吉林省長(zhǎng)春新區(qū)2025屆九上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題含解析

吉林省長(zhǎng)春新區(qū)2025屆九上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，陽(yáng)光透過(guò)窗戶灑落在地面上，已知窗戶高，光亮區(qū)的頂端距離墻角，光亮區(qū)的底端距離墻角，則窗戶的底端距離地面的高度()為()A． B． C． D．2．袋子中裝有4個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，在看不到球的條件下，隨機(jī)地從袋子中摸出三個(gè)球．下列事件是必然事件的是（）A．摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)球是黑球B．摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)球是白球C．摸出的三個(gè)球中至少有兩個(gè)球是黑球D．摸出的三個(gè)球中至少有兩個(gè)球是白球3．我市組織學(xué)生開(kāi)展志愿者服務(wù)活動(dòng)，小晴和小霞從“圖書館，博物館，科技館”三個(gè)場(chǎng)館中隨機(jī)選擇一個(gè)參加活動(dòng)，兩人恰好選擇同一場(chǎng)館的概率是（）A． B． C． D．4．在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，則cosB的值為（）A． B． C． D．35．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)且）的圖象都經(jīng)過(guò)，結(jié)合圖象，則不等式的解集是（）A． B．C．或 D．或6．若反比例函數(shù)y=圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，-1），該函數(shù)圖象在（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限7．正五邊形內(nèi)接于圓，連接分別與交于點(diǎn)，，連接若，下列結(jié)論：①②③四邊形是菱形④；其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)8．如圖等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)點(diǎn)，Q沿AC以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿A﹣B﹣C以2cm/s的速度也向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，直到到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，若△APQ的面積為S（cm2），點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），則下列最能反映S與t之間大致圖象是（）A． B．C． D．9．關(guān)于反比例函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)在它的圖象上 B．它的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大 D．它的圖象位于第一、三象限10．服裝店將進(jìn)價(jià)為每件100元的服裝按每件x（x＞100）元出售，每天可銷售（200﹣x）件，若想獲得最大利潤(rùn)，則x應(yīng)定為（）A．150元 B．160元 C．170元 D．180元11．點(diǎn)在二次函數(shù)y＝x2+3x﹣5的圖像上，x與y對(duì)應(yīng)值如下表：那么方程x2+3x﹣5＝0的一個(gè)近似根是（）A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.312．方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值不能是（）A．0 B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．點(diǎn)在線段上，且.設(shè)，則__________.14．下表是某種植物的種子在相同條件下發(fā)芽率試驗(yàn)的結(jié)果.種子個(gè)數(shù)100400900150025004000發(fā)芽種子個(gè)數(shù)92352818133622513601發(fā)芽種子頻率0.920.880.910.890.900.90根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，可估計(jì)該植物的種子發(fā)芽的概率為_(kāi)_______.15．如圖，在中，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______.16．如圖，C，D是拋物線y＝（x+1）2﹣5上兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為E，CD∥x軸，四邊形ABCD為正方形，AB邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為_(kāi)____．17．如圖，已知⊙的半徑為1，圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙與軸相切時(shí)，圓心的坐標(biāo)是___________________．18．某校數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量學(xué)校旗桿AC的高度，在點(diǎn)F處豎立一根長(zhǎng)為1．5米的標(biāo)桿DF，如圖所示，量出DF的影子EF的長(zhǎng)度為1米，再量出旗桿AC的影子BC的長(zhǎng)度為6米，那么旗桿AC的高度為_(kāi)______米．三、解答題（共78分）19．（8分）某旅館一共有客房30間，在國(guó)慶期間，老板通過(guò)觀察記錄發(fā)現(xiàn)，當(dāng)所有房間都有旅客入住時(shí)，每間客房?jī)糍?00元，客房?jī)r(jià)格每提高50元，則會(huì)少租出去1個(gè)房間．同時(shí)沒(méi)有旅客入住的房間，需要花費(fèi)50元來(lái)進(jìn)行衛(wèi)生打理．（1）求出每天利潤(rùn)w的最大值，并求出利潤(rùn)最大時(shí)，有多少間客房入住了旅客．（2）若老板希望每天的利潤(rùn)不低于19500元，且租出去的客房數(shù)量最少，求出此時(shí)每間客房的利潤(rùn)．20．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，連接AF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：△AFC∽△ACE；（2）若AC＝5，DC＝6，當(dāng)點(diǎn)F為的中點(diǎn)時(shí)，求AF的值．21．（8分）如圖，已知，直線垂直平分交于，與邊交于，連接，過(guò)點(diǎn)作平行于交于點(diǎn)，連.（1）求證：；（2）求證：四邊形是菱形；（3）若，求菱形的面積.22．（10分）如圖①，在平行四邊形中，以O(shè)為圓心，為半徑的圓與相切于點(diǎn)B，與相交于點(diǎn)D.（1）求的度數(shù).（2）如圖②，點(diǎn)E在上，連結(jié)與交于點(diǎn)F，若，求的度數(shù).23．（10分）如圖，，分別是，上的點(diǎn)，，于，于．若，，求：（1）；（2）與的面積比．24．（10分）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一種單價(jià)為30元的商品，如果以單價(jià)55元售出，那么每天可賣出200個(gè)，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，每降價(jià)1元，每天可多賣出10個(gè)．假設(shè)每個(gè)降價(jià)x（元）時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)為W（元）．則降價(jià)多少元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大？25．（12分）已知如圖，⊙O的半徑為4，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠C＝2∠A．（1）求∠A的度數(shù)．（2）求BD的長(zhǎng)．26．請(qǐng)閱讀下面材料：?jiǎn)栴}：已知方程x1+x-3＝0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的一半．解：設(shè)所求方程的根為y，y=，所以x＝1y把x＝1y代入已知方程，得(1y)1+1y-3＝0化簡(jiǎn)，得4y1+1y-3＝0故所求方程為4y1+1y-3＝0這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”解決下列問(wèn)題：（1）已知方程1x1-x-15＝0，求一個(gè)關(guān)于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：_________．（1）已知方程ax1+bx+c＝0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)關(guān)于y的一元二次方程，使它的根比已知方程根的相反數(shù)的一半多1．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】根據(jù)光沿直線傳播的原理可知AE∥BD，則∽，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．【詳解】解：∵AE∥BD∴∽∴∵，，∴解得：經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟知：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或延長(zhǎng)線相交，所截得的三角形與原三角形相似．2、A【分析】根據(jù)必然事件的概念：在一定條件下，必然發(fā)生的事件叫做必然事件分析判斷即可.【詳解】A、是必然事件；B、是隨機(jī)事件，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是隨機(jī)事件，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是隨機(jī)事件，選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選A．3、A【分析】畫樹(shù)狀圖（用A、B、C分別表示“圖書館，博物館，科技館”三個(gè)場(chǎng)館）展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出兩人恰好選擇同一場(chǎng)館的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：畫樹(shù)狀圖為：（用A、B、C分別表示“圖書館，博物館，科技館”三個(gè)場(chǎng)館）

