù)奈锲?個(gè)月打開郵寄廣告6個(gè)月停在紅燈前AC尼爾森公司的調(diào)查在消費(fèi)者經(jīng)常遭遇排隊(duì)問題的各類場(chǎng)所銀行的排隊(duì)率是73%；醫(yī)院以44%居第二；零售商店的排隊(duì)率以43%居第三。在調(diào)查受訪的消費(fèi)者中，超過60%的受訪者稱通常一周用于排隊(duì)的時(shí)間高于30分鐘。在所有受訪的消費(fèi)者中，有28%的人因排長(zhǎng)隊(duì)而轉(zhuǎn)選其它服務(wù)提供商，66%的人因不想耽誤時(shí)間而選擇離開，而46%的人會(huì)有抱怨。7/16/20243行為研究結(jié)論行為科學(xué)家發(fā)現(xiàn)：無序排隊(duì)是影響客戶流失的一條主要原因。研究結(jié)果表明等候時(shí)間：超過十分鐘，情緒開始急躁；超過二十分鐘，情緒表現(xiàn)厭煩；超過四十分鐘，常因惱火而離去。7/16/20244如何減少排隊(duì)？減少等候時(shí)間的解決方案：開設(shè)更多的服務(wù)點(diǎn)；提供自助服務(wù)解決方案；雇用更多員工。7/16/20245排隊(duì)管理系統(tǒng)的應(yīng)用近年來，許多公共服務(wù)場(chǎng)所出現(xiàn)了排隊(duì)機(jī)(ticketdispenserunit)，窗口秩序?yàn)橹蛔?，一種令人耳目一新的排隊(duì)方式：進(jìn)得大門，在排隊(duì)機(jī)的觸摸屏上點(diǎn)一下所要辦理的項(xiàng)目，排隊(duì)機(jī)就會(huì)“吐”出一張像名片大小的號(hào)票，拿著這張?zhí)柶卑舶察o靜地坐在休息區(qū)舒適的椅子上等候，輪到自己時(shí)，大屏幕和語音系統(tǒng)會(huì)提醒你到相應(yīng)的窗口辦理，井然有序。7/16/20246DisneyParis’sEuroDisney,Tokyo’sDisneyJapan,andtheU.S.’sDisneyWorldandDisneylandallhaveonefeatureincommon—longlinesandseeminglyendlesswaits。在游樂園中的頻頻排隊(duì)會(huì)極為掃興……7/16/20247Disney在佛羅里達(dá)州Orlando的DisneyLand里,游客們依著繩子排成許多隊(duì)，指示牌可以估計(jì)出等待的時(shí)間，而許多大的電視屏幕為游客們提供消遣。DisneyLand中的FastPass系統(tǒng)就是想解決排隊(duì)問題。7/16/20248WhatisFastPass?工作原理：到達(dá)的顧客將自己的票插入FastPass的slot中FastPass計(jì)算出建議顧客返回的時(shí)間間隔（timeinterval）或時(shí)間點(diǎn)或時(shí)間窗（timewindow）顧客無需排隊(duì)，在指定的時(shí)間返回就可持票進(jìn)入7/16/20249Disney’sFastpass7/16/202410

如何計(jì)算顧客等待時(shí)間？7/16/202411

排隊(duì)論！服務(wù)系統(tǒng)的構(gòu)成排隊(duì)現(xiàn)象抽象成服務(wù)系統(tǒng)，它由顧客、服務(wù)機(jī)構(gòu)、隊(duì)列和服務(wù)規(guī)則等組成7/16/202412ThreePartsofaQueuingSystem

atDave’sCar-Wash7/16/202413排隊(duì)系統(tǒng)的基本特征離開排隊(duì)規(guī)則到達(dá)過程排隊(duì)結(jié)構(gòu)服務(wù)過程退出需求群體7/16/202414什么是排隊(duì)論排隊(duì)論是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊(duì)現(xiàn)象隨機(jī)規(guī)律的理論與方法。因?yàn)榕抨?duì)現(xiàn)象是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，因此在研究排隊(duì)現(xiàn)象的時(shí)候，主要采用的是研究隨機(jī)現(xiàn)象的概率論作為主要工具，還有微分方程。7/16/202415排隊(duì)論研究目的和內(nèi)容減少顧客等待時(shí)間計(jì)算顧客平均等待時(shí)間計(jì)算顧客的平均隊(duì)長(zhǎng)提高服務(wù)系統(tǒng)的效率計(jì)算服務(wù)強(qiáng)度計(jì)算忙期\閑期對(duì)服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行成本效益平衡分析增加服務(wù)臺(tái)的成本與效益分析7/16/202416排隊(duì)論發(fā)展簡(jiǎn)述1909年丹麥數(shù)學(xué)家A.K.Erlang(愛爾朗)服務(wù)于一家電話公司，他在解決自動(dòng)電話設(shè)計(jì)問題時(shí)開始形成的，當(dāng)時(shí)稱為話務(wù)理論。他在熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)平衡理論的啟發(fā)下，成功地建立了電話統(tǒng)計(jì)平衡模型，并由此得到一組遞推狀態(tài)方程，從而導(dǎo)出著名的愛爾朗電話損失率公式。7/16/202417排隊(duì)論發(fā)展簡(jiǎn)述上世紀(jì)50年代，英國(guó)人D.G.Kendall提出嵌入馬爾可夫鏈理論，以及對(duì)排隊(duì)隊(duì)型的分類方法，為排隊(duì)論奠定了理論基礎(chǔ)；上世紀(jì)60年代更多的應(yīng)用于生產(chǎn)線，交通信號(hào)燈綠信比的設(shè)置等問題；上世紀(jì)70年代應(yīng)用于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、通信等領(lǐng)域；如今通信系統(tǒng)仍然是排隊(duì)論應(yīng)用的主要領(lǐng)域,同時(shí)在運(yùn)輸、港口泊位設(shè)計(jì)、機(jī)器維修、庫存控制等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，特別是服務(wù)行業(yè)。7/16/202418CONTENTS019目錄7/16/202410.1

