三年（2022–2024）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國）專題07 三角函數(shù)（解析版）

專題07三角函數(shù)考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢考點(diǎn)1：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、奇偶性2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題2023年北京高考數(shù)學(xué)真題本節(jié)命題趨勢仍是突出以三角函數(shù)的圖像、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、最值等重點(diǎn)內(nèi)容展開，并結(jié)合三角公式、化簡求值、平面向量、解三角形等內(nèi)容綜合考查，因此復(fù)習(xí)時要注重三角知識的工具性，以及三角知識的應(yīng)用意識．考點(diǎn)2：值域與最值問題2024年北京高考數(shù)學(xué)真題2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題2024年天津高考數(shù)學(xué)真題考點(diǎn)3：伸縮變換問題2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題考點(diǎn)4：求解析式問題2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2023年天津高考數(shù)學(xué)真題考點(diǎn)5：三角恒等變換2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題2023年北京高考數(shù)學(xué)真題2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題考點(diǎn)6：與的取值與范圍問題2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題2024年北京高考數(shù)學(xué)真題2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題考點(diǎn)7：弧長、面積公式2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題考點(diǎn)1：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、奇偶性1．（多選題）（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個極值點(diǎn)C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【解析】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對C，當(dāng)時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．2．（多選題）（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（

）A．與有相同的零點(diǎn) B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸【答案】BC【解析】A選項，令，解得，即為零點(diǎn)，令，解得，即為零點(diǎn)，顯然零點(diǎn)不同，A選項錯誤；B選項，顯然，B選項正確；C選項，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項正確；D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對稱軸滿足，的對稱軸滿足，顯然圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.故選：BC3．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：①的最小正周期為；②在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以的最小正周期為，①不正確；令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．故選：A．4．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】因為.對于A選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，A錯；對于B選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，B錯；對于C選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，C對；對于D選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，D錯.故選：C.5．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A6．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當(dāng)時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.7．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對A，，周期，故A正確；對B，，周期，故B錯誤；對于選項C，，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯誤；對于選項D，，周期，故D錯誤，故選：A．8．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)．(1)若，求的值．(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【解析】（1）因為所以，因為，所以.（2）因為，所以，所以的最大值為，最小值為.若選條件①：因為的最大值為，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；若選條件②：因為在上單調(diào)遞增，且，所以,所以,,所以，又因為，所以，所以，所以，因為，所以.所以，；若選條件③：因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得最小值，即.以下與條件②相同．考點(diǎn)2：值域與最值問題9．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱.若，則的最大值為．【答案】/【解析】由題意，從而，因為，所以的取值范圍是，的取值范圍是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最大值，且最大值為.故答案為：.10．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）函數(shù)在上的最大值是．【答案】2【解析】，當(dāng)時，，當(dāng)時，即時，.故答案為：211．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的最小正周期為．則在的最小值是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】，由得，即，當(dāng)時，，畫出圖象，如下圖，由圖可知，在上遞減，所以，當(dāng)時，故選：A考點(diǎn)3：伸縮變換問題12．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點(diǎn)，作出與的部分大致圖像如下，考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；所以由圖可知，與的交點(diǎn)個數(shù)為.故選：C.13．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】因為，所以把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象．故選：D.14．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）當(dāng)時，曲線與的交點(diǎn)個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】因為函數(shù)的的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點(diǎn).故選：C考點(diǎn)4：求解析式問題15．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點(diǎn)，若，則．

【答案】【解析】設(shè)，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因為，所以，即，．所以，所以或，又因為，所以，．故答案為：．16．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且的一個周期為4，則的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：A選項中，B選項中，C選項中，D選項中，排除選項CD，對于A選項，當(dāng)時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一個對稱中心，排除選項A，對于B選項，當(dāng)時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一條對稱軸，故選：B.考點(diǎn)5：三角恒等變換17．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.【答案】【解析】法一：由題意得，因為，，則，，又因為，則，，則，則，聯(lián)立，解得.法二：因為為第一象限角，為第三象限角，則,，，則故答案為：.18．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）若，則，．【答案】【解析】[方法一]：利用輔助角公式處理∵，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則.故答案為：；.[方法二]：直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程∵，∴，即，又，將代入得，解得，則.故答案為：；.19．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，而，因此，則，所以.故選：B20．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，而為銳角，解得：．故選：D．21．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，，所以，故選：B.22．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.23．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，而，所以，故即，從而，故，故選：A.24．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）若函數(shù)的一個零點(diǎn)為，則；．【答案】1【解析】∵，∴∴故答案為：1，25．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為，．【答案】【解析】因為在上單調(diào)遞增，若，則，取，則，即，令，則，因為，則，即，則.不妨取，即滿足題意.故答案為：.26．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）若，則．【答案】【解析】因為，則，又因為，則，且，解得或（舍去），所以.故答案為：.考點(diǎn)6：與的取值與范圍問題27．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【解析】因為，所以，令，則有3個根，令，則有3個根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.28．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】因為，（，）所以最小正周期，因為，又，所以，即，又為的零點(diǎn)，所以，解得，因為，所以當(dāng)時；故答案為：29．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù).已知，，且的最小值為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意可知：為的最小值點(diǎn)，為的最大值點(diǎn)，則，即，且，所以.故選：B.30．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，解得，又，故當(dāng)時，的最小值為.故選：C.31．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案