高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）不等關(guān)系與不等式

第一節(jié)不等關(guān)系與不等式[知識(shí)能否憶起]1．實(shí)數(shù)大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.2．不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對(duì)稱性a>b?b<a?傳遞性a>b，b>c?a>c?可加性a>b?a＋c>b＋c?可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bcc的符號(hào)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d?同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd?可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正可開(kāi)方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)[小題能否全取]1．(教材習(xí)題改編)下列命題正確的是()A．若ac＞bc?a＞b B．若a2＞b2?a＞bC．若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)?a＜b D．若eq\r(a)＜eq\r(b)?a＜b答案：D2．若x＋y>0，a<0，ay>0，則x－y的值()A．大于0 B．等于0C．小于0 D．不確定解析：選A由a<0，ay>0知y<0，又x＋y>0，所以x>0.故x－y>0.3．已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，且c>d，則“a>b”是“a－c>b－d”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B若a－c>b－d，c>d，則a>b.但c>d，a>b?/a－c>b－d.如a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－3時(shí)，a－c<b－d.4.eq\f(1,\r(2)－1)________eq\r(3)＋1(填“>”或“<”)．解析：eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1＜eq\r(3)＋1.答案：<5．已知a，b，c∈R，有以下命題：①若a>b，則ac2>bc2；②若ac2>bc2，則a>b；③若a>b，則a·2c>b·2其中正確的是____________(請(qǐng)把正確命題的序號(hào)都填上)．解析：①若c＝0則命題不成立．②正確．③中由2c答案：②③1.使用不等式性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題：在使用不等式時(shí)，一定要搞清它們成立的前提條件．不可強(qiáng)化或弱化成立的條件．如“同向不等式”才可相加，“同向且兩邊同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c的符號(hào)”等也需要注意．2．作差法是比較兩數(shù)(式)大小的常用方法，也是證明不等式的基本方法．要注意強(qiáng)化化歸意識(shí)，同時(shí)注意函數(shù)性質(zhì)在比較大小中的作用．比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小典題導(dǎo)入[例1]已知等比數(shù)列{an}中，a1＞0，q＞0，前n項(xiàng)和為Sn，試比較eq\f(S3,a3)與eq\f(S5,a5)的大?。甗自主解答]當(dāng)q＝1時(shí)，eq\f(S3,a3)＝3，eq\f(S5,a5)＝5，所以eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5)；當(dāng)q＞0且q≠1時(shí)，eq\f(S3,a3)－eq\f(S5,a5)＝eq\f(a11－q3,a1q21－q)－eq\f(a11－q5,a1q41－q)＝eq\f(q21－q3－1－q5,q41－q)＝eq\f(－q－1,q4)＜0，所以eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5).綜上可知eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5).若本例中“q＞0”改為“q＜0”，試比較它們的大?。猓河衫}解法知當(dāng)q≠1時(shí)，eq\f(S3,a3)－eq\f(S5,a5)＝eq\f(－q－1,q4).當(dāng)－1＜q＜0時(shí)，eq\f(S3,a3)－eq\f(S5,a5)＜0，即eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5)；當(dāng)q＝－1時(shí)，eq\f(S3,a3)－eq\f(S5,a5)＝0,即eq\f(S3,a3)＝eq\f(S5,a5)；當(dāng)q＜－1時(shí)，eq\f(S3,a3)－eq\f(S5,a5)＞0，即eq\f(S3,a3)＞eq\f(S5,a5).由題悟法比較大小的常用方法(1)作差法：一般步驟是：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步驟是：①作商；②變形；③判斷商與1的大小；④結(jié)論．(3)特值法：若是選擇題、填空題可以用特值法比較大??；若是解答題，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判斷．[注意]用作商法時(shí)要注意商式中分母的正負(fù)，否則極易得出相反的結(jié)論．以題試法1．(·吉林聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a、bA．c≥b＞a B．a(chǎn)＞c≥bC．c＞b＞a D．a(chǎn)＞c＞b解析：選Ac－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2∴c≥b.將題中兩式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2∵1＋a2－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴1＋a2>a.∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a.不等式的性質(zhì)典題導(dǎo)入[例2](1)(·大綱全國(guó)卷)下面四個(gè)條件中，使a>b成立的充分而不必要的條件是()A．a(chǎn)>b＋1 B．