排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的基本概念10.2

到達(dá)間隔與服務(wù)時(shí)間的分布10.3

生滅過程與系統(tǒng)狀態(tài)方程10.4

單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)模型10.5

多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型10.6

其他類型排隊(duì)模型10.7

排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化10.1排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的基本概念10.1排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的基本概念一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)可以抽象描述為：為了獲得服務(wù)的顧客到達(dá)服務(wù)設(shè)施前排隊(duì)，等候接受服務(wù)，服務(wù)完畢后就自行離開。要求得到服務(wù)的對(duì)象稱為顧客服務(wù)者稱為服務(wù)設(shè)施或服務(wù)臺(tái)顧客的到達(dá)和離開稱為排隊(duì)系統(tǒng)的輸入和輸出。顧客的總體稱為顧客源或輸入源。因此，任何一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)是一種輸入-輸出系統(tǒng)。7/16/202421服務(wù)系統(tǒng)系統(tǒng)類型 顧客 服務(wù)臺(tái)理發(fā)店 人 理發(fā)師銀行出納服務(wù) 人 出納ATM機(jī)服務(wù) 人 ATM機(jī)超市收銀臺(tái) 人 收銀員電影院售票窗口 人 售票員機(jī)場(chǎng)檢票處 人 航空公司代理人7/16/202422服務(wù)系統(tǒng)系統(tǒng)類型 顧客 服務(wù)臺(tái)公路收費(fèi)站 汽車 收費(fèi)員港口卸貨區(qū) 輪船 卸貨工人等待起飛的飛機(jī) 飛機(jī) 跑道航班服務(wù) 人 飛機(jī)出租車服務(wù) 人 出租車電梯服務(wù) 人 電梯停車場(chǎng) 汽車 停車空間急救車服務(wù) 人 急救車7/16/20242310.1.1排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的構(gòu)成事實(shí)上，任何一個(gè)排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)都是一種輸入-輸出系統(tǒng)。顧客的到達(dá)和離開稱為排隊(duì)系統(tǒng)的輸入和輸出。顧客的總體稱為顧客源或輸入源。顧客源等候隊(duì)列服務(wù)設(shè)施到達(dá)輸入輸出離開排隊(duì)系統(tǒng)7/16/202424排隊(duì)系統(tǒng)的三個(gè)基本組成部分：輸入過程(顧客按照怎樣的規(guī)律到達(dá))；排隊(duì)規(guī)則(顧客按照一定規(guī)則排隊(duì)等待服務(wù))；服務(wù)機(jī)構(gòu)(服務(wù)機(jī)構(gòu)的設(shè)置,服務(wù)臺(tái)的數(shù)量,服務(wù)的方式,服務(wù)時(shí)間分布等)10.1.1排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的構(gòu)成7/16/202425一、輸入ArrivalCharacteristics顧客源是有限集還是無限集（Sizeofthearrivalpopulation）工廠內(nèi)待修的機(jī)器數(shù)是有限集，售票處購票顧客源可認(rèn)為是無限集。顧客到達(dá)系統(tǒng)的方式是單個(gè)的，還是成批的（Behaviorofarrivals）如到達(dá)賓館服務(wù)臺(tái)住宿有散客，也有團(tuán)體相繼到達(dá)系統(tǒng)的時(shí)間間隔是確定性的還是隨機(jī)性的（Patternofarrivalatthesystem）如自動(dòng)裝配線上待裝配部件到達(dá)各工序的時(shí)間間隔是確定的。而多數(shù)顧客到達(dá)都是隨機(jī)的，隨機(jī)的服從某種概率分布：二項(xiàng)、負(fù)指數(shù)、愛爾朗分布等。7/16/202426到達(dá)過程(輸入過程)的內(nèi)容顧客總體數(shù)或顧客源數(shù)有限或無限顧客的到達(dá)類型單個(gè)或成批顧客的到達(dá)間隔時(shí)間間隔時(shí)間分布7/16/202427二、排隊(duì)規(guī)則QueueDiscipline顧客來到排隊(duì)系統(tǒng)后如何排隊(duì)等候服務(wù)的規(guī)則1、即時(shí)制（損失制）：當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，如果所有服務(wù)臺(tái)都已被占用，顧客可以隨即離開系統(tǒng)；如電話撥號(hào)后出現(xiàn)忙音，顧客可馬上掛上電話。2、等候制：當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)都已被占用，顧客就加入排隊(duì)隊(duì)列等候服務(wù)。排隊(duì)規(guī)則：FIFO/FCFS先到先服務(wù)，最常見LIFO：乘電梯的顧客是后進(jìn)先出SIRO隨機(jī)服務(wù)：從等待的顧客中隨機(jī)取一個(gè)進(jìn)行服務(wù)，人工電話交換優(yōu)先權(quán)服務(wù)：重病優(yōu)先、老年人優(yōu)先等7/16/202428二、排隊(duì)規(guī)則QueueDiscipline3、混合制：即時(shí)制和等候制相結(jié)合的一種排隊(duì)服務(wù)規(guī)則。隊(duì)列長(zhǎng)度有限制時(shí)：排隊(duì)等候的人數(shù)超過預(yù)定數(shù)量，后來的顧客就自動(dòng)離開。排隊(duì)時(shí)間有限制時(shí)：顧客排隊(duì)等候超過一定的時(shí)間就會(huì)自動(dòng)離開，不能再等；電子元器件庫存超過一定時(shí)期，就失效了7/16/202429三、服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)設(shè)施的結(jié)構(gòu)、服務(wù)方式、服務(wù)時(shí)間：按服務(wù)設(shè)施個(gè)數(shù)分，有一個(gè)或多個(gè)之分，有并聯(lián)和串聯(lián)之分單臺(tái)服務(wù)系統(tǒng)和多臺(tái)服務(wù)系統(tǒng)服務(wù)方式有單個(gè)服務(wù)和成批服務(wù)服務(wù)時(shí)間是確定和隨機(jī)的7/16/202430服務(wù)臺(tái)結(jié)構(gòu)等候隊(duì)列服務(wù)臺(tái)單服務(wù)臺(tái)等候隊(duì)列服務(wù)臺(tái)2服務(wù)臺(tái)1并列多臺(tái)等候隊(duì)列服務(wù)臺(tái)1串列多臺(tái)服務(wù)臺(tái)2等候隊(duì)列服務(wù)臺(tái)3服務(wù)臺(tái)1混列多臺(tái)服務(wù)臺(tái)4服務(wù)臺(tái)27/16/202431服務(wù)方式