共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩人恰好選擇同一場(chǎng)館的結(jié)果數(shù)為3，

所以兩人恰好選擇同一場(chǎng)館的概率，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．4、A【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系的答案．【詳解】如圖所示：∵AB＝3，BC＝1，∴cosB＝＝．故選：A．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn):余弦.熟記余弦定義是關(guān)鍵.5、C【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的的取值范圍便是不等式的解集．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)（為常數(shù)且）的圖象上方時(shí)，的取值范圍是：或，∴不等式的解集是或.故選C．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題：主要考查了由函數(shù)圖象求不等式的解集．利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．6、D【解析】∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，-1），

∴k=5×（-1）=-5＜0，

∴該函數(shù)圖象在第二、四象限．

故選D．7、B【分析】①先根據(jù)正五方形ABCDE的性質(zhì)求得∠ABC，由等邊對(duì)等角可求得：∠BAC=∠ACB=36°，再利用角相等求BC=CF=CD，求得∠CDF=∠CFD，即可求得答案；②證明△ABF∽△ACB，得，代入可得BF的長(zhǎng)；③先證明CF∥DE且，證明四邊形CDEF是平行四邊形，再由證得答案；④根據(jù)平行四邊形的面積公式可得：，即可求得答案．【詳解】①∵五方形ABCDE是正五邊形，，