a(chǎn)>b－1C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3(2)(·包頭模擬)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則下列結(jié)論：①ad＞bc；②eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＜0；③a－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)中成立的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4[自主解答](1)由a＞b＋1得a＞b＋1＞b，即a＞b；且由a＞b不能得出a＞b＋1.因此，使a＞b成立的充分不必要條件是a＞b＋1.(2)∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①錯(cuò)誤．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＝eq\f(ac＋bd,cd)＜0，故②正確．∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③正確．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④正確，故選C.[答案](1)A(2)C由題悟法1．判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題的真假時(shí)，先把要判斷的命題與不等式性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題的真假，當(dāng)然判斷的同時(shí)可能還要用到其他知識(shí)，比如對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．2．特殊值法是判斷命題真假時(shí)常用到的一個(gè)方法，在命題真假未定時(shí)，先用特殊值試試，可以得到一些對(duì)命題的感性認(rèn)識(shí)，如正好找到一組特殊值使命題不成立，則該命題為假命題．以題試法2．若a、b、c為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是()A．若a＞b，c＞d，則ac＞bdB．若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)D．若a＜b＜0，則eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)解析：選BA中，只有a＞b＞0，c＞d＞0時(shí)，才成立；B中，由a＜b＜0，得a2＞ab＞b2成立；C，D通過(guò)取a＝－2，b＝－1驗(yàn)證均不正確．不等式性質(zhì)的應(yīng)用典題導(dǎo)入[例3]已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范圍．[自主解答]f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b設(shè)m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,m－n＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝3.))∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.即f(－2)的取值范圍為[5,10]．由題悟法利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍．解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍．以題試法3．若α，β滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤α＋β≤1，,1≤α＋2β≤3，))試求α＋3β的取值范圍．解：設(shè)α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x＋2y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，兩式相加，得1≤α＋3β≤7.∴α＋3β的取值范圍為[1,7]．1．已知a1，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與NA．M<N B．M>NC．M＝N D．不確定解析：選B由題意得M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)·(a2－1)>0，故M>N2．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，則下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m解析：選D法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分別代入各選項(xiàng)檢驗(yàn)即可．法二：m＋n＜0?m＜－n?n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．3．“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A由1≤x≤4可得1≤x2≤16，但由1≤x2≤16可得1≤x≤4或－4≤x≤－1，所以“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的充分不必要條件．4．已知0＜a＜eq\f(1,b)，且M＝eq\f(1,1＋a)＋eq\f(1,1＋b)，N＝eq\f(a,1＋a)＋eq\f(b,1＋b)，則M、N的大小關(guān)系是()A．M＞N B．M＜NC．M＝N D．不能確定解析：選A∵0＜a＜eq\f(1,b)，∴1＋a＞0,1＋b＞0,1－ab＞0，∴M－N＝eq\f(1－a,1＋a)＋eq\f(1－b,1＋b)＝eq\f(2－2ab,1＋a1＋b)＞0.5．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列結(jié)論不正確的是()A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b<b2C．a(chǎn)＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|解析：選D∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，∴0>a>b.∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a|＋|b|＝|a＋b|.6．