服務(wù)的方式是對(duì)單個(gè)顧客進(jìn)行的，還是對(duì)成批顧客進(jìn)行的。公共汽車站臺(tái)等待的顧客是成批進(jìn)行服務(wù)的。7/16/202432服務(wù)時(shí)間對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間是確定的還是隨機(jī)的。自動(dòng)沖洗汽車的裝置對(duì)每輛汽車沖洗服務(wù)的時(shí)間是確定性的。但大多數(shù)情況下服務(wù)時(shí)間是隨機(jī)性的。對(duì)于隨機(jī)要知道它的概率分布，是定長(zhǎng)、負(fù)指數(shù)還是愛爾朗分布。Servicetimedistribution7/16/202433排隊(duì)結(jié)構(gòu)多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)領(lǐng)號(hào)34826101211579單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)入口7/16/202434通常，按排隊(duì)系統(tǒng)的主要特征來進(jìn)行排隊(duì)系統(tǒng)的分類。一般是以相繼顧客到達(dá)系統(tǒng)的間隔時(shí)間分布類型、服務(wù)時(shí)間的分布類型和服務(wù)臺(tái)數(shù)目為分類標(biāo)志。Kendall提出一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的分類方法，特征可以用六個(gè)參數(shù)表示，形式為：

X／Y／Z其中X––顧客到達(dá)的概率分布，可取M、D、Ek、G等；Y––服務(wù)時(shí)間的概率分布，可取M、D、Ek、G等；Z––服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)，取正整數(shù)；10.1.2排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的分類7/16/202435X、Y可有四種分布符號(hào)M、D、Ek、GM—負(fù)指數(shù)分布所描述的隨機(jī)現(xiàn)象對(duì)于過去的事件具有無記憶性或稱馬爾可夫性MarkovD—定長(zhǎng)分布，事件以不變的方式發(fā)生DeterministicEk—k階愛爾朗分布ErlangG—一般隨機(jī)分布General如M/M/1表示到達(dá)的間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時(shí)間也服從負(fù)指數(shù)分布的單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)模型M/D/2表示到達(dá)的間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時(shí)間為定長(zhǎng)分布的雙服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)模型10.1.2排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的分類7/16/2024361971年又將Kendall符號(hào)擴(kuò)展為：

X／Y／Z/A／B／C其中：A––排隊(duì)系統(tǒng)的最大容量，可取正整數(shù)N或

；B––顧客源的最大容量，可取正整數(shù)m或

；C––排隊(duì)規(guī)則，可取FCFS、LCFS等。特別約定，如略去后三項(xiàng)，則是指

X／Y／Z/

／

／FCFS因?yàn)楸菊n程只介紹FCFS,所以略去最后一項(xiàng)10.1.2排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的分類7/16/20243710.1.2排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的分類例

M/M/1/

/

/FCFS表示：顧客到達(dá)的時(shí)間間隔是負(fù)指數(shù)分布服務(wù)時(shí)間是負(fù)指數(shù)分布一個(gè)服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)和顧客源的容量都是無限實(shí)行先到先服務(wù)的一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)

7/16/202438一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)開始運(yùn)行時(shí),系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)在很大程度上取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)和運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間。經(jīng)過一段時(shí)間以后，系統(tǒng)的狀態(tài)將獨(dú)立于初始狀態(tài)和經(jīng)歷時(shí)間，這時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。排隊(duì)系統(tǒng)主要研究穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，工作狀況與時(shí)刻t無關(guān)。10.1.3排隊(duì)系統(tǒng)的相關(guān)術(shù)語7/16/202439主要名詞術(shù)語平均到達(dá)率

n

：當(dāng)系統(tǒng)中有n個(gè)顧客時(shí)，新來顧客的平均到達(dá)率（單位時(shí)間內(nèi)顧客的到達(dá)數(shù)）。當(dāng)對(duì)所有n值

n為常數(shù)時(shí)，可用代替n1/

為相鄰兩顧客到達(dá)系統(tǒng)的平均間隔時(shí)間。平均服務(wù)率

n

：當(dāng)系統(tǒng)中有n個(gè)顧客時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)被服務(wù)完畢后離開系統(tǒng)的平均顧客數(shù)。當(dāng)對(duì)所有n值，

n為常數(shù)時(shí)，可用代替n1/

為每個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間。c—系統(tǒng)中并列服務(wù)臺(tái)數(shù)目。7/16/202440主要名詞術(shù)語N(t)

