統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理學(xué)生用書

第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理·最新考綱·理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題．·考向預(yù)料·考情分析：分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理、兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，題型以選擇題為主，難度將會(huì)變小．學(xué)科素養(yǎng)：通過(guò)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．積累必備學(xué)問(wèn)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開(kāi)端一、必記1個(gè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理?xiàng)l件完成一件事有________，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不種的方法完成一件事須要________，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結(jié)論完成這件事共有N＝________種不同的方法完成這件事共有N＝________種不同的方法[提示]分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”；分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)分步的程序，即合理分類，精確分步．在分類與分步之前要確定題目中是否有特別條件限制．二、必明2個(gè)常用結(jié)論1．分類加法計(jì)數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步完成”．三、必練3類基礎(chǔ)題(一)推斷正誤1．推斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．()(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能干脆完成這件事．()(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事．()(二)教材改編2．[選修2－3·P10練習(xí)T4改編]已知某公園有4個(gè)門，從一個(gè)門進(jìn)，另一個(gè)門出，則不同的走法的種數(shù)為()A．16B．13C．12D．103．[選修2－3·P12T5改編]設(shè)集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{2，4，6，8}，a∈A，b∈B，則直線ax＋by＝2021有()條．A．4B．5C．20D．94．[選修2－3·P5例3改編]書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．從書架中任取1本書，則不同取法的種數(shù)為_(kāi)_______．(三)易錯(cuò)易混5．(分類分步不清導(dǎo)致出錯(cuò))有3女2男共5名志愿者要全部安排到3個(gè)社區(qū)去參與志愿服務(wù)，每個(gè)社區(qū)1到2人，甲、乙2名女志愿者需到同一社區(qū)，男志愿者到不同社區(qū)，則不同的分法種數(shù)為_(kāi)_______．6．(分類分步不清導(dǎo)致出錯(cuò))從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．提升關(guān)鍵實(shí)力——考點(diǎn)突破駕馭類題通法考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理[基礎(chǔ)性、應(yīng)用性][例1](1)橢圓x2m+y2n＝1(m>0，n>0)的焦點(diǎn)在A．10B．12C．20D．35(2)在全部的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．聽(tīng)課筆記：一題多變1．(變條件)在例1(1)中，若m∈{1，2，…，k}，n∈{1，2，…，k}(k∈N*)，其他條件不變，則這樣的橢圓有多少個(gè)？2．(變條件)若例1(2)條件變?yōu)椤皞€(gè)位數(shù)字不小于十位數(shù)字”，則這樣的兩位數(shù)有多少個(gè)？反思感悟應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的三個(gè)步驟【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2024·湘贛十四校聯(lián)考]有一數(shù)學(xué)問(wèn)題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5名同學(xué)只會(huì)用綜合法證明，有3名同學(xué)只會(huì)用分析法證明，現(xiàn)從這些同學(xué)中任選1名同學(xué)證明這個(gè)問(wèn)題，不同的選法種數(shù)為()A．8B．15C．18D．302.如圖，從A到O有________種不同的走法(不重復(fù)過(guò)一點(diǎn))．3．假如一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿意a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等)，那么全部凸數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理[基礎(chǔ)性、綜合性][例2](1)如圖，小明從街道的E處動(dòng)身，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參與志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24B．18C．12D．9(2)有六名同學(xué)報(bào)名參與三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參與一項(xiàng)，則共有________種不同的報(bào)名方法．聽(tīng)課筆記：一題多變1．(變條件)若本例2(2)中將條件“每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參與一項(xiàng)”改為“每人恰好參與一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限”，則有多少種不同的報(bào)名方法？2．(變條件)若將本例2(2)條件中的“每人至多參與一項(xiàng)”改為“每人參與的項(xiàng)目數(shù)不限”，其他不變，則有多少種不同的報(bào)名方法？反思感悟用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的三個(gè)步驟【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2024·蘭州市高三診斷考試]2024年9月1日蘭州地鐵1號(hào)線啟用新列車運(yùn)行圖，進(jìn)一步增加上線列車數(shù)量、縮短列車運(yùn)行間隔、延長(zhǎng)運(yùn)營(yíng)時(shí)間．兩位同學(xué)同時(shí)去乘坐地鐵，一列地鐵有6節(jié)車廂，兩人進(jìn)入車廂的方法共有()A．15種B．30種C．36種D．64種2．[2024·東北三校聯(lián)考]永定土樓，位于中國(guó)東南沿海的福建省龍巖市，是世界上獨(dú)一無(wú)二的奇妙的山區(qū)居民建筑，是中國(guó)古建筑的一朵奇葩.2008年7月，永定土樓勝利列入世界遺產(chǎn)名錄．