設(shè)a，b是非零實(shí)數(shù)，若a<b，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b2<a2bC.eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D.eq\f(b,a)<eq\f(a,b)解析：選C當(dāng)a<0時(shí)，a2<b2不一定成立，故A錯(cuò)．因?yàn)閍b2－a2b＝ab(b－a)，b－a>0，ab符號(hào)不確定，所以ab2與a2b的大小不能確定，故B錯(cuò)．因?yàn)閑q\f(1,ab2)－eq\f(1,a2b)＝eq\f(a－b,a2b2)<0，所以eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)，故C正確．D項(xiàng)中eq\f(b,a)與eq\f(a,b)的大小不能確定．7．若1＜α＜3，－4＜β＜2，則α－|β|的取值范圍是________．解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：(－3,3)8．(·深圳模擬)定義a*b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a＜b，,b，a≥b.))已知a＝30.3，b＝0.33，c＝log30.3，則(a*b)*c＝________.(結(jié)果用a，b，c表示)解析：∵log30.3＜0＜0.33＜1＜30.3，∴c＜b＜a，∴(a*b)*c＝b*c＝c.答案：c9．已知a＋b＞0，則eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小關(guān)系是________．解析：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).答案：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)10．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0.求證：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).證明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.∴0＜eq\f(1,a－c2)＜eq\f(1,b－d2).又∵e＜0，∴eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).11．已知b＞a＞0，x＞y＞0，求證：eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b).證明：eq\f(x,x＋a)－eq\f(y,y＋b)＝eq\f(xy＋b－yx＋a,x＋ay＋b)＝eq\f(bx－ay,x＋ay＋b).∵b＞a＞0，x＞y＞0，∴bx＞ay，x＋a＞0，y＋b＞0，∴eq\f(bx－ay,x＋ay＋b)＞0，∴eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b).12．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c滿足f(1)＝0，且a＞b＞c，求eq\f(c,a)的取值范圍．解：∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)．又a＞b＞c，∴a＞－(a＋c)＞c，且a＞0，c＜0，∴1＞－eq\f(a＋c,a)＞eq\f(c,a)，即1＞－1－eq\f(c,a)＞eq\f(c,a).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2c,a)＜－1，,\f(c,a)＞－2，))解得－2＜eq\f(c,a)＜－eq\f(1,2).1．已知a、b為實(shí)數(shù)，則“a＞b＞1”是“eq\f(1,a－1)＜eq\f(1,b－1)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A由a＞b＞1?a－1＞b－1＞0?eq\f(1,a－1)＜eq\f(1,b－1)，當(dāng)a＝0，b＝2時(shí)，eq\f(1,a－1)＜eq\f(1,b－1)，∴eq\f(1,a－1)＜eq\f(1,b－1)?/a＞b＞1，故選A.2．(·洛陽(yáng)模擬)若－1＜a＜b＜1，－2＜c＜3則(a－b)·c的取值范圍是________．解析：∵－1＜a＜b＜1，∴－2＜a－b＜0，∴2＞－(a－b)＞0.當(dāng)－2＜c＜0時(shí)，2＞－c＞0，∴4＞(－c)[－(a－b)]＞0，即4＞c·(a－b)＞0；當(dāng)c＝0時(shí)，(a－b)·c＝0；當(dāng)0＜c＜3時(shí)，0＜c·[－(a－b)]＜6，∴－6＜(a－b)·c＜0.綜上得，當(dāng)－2＜c＜3時(shí)，－6＜(a－b)·c＜4.答案：(－6,4)3．某企業(yè)去年年底給全部的800名員工共發(fā)放2000萬(wàn)元年終獎(jiǎng)，該企業(yè)計(jì)劃從今年起，10年內(nèi)每年發(fā)放的年終獎(jiǎng)都比上一年增加60萬(wàn)元，企業(yè)員工每年凈增a人．(1)若a＝10，在計(jì)劃時(shí)間內(nèi)，該企業(yè)的人均年終獎(jiǎng)是否會(huì)超過(guò)3萬(wàn)元？(2)為使人均年終獎(jiǎng)年年有增長(zhǎng)，該企業(yè)每年員工的凈增量不能超過(guò)多少人？解：(1)設(shè)從今年起的第x年(今年為第1年)該企業(yè)人均發(fā)放年終獎(jiǎng)為y萬(wàn)元．則y＝eq\f(2000＋60x,800＋ax)(a∈N*,1≤x≤10)．假設(shè)會(huì)超過(guò)3萬(wàn)元，則eq\f(2000＋60x,800＋10x)＞3，解得x＞eq\f(40,3)＞10.所以，10年內(nèi)該企業(yè)的人均年終獎(jiǎng)不會(huì)超過(guò)3萬(wàn)元．(2)設(shè)1≤x1＜x2≤10，則f(x2)－f(x1)＝eq\f(2000＋60x2,800＋ax2)－eq\f(2000＋60x1,800＋ax1)＝eq\f(60×800－2000ax2－x1,800＋ax2800＋ax1)＞0，所以60×800－2000a＞0，得a所以，為使人均年終獎(jiǎng)年年有增長(zhǎng)，該企業(yè)每年員工的凈增量不能超過(guò)23人．1．已知0＜a＜b，且a＋b＝1，下列不等式成立的是()A．log2a＞0 B．2a－C．2ab＞2 D．log2(ab)＜－2解析：選D由已知，0＜a＜1,0＜b＜1，a－b＜0,0＜ab＜eq\f(1,4)，log2(ab)＜－2.2．若a＞b＞0，則下列不等式中一定成立的是()A．a(chǎn)＋eq\f(1,b)＞b＋eq\f(1,a) B.eq\f(b,a)＞eq\f(b＋1,a＋1)C．a(chǎn)－eq\f(1,b)＞b－eq\f(1,a) D.eq\f(2a＋b,a＋2b)＞eq\f(a,b)解析：選A取a＝2，b＝1，排