在時(shí)刻t排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的顧客數(shù)，即系統(tǒng)在時(shí)刻t的瞬時(shí)狀態(tài)。Pn(t)

在t時(shí)刻系統(tǒng)中恰好有n個(gè)顧客的概率主要分析系統(tǒng)平穩(wěn)分布,即當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)時(shí)處于狀態(tài)n的概率,記為Pn7/16/202441主要系統(tǒng)性能指標(biāo)平均逗留時(shí)間Ws

：進(jìn)入系統(tǒng)的顧客逗留時(shí)間的平均值，包括接受服務(wù)的時(shí)間。平均等待時(shí)間Wq

：進(jìn)入系統(tǒng)的顧客等待時(shí)間的平均值。服務(wù)機(jī)構(gòu)工作強(qiáng)度

：服務(wù)機(jī)構(gòu)累計(jì)的工作時(shí)間占全部時(shí)間的比例，即服務(wù)強(qiáng)度

平均顧客數(shù)Ls

：一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的顧客平均數(shù)，包括正在接受服務(wù)的顧客。平均隊(duì)長(zhǎng)Lq

：系統(tǒng)中等待服務(wù)的顧客平均數(shù)。7/16/202442常用的記號(hào)c—服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)n––系統(tǒng)中的顧客數(shù),即系統(tǒng)狀態(tài)

––平均到達(dá)率，即單位時(shí)間內(nèi)平均到達(dá)的顧客數(shù)

––平均服務(wù)率，即單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)完畢的顧客數(shù)Pn(t)––時(shí)刻t系統(tǒng)狀態(tài)n的概率Pn––系統(tǒng)中的顧客數(shù)n（系統(tǒng)狀態(tài)n)的穩(wěn)態(tài)概率M––顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布D––顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從定長(zhǎng)分布Ek––顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從k階Erlang分布G—顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從一般分布7/16/20244310.2到達(dá)間隔與服務(wù)時(shí)間的分布組成一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的四要素輸入\輸出\排隊(duì)服務(wù)規(guī)則\服務(wù)機(jī)構(gòu)顧客的輸入和輸出過程一般是隨機(jī)的研究較多且結(jié)果較好的排隊(duì)系統(tǒng)是：顧客的輸入過程服從泊松分布，而服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布的排隊(duì)系統(tǒng)若顧客輸入過程服從泊松分布，則顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。10.2到達(dá)間隔與服務(wù)時(shí)間的分布7/16/202445定義：滿足以下條件的輸入流稱為Poisson流（最簡(jiǎn)單流、Poisson過程）1）無后效性：不相交的時(shí)間區(qū)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)互相獨(dú)立。2）平穩(wěn)性：對(duì)充分小的

t，在時(shí)間區(qū)間[t,t+

t)內(nèi)到達(dá)1個(gè)顧客的概率與t無關(guān)，只與

t有關(guān)，即：其中：l是一個(gè)大于零的常數(shù)，表示單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)一個(gè)顧客的概率3）守序性：設(shè)在[t,t+

t）內(nèi)到達(dá)多于一個(gè)顧客的概率為極小o(

t)。即 10.2.1Poisson流7/16/202446實(shí)際情況是否符合三條性質(zhì)到達(dá)工廠機(jī)修車間的要維修的機(jī)器情況分析：因?yàn)槊颗_(tái)機(jī)器在各個(gè)時(shí)刻處的狀態(tài)大致一樣，所以在相等時(shí)間區(qū)間內(nèi)各臺(tái)機(jī)器損壞的概率大致相同，即要求維修的機(jī)器的流具有平穩(wěn)性由于一臺(tái)機(jī)器的故障不會(huì)引起另一臺(tái)機(jī)器的故障，而對(duì)同一臺(tái)機(jī)器，這段時(shí)間內(nèi)損壞的次數(shù)不影響到以后損壞次數(shù)多少，這表明具有無后效性由于每臺(tái)機(jī)器損壞概率很小，在足夠小的時(shí)間區(qū)間內(nèi)發(fā)生兩臺(tái)及以上機(jī)器損壞的概率幾乎為0，這就符合普通性。因此對(duì)到達(dá)機(jī)修車間的要維修的機(jī)器數(shù)可以認(rèn)為是最簡(jiǎn)單流,即poisson流。7/16/202447Poisson流與Poisson分布定理1對(duì)于一個(gè)參數(shù)為

的Poisson流，在[0，t]內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客的概率為

即服從以

為參數(shù)的Poisson分布。

7/16/202448PoissonDistributionsforArrivalTimesProbabilityProbability=2=4

：?jiǎn)挝粫r(shí)間顧客的平均到達(dá)率7/16/202449Poisson流與負(fù)指數(shù)分布間的關(guān)系定理2

在排隊(duì)系統(tǒng)中，如果單位時(shí)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)服從以

為參數(shù)的Poisson分布，則顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔T服從以

為參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布。

l=0.41/

為平均到達(dá)間隔時(shí)間（expectedinterarrivaltime)7/16/202450負(fù)指數(shù)分布

NegativeExponentialDistribution分布函數(shù)7/16/202451負(fù)指數(shù)分布——無后效性無后效性表示T顧客到達(dá)的時(shí)間間隔已經(jīng)過了s后，再等t的時(shí)間與s無關(guān)。7/16/20245210.2.2服務(wù)時(shí)間的分布1）負(fù)指數(shù)分布在排隊(duì)系統(tǒng)中，一般假設(shè)服務(wù)時(shí)間（servicetime)服從參數(shù)為m的負(fù)指數(shù)分布：1/m為平均服務(wù)時(shí)間（expectedservicetime)7/16/202453平均服務(wù)時(shí)間Meanservicetime=1/