它歷史悠久、風(fēng)格獨(dú)特，規(guī)模宏大、結(jié)構(gòu)精致．土樓詳細(xì)有圓樓、方樓、五角樓、八角樓、日字形樓、回字形樓、吊腳樓等類型．現(xiàn)某高校建筑系學(xué)生要重點(diǎn)對(duì)這七種類型的土樓依次進(jìn)行調(diào)查探討．要求調(diào)查依次中，圓樓要排在第一個(gè)或最終一個(gè)，方樓、五角樓相鄰，則不同的排法種數(shù)為()A．480B．240C．384D．1440考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用[綜合性、應(yīng)用性]角度1與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題[例3]用0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)字可以組成________個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．(用數(shù)字作答)聽(tīng)課筆記：反思感悟與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題常見(jiàn)的有以下4類：(1)組成的數(shù)為“奇數(shù)”“偶數(shù)”被某數(shù)整除的數(shù)”；(2)在某范圍內(nèi)的數(shù)；(3)各數(shù)字的和具有某種特征；(4)各數(shù)字滿意某種關(guān)系.角度2與涂色、種植有關(guān)的問(wèn)題[例4]現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對(duì)如圖所示的四個(gè)不同區(qū)域進(jìn)行涂色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能運(yùn)用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是()A．120B．140C．240D．260聽(tīng)課筆記：反思感悟涂色問(wèn)題大致有兩種解答方案(1)選擇正確的涂色依次，按步驟逐一涂色，這時(shí)用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù)．(2)依據(jù)涂色時(shí)所用顏色數(shù)的多少，進(jìn)行分類處理，這時(shí)用分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù).角度3與幾何圖形有關(guān)的問(wèn)題[例5]假如一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是()A．48B．18C．24D．36聽(tīng)課筆記：反思感悟求解此類問(wèn)題可借助于空間幾何體，細(xì)致分析題意中涉及的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，把握好分類的標(biāo)準(zhǔn)和分步的依次是求解的關(guān)鍵.角度4與集合、數(shù)列有關(guān)的問(wèn)題[例6](1)已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B為集合M的非空子集，若對(duì)?x∈A，y∈B，x<y恒成立，則稱(A，B)為集合M的一個(gè)“子集對(duì)”，則集合M的“子集對(duì)”共有________個(gè)．(2)[2024·山西太原模擬]如圖所示，玩具計(jì)數(shù)算盤的三檔上各有7個(gè)算珠，現(xiàn)將每檔算珠分為左、右兩部分，左側(cè)的每個(gè)算珠表示數(shù)2，右側(cè)的每個(gè)算珠表示數(shù)1(允許一側(cè)無(wú)珠)，記上、中、下三檔的數(shù)字和分別為a，b，c.例如，圖中上檔的數(shù)字和a＝9.若a，b，c成等差數(shù)列，則不同的分珠計(jì)數(shù)法有________種．聽(tīng)課筆記：反思感悟在解決綜合問(wèn)題時(shí)，可能同時(shí)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，即分類的方法可能要運(yùn)用分步完成，分步的方法可能會(huì)實(shí)行分類的思想求解．分清完成該事情是分類還是分步，“類”間相互獨(dú)立，“步”間相互聯(lián)系．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A．144個(gè)B．120個(gè)C．96個(gè)D．72個(gè)2.如圖是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，現(xiàn)在用四種顏色給這四個(gè)直角三角形區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則有多少種不同的涂色方法()A．24B．72C．84D．1203．從集合{1，2，3，…，10}中隨意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A．3B．4C．6D．84.如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)(用數(shù)字作答)．第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理積累必備學(xué)問(wèn)一、兩類不同方案兩個(gè)步驟m＋nm·n三、1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：將4個(gè)門編號(hào)為1，2，3，4，從1號(hào)門進(jìn)入后，有3種出門的方式，共有3種走法，從2，3，4號(hào)進(jìn)入，同樣各有3種走法，故共有不同走法3×4＝12(種)．答案：C3．解析：分兩個(gè)步驟：第一步確定a，有5種方法，其次步確定b，有4種方法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得直線有5×4＝20(條)．答案：C4．解析：由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，從第1，2，3層共取1本書，不同的取法共有4＋3＋2＝9(種)．答案：95．解析：設(shè)3名女志愿者分別為甲，乙，丙.2名男志愿者分別為A，B，則將5人分為3組可以是((甲，乙)，(丙，A)，B)，((甲，乙)，(丙，B)，A)2種狀況，每種狀況是6種安排方式，故有2×6＝12(種)．答案：126．解析：若組成的三位數(shù)是奇數(shù)，則其百位、十位、個(gè)位數(shù)字狀況只能為“奇、偶、奇”或“偶、奇、奇”．假如是“奇、偶、奇”，先選個(gè)位，則個(gè)位有3種狀況，十位有2種狀況，百位有2種狀況，共3×2×2＝12(個(gè))；假如是“偶、奇、奇”，先選個(gè)位，則個(gè)位有3種狀況，十位有2種狀況，百位只有1種狀況，共3×2×1＝6(個(gè))．因此其中總共有12＋6＝18(個(gè))奇數(shù)．答案：18提升關(guān)鍵實(shí)力考點(diǎn)一例1解析：(1)因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以m>n.以m的值為標(biāo)準(zhǔn)可分為四類：①m＝5時(shí)，n有4種選擇；②m＝4時(shí)，n有3種選擇；③m＝3時(shí)，n有2種選擇；④m＝2時(shí)，n有1種選擇．故由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的橢圓共有10個(gè)．(2)依據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1，2，3，4，56，7，8的狀況分成8類，在每一類中滿意題目條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè))．答案：(1)A(2)36一題多變1．