∴，

∴，

∴，

同理得：，

∵，，

∴，

∵，∴，∴，則，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

所以①正確；②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAF=∠CAB，

∴△ABF∽△ACB，

∴，∵，∴，∵，∴，∴，解得：(負(fù)值已舍)；所以②正確；③∵，，

∴，

∴CF∥DE，

∵，

∴四邊形CDEF是平行四邊形，∵，∴四邊形CDEF是菱形，所以③正確；④如圖，過(guò)D作DM⊥EG于M，

同①的方法可得，，

∴，，∴，所以④錯(cuò)誤；綜上，①②③正確，共3個(gè)，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)、平行四邊形和菱形的判定和性質(zhì)，有難度，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8、C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)點(diǎn)P的位置分類討論，分別求出S與t的函數(shù)關(guān)系式即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形∴∠A=∠C=60°，AB=BC=AC=4當(dāng)點(diǎn)P在AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)題意可得AP=2t，AQ=t∴△APQ為直角三角形S＝AQ×PQ＝AQ×（AP·sinA）＝×t×2t×＝t2，圖象為開(kāi)口向上的拋物線，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，如下圖，根據(jù)題意可得PC=2×4－2t=8－2t，AQ=tS＝×AQ×PH＝×AQ×（PC·sinC）＝×t×（8﹣2t）×＝t（4﹣t）=-t2+，圖象為開(kāi)口向下的拋物線；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查的是根據(jù)動(dòng)點(diǎn)判定函數(shù)的圖象，掌握三角形面積的求法、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)和銳角三角函數(shù)是解決此題的關(guān)鍵．9、D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，k=2＞0，函數(shù)位于一、三象限，在每一象限y隨x的增大而減小．【詳解】解：A、把（2，-1）代入，得1=-1不成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、反比例函數(shù)圖像不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．D、∵k=2＞0，∴它的圖象在第一、三象限，故選項(xiàng)正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)：①當(dāng)k＞0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，圖象分別位于第二、四象限．②當(dāng)k＞0時(shí)，在同一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k＜0時(shí)，在同一個(gè)象限，y隨x的增大而增大．10、A【分析】設(shè)獲得的利潤(rùn)為y元，由題意得關(guān)于x的二次函數(shù)，配方，寫成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：設(shè)獲得的利潤(rùn)為y元，由題意得：∵a＝﹣1＜0∴當(dāng)x＝150時(shí)，y取得最大值2500元．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，正確地寫出函數(shù)關(guān)系式，并明確二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．11、C【分析】觀察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．【詳解】解：觀察表格得：方程x2＋3x?5＝0的一個(gè)近似根為1.2，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．12、C【詳解】解：是關(guān)于的一元二次方程，則解得m≠故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的概念，注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為零．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解一元二次方程的求解問(wèn)題即可得出答案．【詳解】解：設(shè)BP=x，則AP=4-x，根據(jù)題意可得，，整理為：，利用求根公式解方程得：，∴，(舍去)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由實(shí)際問(wèn)題抽化出來(lái)的一元二次方程問(wèn)題，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解問(wèn)題，熟記一元二次方程的求根公式是解此題的關(guān)鍵．14、0.1【分析】仔細(xì)觀察表格，發(fā)現(xiàn)大量重復(fù)試驗(yàn)發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定在0.1左右，從而得到結(jié)論．【詳解】由表格可得，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)，發(fā)芽種子頻率穩(wěn)定在0.1，符合用頻率佔(zhàn)計(jì)概率，∴種子發(fā)芽概率為0.1．故答案為：0.1．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：頻率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．15、1【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問(wèn)題．【詳解】∵，，∴，，則，，∴，∵，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．16、【分析】首先設(shè)AB＝CD＝AD＝BC＝a，再根據(jù)拋物線解析式可得E點(diǎn)坐標(biāo)，表示出C點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得方程﹣5﹣a＝﹣5，再解即可．【詳解】設(shè)AB＝CD＝AD＝BC＝a，∵拋物線y＝（x+1）2﹣5，∴頂點(diǎn)E（﹣1，﹣5），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴C的橫坐標(biāo)為﹣1，D的橫坐標(biāo)為﹣1﹣，∵點(diǎn)C在拋物線y＝（x+1）2﹣5上，∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)為（﹣1+1）2﹣5＝﹣5，∵E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣5），∴B點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣5，∵BC＝a，∴﹣5﹣a＝﹣5，解得：a1＝，a2＝0（不合題意，舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、正方形的性質(zhì).17、或或或【分析】根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系可知，當(dāng)⊙與軸相切時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1或-1，把1或-1代入到拋物線的解析式中求出橫坐標(biāo)即可．【詳解】∵⊙的半徑為1，∴當(dāng)⊙與軸相切時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1或-1．當(dāng)時(shí)，，解得，∴此時(shí)P的坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，，解得，∴此時(shí)P的坐標(biāo)為或；故答案為：或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系和已知函數(shù)值求自變量，根據(jù)圓與x軸相切找到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的值是解題的關(guān)鍵．18、2【分析】在同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比，即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體，影子，經(jīng)過(guò)物體頂部的太陽(yáng)光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似．根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求解．【詳解】解：∵DE∥AB，DF∥AC，