分布函數(shù)10.2.2服務(wù)時(shí)間的分布7/16/202454服務(wù)時(shí)間負(fù)指數(shù)分布的性質(zhì)假如服務(wù)設(shè)施對(duì)每個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，則對(duì)每個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間為1/m當(dāng)服務(wù)設(shè)施對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間t為參數(shù)m

的負(fù)指數(shù)分布時(shí)，則有在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)，沒有顧客離去的概率為1-m

t在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)，恰有一個(gè)顧客離去的概率為m

t如果

t足夠小，在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)有多于兩個(gè)以上顧客離去的概率趨于07/16/202455服務(wù)時(shí)間負(fù)指數(shù)分布的性質(zhì)若按依次到達(dá)的間隔時(shí)間統(tǒng)計(jì)，顧客流服從負(fù)指數(shù)分布，則對(duì)同一顧客流若按單位時(shí)間到達(dá)的數(shù)量統(tǒng)計(jì)，它服從泊松分布。泊松分布和負(fù)指數(shù)分布是對(duì)同一顧客流按不同方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)時(shí)得到的兩種不同分布。7/16/2024562）k階Erlang分布愛爾朗分布比負(fù)指數(shù)分布具有更廣泛的適應(yīng)性，k階愛爾朗分布（Ek)的概率密度函數(shù)為：

10.2.2服務(wù)時(shí)間的分布7/16/202457愛爾朗分布的均值和方差是由此可得愛爾朗分布的階數(shù)：10.2.2服務(wù)時(shí)間的分布7/16/20245810.2.2服務(wù)時(shí)間的分布m=1k=1k=2k=4k=87/16/202459K個(gè)相互獨(dú)立的且具有相同參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)變量的和，其分布服從k階Erlang分布。例如一臺(tái)自動(dòng)機(jī)床上依次利用三把刀具對(duì)一個(gè)工件進(jìn)行加工，若每把刀具對(duì)該工件的加工時(shí)間均為參數(shù)相同的負(fù)指數(shù)分布，則該工件在自動(dòng)機(jī)床上總的加工時(shí)間服從3階Erlang分布10.2.2服務(wù)時(shí)間的分布7/16/202460定理3設(shè)v1，v2，…，vk是k個(gè)互相獨(dú)立的，具有相同參數(shù)m的負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量

Ek=v1+v2+…+vk服從k階Erlang分布，Ek的密度函數(shù)為10.2.2服務(wù)時(shí)間的分布7/16/202461均值、方差和階數(shù)總服務(wù)時(shí)間服從愛爾朗分布，其均值和方差是由此可得愛爾朗分布的階數(shù)：每個(gè)服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)時(shí)間是：7/16/20246210.3生滅過程10.3生滅過程排隊(duì)系統(tǒng)—隨機(jī)聚散服務(wù)系統(tǒng)顧客到達(dá)是“生”，顧客離開是“滅”7/16/202464生滅過程

Birth-deathprocessN(t)是系統(tǒng)t時(shí)刻的狀態(tài)（顧客數(shù)），則{N(t),t>=0}就構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過程，若用“生”表示一個(gè)顧客的到達(dá)，“滅”代表一個(gè)顧客過程的離去，則對(duì)許多排隊(duì)過程來說，{N(t),t>=0}也是一類特殊的隨機(jī)過程——生滅過程7/16/202465定義：設(shè){N(t),t>=0}是一個(gè)隨機(jī)過程，如果其概率分布滿足有如下性質(zhì)：（1）給定N(t)=n,到下一個(gè)“生”（顧客到達(dá)）的間隔時(shí)間服從參數(shù)為ln的負(fù)指數(shù)分布;（2）給定N(t)=n,到下一個(gè)“滅”（顧客離去）的間隔時(shí)間服從參數(shù)為mn的負(fù)指數(shù)分布;（3）同一時(shí)刻只能到達(dá)一個(gè)或離去一個(gè)顧客；則稱{N(t),t>=0}是生滅過程生滅過程

Birth-deathprocess7/16/202466當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為λn

的負(fù)指數(shù)分布時(shí)，則有:在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)，沒有顧客到達(dá)的概率為在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)，恰有一個(gè)顧客到達(dá)的概率為如果

t足夠小，在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)有多于兩個(gè)以上顧客到達(dá)的概率趨于07/16/202467生滅過程

Birth-deathprocess當(dāng)服務(wù)設(shè)施對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布時(shí)，則有:在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)，沒有顧客離去的概率為在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)，恰有一個(gè)顧客離去的概率為如果

t足夠小，在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)有多于兩個(gè)以上顧客離去的概率趨于07/16/202468生滅過程