解析：因?yàn)閙>n，所以當(dāng)m＝k時(shí)，n＝1，2，…，k－1；當(dāng)m＝k－1時(shí)，n＝1，2，…，k－2；…；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝1，2；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝1.所以共有1＋2＋…＋(k－1)＝kk-12．解析：分兩類：①個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)，由例1(2)知共有36個(gè)；②個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字相同的有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有36＋9＝45(個(gè))．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問(wèn)題：證明方法分成兩類，一是用綜合法證明，有5種選法，二是用分析法證明，有3種選法，依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有3＋5＝8種選法．答案：A2．解析：分3類：第一類，干脆由A到O，有1種走法；其次類，中間過(guò)一個(gè)點(diǎn)，有A→B→O和A→C→O2種不同的走法；第三類，中間過(guò)兩個(gè)點(diǎn)，有A→B→C→O和A→C→B→O2種不同的走法．由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有1＋2＋2＝5(種)不同的走法．答案：53．解析：若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個(gè)位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120，121，共2個(gè)；若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6(個(gè))；若a2＝4，滿意條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個(gè))；……；若a2＝9，滿意條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個(gè))．所以全部凸數(shù)共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個(gè))．答案：240考點(diǎn)二例2解析：(1)由題意可知E→F共有6種走法，F(xiàn)→G共有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×3＝18(種)走法．解析：(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參與一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人：第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，其次個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的報(bào)名方法共有6×5×4＝120(種)．答案：(1)B(2)120一題多變1．解析：每人都可以從這三個(gè)智力項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同的報(bào)名方法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的報(bào)名方法共有36＝729(種)．2．解析：每人參與的項(xiàng)目數(shù)不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從六人中任選一人，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的報(bào)名方法共有63＝216(種)．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：設(shè)這兩位同學(xué)分別為甲、乙，由題意，可分為兩步：第一步，甲同學(xué)從這6節(jié)車廂中選擇一節(jié)進(jìn)入有6種選法，其次步，乙同學(xué)從這6節(jié)車廂中選擇一節(jié)進(jìn)入有6種選法，所以兩人進(jìn)入車廂的方法共有6×6＝36(種)．答案：C2．解析：解決本題分三步，第一步，由于方樓、五角樓相鄰，故先將二者捆綁看成一個(gè)整體，有A2其次步，圓樓要排在第一個(gè)或最終一個(gè)，有A2第三步，其余五種(八角樓、日字形樓、回字形樓、吊腳樓、方樓＋五角樓)全排列，有A5答案：A考點(diǎn)三例3解析：要完成的“一件事”為“組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”，所以千位數(shù)字不能為0，個(gè)位數(shù)字必需是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中四個(gè)數(shù)字不重復(fù)，因此應(yīng)先分類，再分步．①第1類，當(dāng)千位數(shù)字為奇數(shù)，即取1，3，5中的隨意一個(gè)時(shí)，個(gè)位數(shù)字可取0，2，4，6中的隨意一個(gè)，百位數(shù)字不能取與這兩個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3×4×5×4＝240(種)取法．②第2類，當(dāng)千位數(shù)字為偶數(shù)，即取2，4，6中的隨意一個(gè)時(shí)，個(gè)位數(shù)字可以取除首位數(shù)字的隨意一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，百位數(shù)字不能取與這兩個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3×3×5×4＝180(種)取法．③依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共可以組成240＋180＝420(個(gè))無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．答案：420例4解析：由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，最終涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處共有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，到C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(種)．答案：D例5解析：第1類，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有2×12＝24(個(gè))；第2類，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)．所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24＋12＝36(個(gè))．答案：D例6解析：(1)A＝{1}時(shí)，B有23－1種狀況；A＝{2}時(shí)，B有22－1種狀況；A＝{3}時(shí)，B有1種狀況；A＝{1，2}時(shí)，B有22－1種狀況；A＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}時(shí)，B均有1種狀況．故滿意題意的“子集對(duì)”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(個(gè))．(2)依據(jù)題意知a，b，c的取值分別是區(qū)間[7，14]中的8個(gè)整數(shù)之一，故公差d的取值范圍是區(qū)間[－3，