∴△DEF∽△ABC，

∴，

即，

∴AC=6×1.5=2米．

故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形在測(cè)量高度時(shí)的應(yīng)用，解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題．三、解答題（共78分）19、（1）21600元，8或9間；（2）15間，1元【分析】（1）設(shè)每個(gè)房間價(jià)格提高50x元，可列利潤(rùn)w＝（30﹣x）（600+50x）﹣50x，將此函數(shù)配方為頂點(diǎn)式，即可得到答案；（2）將（1）中關(guān)系式﹣50x2+850x+18000＝19500，求出x的值，由租出去的客房數(shù)量最少即（30﹣x）最小，得到x取最大值15，再代入利潤(rùn)關(guān)系式求得每間客房的利潤(rùn)即可.【詳解】解：（1）設(shè)每個(gè)房間價(jià)格提高50x元，則租出去的房間數(shù)量為（30﹣x）間，由題意得，利潤(rùn)w＝（30﹣x）（600+50x）﹣50x＝﹣50x2+850x+18000＝﹣50（x﹣8.5）2+21612.5因?yàn)閤為正整數(shù)所以當(dāng)x＝8或9時(shí)，利潤(rùn)w有最大值，wmax＝21600；（2）當(dāng)w＝19500時(shí)，﹣50x2+850x+18000＝19500解得x1＝2，x2＝15，∵要租出去的房間最少∴x＝15，此時(shí)每個(gè)房間的利潤(rùn)為600+50×15＝1．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意列得函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，注意（1）x應(yīng)為正整數(shù)，故而x應(yīng)為對(duì)稱軸x=8.5兩側(cè)的整數(shù)8或9.20、（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)條件得出＝，推出∠AFC＝∠ACD，結(jié)合公共角得出三角形相似；（2）根據(jù)已知條件證明△ACF≌△DEF，得出AC＝DE，利用勾股定理計(jì)算出AE的長(zhǎng)度，再根據(jù)（1）中△AFC∽△ACE，得出＝，從而計(jì)算出AF的長(zhǎng)度.【詳解】（1）∵CD⊥AB，AB是⊙O的直徑∴＝∴∠AFC＝∠ACD．∵在△ACF和△AEC中，∠AFC＝∠ACD，∠CAF＝∠EAC∴△AFC∽△ACE（2）∵四邊形ACDF內(nèi)接于⊙O∴∠AFD＋∠ACD＝180°∵∠AFD＋∠DFE＝180°∴∠DFE＝∠ACD∵∠AFC＝∠ACD∴∠AFC＝∠DFE．∵△AFC∽△ACE∴∠ACF＝∠DEF．∵F為的中點(diǎn)∴AF＝DF．∵在△ACF和△DEF中，∠ACF＝∠DEF，∠AFC＝∠DFE，AF＝DF∴△ACF≌△DEF．∴AC＝DE＝1．∵CD⊥AB，AB是⊙O的直徑∴CH＝DH＝2．∴EH＝8在Rt△AHC中，AH2＝AC2－CH2＝16，在Rt△AHE中，AE2＝AH2＋EH2＝80，∴AE＝4．∵△AFC∽△ACE∴＝，即＝，∴AF＝.【點(diǎn)睛】本題屬于圓與相似三角形的綜合，涉及了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形的判定定理等，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，正確尋找全等三角形.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）24.【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出答案；（2）先判定AECF是平行四邊形，根據(jù)對(duì)角線垂直，即可得出答案；（3）根據(jù)勾股定理求出DE的值，根據(jù)“菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半”計(jì)算即可得出答案.【詳解】（1）證明：由圖可知，又∵，∴，∴；解：（2）由（1）知：∴四邊形是平行四邊形，又∵∴是菱形；（3）在中，∴；【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形，難度適中，需要熟練掌握菱形的判定以及菱形面積的公式.22、（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意連接，利用圓的切線定理和平行四邊形性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)進(jìn)行綜合分析求解；（2）根據(jù)題意連接，，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，證明是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)值進(jìn)行分析求解即可.【詳解】解：（1）連接，如下圖，∵是圓的切線，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；（2）連接，，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，如下圖，∵，∴，∵，∴也是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合問(wèn)題，熟練掌握切線和平行四邊形的性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.23、（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)相似三角形的判定定理得出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案；（2）根據(jù)相似三角形的面積之比等于其相似比的平方即可得．【詳解】（1）；（2）由（1）已證．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定定理與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟記定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．24、降價(jià)2.5元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最