Birth-deathprocessnnn+1n-1nPn(t)Pn-1(t)Pn+1(t)Pn(t)t時(shí)刻t+

t時(shí)刻無到達(dá)，無離開無到達(dá)，離開一個(gè)到達(dá)一個(gè)，無離開到達(dá)一個(gè)，離開一個(gè)假設(shè)在t+

t時(shí)刻系統(tǒng)中顧客數(shù)為n的概率Pn(t+

t)7/16/202469生滅過程

Birth-deathprocess7/16/202470生滅過程

Birth-deathprocess系統(tǒng)的過渡狀態(tài)與穩(wěn)定狀態(tài)過渡穩(wěn)定7/16/202471生滅過程的穩(wěn)定狀態(tài)方程生滅過程的瞬時(shí)狀態(tài)一般很難求得，但可求得穩(wěn)定狀態(tài)分布7/16/202472生滅過程的穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖對(duì)于穩(wěn)定的生滅狀態(tài)，從平均意義上說有：“流入速率=流出速率”穩(wěn)定的生滅過程可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖表示7/16/202473生滅過程的穩(wěn)態(tài)方程基本原理系統(tǒng)任意狀態(tài)n達(dá)到穩(wěn)態(tài)平衡的條件是：產(chǎn)生該狀態(tài)的平均速率等于該狀態(tài)轉(zhuǎn)變成其他狀態(tài)的平均速率例如，對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)n=0的情況，產(chǎn)生和破壞該狀態(tài)的可能性有兩種情況。如后圖所示。7/16/202474n=0狀態(tài)的產(chǎn)生和破壞7/16/202475n=1狀態(tài)的產(chǎn)生和破壞7/16/202476n=2狀態(tài)的產(chǎn)生和破壞7/16/202477n-1狀態(tài)的產(chǎn)生和破壞7/16/202478任意狀態(tài)n的產(chǎn)生和破壞7/16/202479λ012n-1nn+17/16/202480生滅過程Birth-deathprocess生滅過程的基本公式7/16/202481生滅過程的狀態(tài)概率因?yàn)樗约吹?/16/202482標(biāo)準(zhǔn)的排隊(duì)過程是參數(shù)不隨狀態(tài)而變的特殊的生滅過程7/16/202483生滅過程

Birth-deathprocess10.4單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)模型輸入過程為泊松流，服務(wù)時(shí)間基本服從負(fù)指數(shù)分布的排隊(duì)系統(tǒng)10.4.1標(biāo)準(zhǔn)M/M/1/∞/∞10.4.2有限隊(duì)列模型M/M/1/N/

/10.4.3顧客為有限源系統(tǒng)M/M/1/∞/m10.4單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)模型7/16/20248510.4.1標(biāo)準(zhǔn)排隊(duì)模型[M/M/1/

/

/FCFS][M/M/1/

/

/FCFS]顧客到達(dá)的時(shí)間間隔是負(fù)指數(shù)分布服務(wù)時(shí)間是負(fù)指數(shù)分布一個(gè)服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)和顧客源的容量都是無限實(shí)行先到先服務(wù)的一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)7/16/202486M/M/1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移分析012n-1nn+17/16/202487M/M/1排隊(duì)模型標(biāo)準(zhǔn)的排隊(duì)過程是參數(shù)不隨狀態(tài)而變的特殊的生滅過程7/16/202488得到

令

稱

為服務(wù)強(qiáng)度，則得由M/M/1排隊(duì)模型7/16/202489例10.1高速公路入口收費(fèi)處設(shè)有一個(gè)收費(fèi)通道，汽車到達(dá)服從Poisson分布，平均到達(dá)速率為100輛／小時(shí)，收費(fèi)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均收費(fèi)時(shí)間為15秒／輛。求1、收費(fèi)處空閑的概率；2、收費(fèi)處忙的概率；3、系統(tǒng)中分別有1，2，3輛車的概率。7/16/202490M/M/1排隊(duì)模型根據(jù)題意,

=100輛/小時(shí),1/

=15秒=1/240（小時(shí)/輛）,即

＝240（輛/小時(shí)）。因此，

=

/

=100/240=5/12。系統(tǒng)空閑的概率為：

P0=1-

=1-(5/12)=7/12=0.583系統(tǒng)忙的概率為：

1-P0=1-(1-

)=

=5/12=0.417系統(tǒng)中有1輛車的概率為：

P1=

(1-

)=0.417×0.583=0.243系統(tǒng)中有2輛車的概率為：

P2=

2(1-

)=0.4172×0.583=0.101系統(tǒng)中有3輛車的概率為：

P3=

3(1-

)=0.4173×0.583=0.04217/16/202491M/M/1排隊(duì)模型解：系統(tǒng)績(jī)效度量

系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)LsExpectednumberofcustomersinsystem

平均等待顧客個(gè)數(shù)Lq（排隊(duì)長(zhǎng)）

Expectedqueuelength(excludecustomersbeingserved)

顧客平均逗留時(shí)間Ws

Waitingtimeinsystem

顧客平均（排隊(duì)）等待時(shí)間WqWaitingtimeinqueue(excludeservicetime)7/16/202492M/M/1/

/

/FCFS的系統(tǒng)指標(biāo)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls

隊(duì)列中的平均顧客數(shù)Lq7/16/202493顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間Ts服從參數(shù)為m-l的負(fù)指數(shù)分布7/16/202494顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間Ws

顧客在隊(duì)列中的平均逗留時(shí)間Wq

顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間7/16/202495JohnD.C.Little公式7/16/202496理發(fā)店空閑的概率店內(nèi)有3個(gè)顧客的概率店內(nèi)至少有一個(gè)顧客的概率店內(nèi)顧客的平均數(shù)，等待服務(wù)顧客的平均數(shù)顧客在店內(nèi)的平均逗留時(shí)間和平均等待時(shí)間必須在店內(nèi)消耗15分鐘以上的概率例10.2某理發(fā)店只有一名理發(fā)師，來理發(fā)的顧客按泊松分布到達(dá)，平均每小時(shí)4人，理發(fā)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要6分鐘，求7/16/202497M/M/1排隊(duì)模型(3)P(n≥1)=1?P(n<1)=1?P0=0.4(4)Ls=r/(1?r)=0.4/(1?0.4)=0.667人

Lq=Ls?r=0.667-0.4=0.227解：此為M/M/1系統(tǒng)，已知l=4/60=1/15人/分

m=1/6人/分，r=l/m=(1/15)/(1/6)=0.4(1)P0=1?r=1=0.4=0.6(2)P3=(1?r)r3=0.6×0.43=0.03847/16/202498M/M/1排隊(duì)模型

例10.3高速公路入口收費(fèi)處設(shè)有一個(gè)收費(fèi)通道，汽車到達(dá)服從Poisson分布，平均到達(dá)速率為200輛/小時(shí)，收費(fèi)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均收費(fèi)時(shí)間為15秒/輛。求Ls、Lq、Ws和Wq。7/16/202499M/M/1排隊(duì)模型解：根據(jù)題意，

=200輛/小時(shí)，

=240輛/小時(shí)，

=

/

=5/6。7/16/2024100M/M/1排隊(duì)模型當(dāng)隊(duì)列的容量從無限值變?yōu)橛邢拗礜時(shí)，[M/M/1/

/

/FCFS]就轉(zhuǎn)化成為[M/M/1/N/

/FCFS]

10.4.2有限隊(duì)列模型M/M/1/N/

/FCFS7/16/2024101系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖012N-1N7/16/2024102系統(tǒng)的狀態(tài)概率平衡方程對(duì)于狀態(tài)0：

0P0=

1P1

… …對(duì)于狀態(tài)n：

n-1Pn-1+

n+1Pn+1=(

n+

n)Pn0<n<N… …對(duì)于狀態(tài)N：

N-1PN-1=

NPN7/16/2024103系統(tǒng)參數(shù)7/16/2024104系統(tǒng)狀態(tài)概率PN稱為顧客損失率7/16/2024105系統(tǒng)的狀態(tài)概率由得到

7/16/2024106系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)當(dāng)r=1時(shí)的情形，此時(shí)由得：7/16/2024107系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)對(duì)于

1有7/16/2024108有效到達(dá)率7/16/2024109Little公式7/16/2024110例10.4

一個(gè)單人理發(fā)店，除理發(fā)椅外，還有4把椅子可供顧客等候。顧客到達(dá)發(fā)現(xiàn)沒有座位空閑，就不再等待而離去。顧客到達(dá)的平均速率為4人/小時(shí)，理發(fā)的平均時(shí)間為10分鐘/人。顧客到達(dá)服從Poisson流，理發(fā)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。求：1、顧客到達(dá)不用等待就可理發(fā)的概率；2、理發(fā)店里的平均顧客數(shù)以及等待理發(fā)的平均顧客數(shù)；3、顧客來店理發(fā)一次平均花費(fèi)的時(shí)間及平均等待的時(shí)間；4、顧客到達(dá)后因客滿而離去的概率顧客損失率；5、增加一張椅子可以減少的顧客損失率。7/16/202411110.4.2有限隊(duì)列模型M/M/1/N/

/FCFS解：這是一個(gè)[M/M/1/N/

/FCFS]系統(tǒng)，其中N=4+1=5，

=4人/小時(shí)，

=6人/小時(shí)，

=2/3。

7/16/202411210.4.2有限隊(duì)列模型M/M/1/N/

/FCFS因客滿而離去的概率為0.00487/16/202411310.4.2有限隊(duì)列模型M/M/1/N/

/FCFS當(dāng)N=6時(shí)

P5-P6=0.0480-0.0311=0.0169=1.69%即增加一張椅子可以減少顧客損失率1.69%7/16/202411410.4.2有限隊(duì)列模型M/M/1/N/

/FCFS設(shè)顧客總數(shù)為m,當(dāng)顧客需要服務(wù)時(shí)，就進(jìn)入隊(duì)列等待；服務(wù)完畢后，重新回到顧客源中,如此循環(huán)往復(fù)。。。服務(wù)臺(tái)...顧客源需要服務(wù)服務(wù)完畢隊(duì)列10.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型7/16/2024115關(guān)于顧客的平均到達(dá)率，在無限源的情形下是按全體顧客來考慮的，而在有限源的情形下，必須按照每個(gè)顧客來考慮，l即為每一顧客單位時(shí)間內(nèi)請(qǐng)求服務(wù)的平均次數(shù)。10.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型7/16/2024116分析假定每一個(gè)顧客在單位時(shí)間內(nèi)需要接受服務(wù)的平均次數(shù)是相同的，設(shè)為λ

。當(dāng)正在等待及正在接受服務(wù)的顧客數(shù)為n時(shí)，則在單位時(shí)間內(nèi)要求接受服務(wù)的平均顧客數(shù)為：

λn=λ(m-n)01nm7/16/2024117狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程λ0P0=μP1 ……[λn+μ]Pn=μPn+1+λn-1Pn-1

(n=1，2，…，m-1) ……μPm=λm-1Pm-1

(n=1，2，…，m) 7/16/20241187/16/2024119狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程有效到達(dá)率λn=λ(m-n)n=1,2,…,m7/16/2024120系統(tǒng)績(jī)效指標(biāo)7/16/2024121例10.5某車間有5臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器的連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均連續(xù)運(yùn)行時(shí)間15分鐘。有一個(gè)修理工，每次修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每次12分鐘。求:(1)修理工空閑的概率；(2)五臺(tái)機(jī)器都出故障的概率；(3)出故障的平均臺(tái)數(shù)；(4)平均停工時(shí)間；(5)平均等待修理時(shí)間；(6)評(píng)價(jià)這個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)行情況。7/16/202412210.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型解：根據(jù)題意，m=5，λ=1/15，μ=1/12，ρ=λ/μ=0.8

7/16/202412310.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型（7）系統(tǒng)絕對(duì)通過能力（工人的維修能力）A=le=l(m-Ls)=m(1-P0)=0.083

每小時(shí)維修0.083*60=4.96（臺(tái)）總體看來，該維修系統(tǒng)較繁忙，機(jī)器等待時(shí)間過長(zhǎng)。7/16/202412410.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型10.5多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型標(biāo)準(zhǔn)的[M/M/c/∞/∞/FCFS]模型系統(tǒng)容量有限的[M/M/c/N/∞/FCFS]模型有限顧客源的[M/M/c/∞/m/FCFS]模型

10.5多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型7/16/2024126服務(wù)臺(tái)服務(wù)臺(tái)服務(wù)臺(tái)顧客到達(dá)顧客離去顧客離去顧客離去隊(duì)列顧客到達(dá)后，進(jìn)入隊(duì)列尾端；當(dāng)某一個(gè)服務(wù)臺(tái)空閑時(shí)，隊(duì)列中的第一個(gè)顧客即到該服務(wù)臺(tái)接收服務(wù)；服務(wù)完畢后隨即離去。各服務(wù)臺(tái)互相獨(dú)立且服務(wù)速率相同，即μ1=μ2=…=μc

10.5.1M/M/c/∞/∞/FCFS模型7/16/2024127分析系統(tǒng)的服務(wù)速率與系統(tǒng)中的顧客數(shù)有關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)中的顧客數(shù)k不大于服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)，即1≤k≤c時(shí)，系統(tǒng)中的顧客全部在服務(wù)臺(tái)中，這時(shí)系統(tǒng)的服務(wù)速率為kμ；當(dāng)系統(tǒng)中的顧客數(shù)k＞c時(shí)，服務(wù)臺(tái)中正在接受服務(wù)的顧客數(shù)仍為c個(gè)，其余顧客在隊(duì)列中等待服務(wù)，這時(shí)系統(tǒng)的服務(wù)速率為cμ。

則當(dāng)ρ＜1時(shí)系統(tǒng)才不會(huì)排成無限的隊(duì)列

7/16/2024128狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖與狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程對(duì)狀態(tài)0: λP0=μP1

對(duì)狀態(tài)1: λP0+2μP2=(λ+μ)P1 …………對(duì)狀態(tài)c： λPc-1+cμPc+1=(λ+cμ)Pc …………對(duì)狀態(tài)n λPn-1+cμPn+1=(λ+cμ)Pn ………01cn7/16/2024129狀態(tài)概率7/16/2024130運(yùn)行指標(biāo)7/16/2024131例10.6某售票處有三個(gè)窗口，顧客到達(dá)服從Poisson流，到達(dá)速率為0.9人／分，售票時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，每個(gè)窗口的平均售票速率為0.4人／分。顧客到達(dá)后排成一隊(duì)，依次到空閑窗口購票。求：(1)所有窗口都空閑的概率；(2)平均隊(duì)長(zhǎng)；(3)平均等待時(shí)間及逗留時(shí)間；(4)顧客到達(dá)后必須等待的概率。7/16/202413210.5.1M/M/c/∞/∞/FCFS模型解：λ/μ=2.25，ρ=λ/cμ=0.75(1)所有窗口都空閑的概率，即求P0的值

(2)平均隊(duì)長(zhǎng)，即求Ls的值，必須先求Lq

7/16/202413310.5.1M/M/c/∞/∞/FCFS模型(3)平均等待時(shí)間和平均逗留時(shí)間，即求Wq和Ws和的值

(4)顧客到達(dá)后必須等待，即n≥37/16/202413410.5.1M/M/c/∞/∞/FCFS模型M/M/C型VSC個(gè)M/M/1型如果顧客到達(dá)后在每個(gè)窗口各排一隊(duì)，且進(jìn)入隊(duì)列后不可更換，形成3個(gè)隊(duì)列，在上例中，每個(gè)隊(duì)列的平均到達(dá)率為：7/16/2024135M/M/1系統(tǒng)的指標(biāo)λ=0.3，μ=0.4，ρ=λ/μ=0.75P0=1-ρ=0.25P(n>=1)=1-P0=0.75Ls=λ/(μ-λ)=3Lq=Ls-ρ=3-0.75=2.25Ws=Ls/λ=10分Wq=Ws-1/μ=7.5分7/16/2024136指標(biāo)模型M/M/3M/M/1服務(wù)臺(tái)空閑的概率P00.07480.25(每個(gè)子系統(tǒng)）顧客必須等待的概率0.570.75平均隊(duì)列長(zhǎng)（等待顧客數(shù)）Lq1.702.25(每個(gè)子系統(tǒng)）平均隊(duì)長(zhǎng)（顧客數(shù)）Ls3.959.00（整個(gè)系統(tǒng)）平均逗留時(shí)間Ws4.39分鐘10分鐘平均等待時(shí)間Wq1.89分鐘7.5分鐘由此可見，單隊(duì)比三隊(duì)有顯著的優(yōu)越性。系統(tǒng)指標(biāo)對(duì)比結(jié)果7/16/2024137離開服務(wù)臺(tái)服務(wù)臺(tái)服務(wù)臺(tái)顧客到達(dá)顧客離去顧客離去顧客離去隊(duì)列10.5.2M/M/c/N/∞/FCFS模型7/16/2024