第02講 集合的運算（教師版）-2023年新高一（初升高）暑期數學銜接（新人教版）

第02講集合的運算【學習目標】1.理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集2.理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集3.能使用Venn圖表達集合的基本關系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用．【基礎知識】一、集合的并集1.定義：一般地,由所有屬于集合A或屬于集合B的所有元素組成的集合,叫做集合A與B的并集,記作,讀作A并B,2.數學表達式：.3.用Venn圖表示(陰影部分)如圖所示：ABAABABB4.解讀：(1)仍然是一個集合.(2)并集概念中的“或”指的是只需滿足其中一個條件即可,這與生活中的“或”字含義不同．生活中的“或”字是或此或彼,必居其一,而并集中的“或”字可以是兼有的.或有三層含義：；；.(3)對定義中“所有”二字不能簡單地理解為把A,B中的元素放在一起,就是中的元素,要注意元素的互異性.二、集合的交集1.定義：一般地,由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合,叫做A與B的交集,記作,讀作A交B.2.數學表達式：.3.用Venn圖表示(陰影部分)如圖所示：ABBABBAB4.解讀：(1)由是由集合A與集合B的所有公共元素組成的集合.(2)仍然是一個集合,當集合A與集合B沒有元素時,.三、集合的補集1.全集的定義：一般地,如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集,通常記作.2.全集解讀：(1)全集包含我們所要研究的集合的全部元素,所要研究的集合都是它的子集.(2)全集是相對于所研究問題的一個相對概念,所研究的問題變了,全集有可能就變了,如我們只在整數集Z范圍內研究問題時,全集就是整數集Z,而當研究的問題拓展到實數集時,全集就是實數R,這時,整數集Z就不是全集了.3.補集的定義：對于全集的一個子集A,由全集中不屬于A的所有元素組成的集合,稱為集合A相對于全集的補集,簡稱為集合A的補集,記作.4.數學表達式：.5.用Venn圖表示(陰影部分)如圖所示：UUA6.解讀：(1)若全集為具體的數集,則全集符號可換成相應的數集符號,如全集為實數R,可記為.(2)補集既是集合之間的一種關系,又是集合之間的一種運算.四、幾個等價關系在利用集合的交集、并集、補集性質解題時,常常會遇到A∩B＝A,A∪B＝B等這類問題,在集合的運算關系和兩個集合的包含關系之間往往存在一定的聯系,在一定的情況下可以相互轉化,以下幾個等價轉化關系,請同學們務必掌握：A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?A∩()=?()∪B=U,在解題中運用這種轉化能有效地簡化解題過程．五、德摩根律與容斥原理1.德摩根律=1\*GB3①；=2\*GB3②2.解讀：以上兩式常在集合運算中出現,其正確性可通過下面的Veen圖驗證：3.容斥原理我們把含有有限個元素的集合稱為有限集,用card(A)表示有限集A的元素個數,如A={-1,2,3,4},則card(A)=4,由上圖易得=1\*GB3①card(A∪B)=card(A)+card(B)－card(A∩B)；=2\*GB3②card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)+card(A∩B∩C).六、進行集合的交、并、補運算注意三點：(1)意義化：分清集合的類型,是表示數集、點集還是圖形構成的集合．(2)直觀化：借助數軸、Venn圖等將有關集合直觀地表示出來．(3)求出有關集合中方程、不等式的解,不能具體求出的,也應力求將相關集合轉化為最簡形式．運算時還要注意：①勿忘對空集的討論；②勿忘集合中元素的互異性；③對于含參數的集合問題,勿忘對所求數值進行合理取舍．【基礎知識】考點一：求集合的并集例1．(2022學年寧夏石嘴山市平羅中學高一下學期期中)已知集合，，則等于(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以；故選B考點二：求集合的交集例2．(2022學年西藏拉薩中學高二下學期月考)已知集合，則A∩B=(

)A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{2，3}【答案】D【解析】由題設，.故選D考點三：求集合的補集例3．(2022屆北京市第八十中學高三下學期考前熱身練)已知，，則___________.【答案】【解析】因為，，所以或考點四：集合的混合運算例4．(2022屆吉林省吉林市普通高中高三第四次調研)已知集合，，則(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知，集合，所以，而集合，所以.故選A.考點五：venn圖在集合運算中的運用例5．(2022屆陜西省西安中學高三下學期第二次仿真模擬)如圖，全集，集合，集合，則陰影部分表示集合(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】矩形表示全集，集合，集合,，則陰影表示集合為.故選D.考點六：根據集合運算求參數的值或范圍例6．(多選)(2022屆湖北省武漢市高三下學期四月調研)已知集合，若，則的取值可以是(

)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【解析】因為，所以，所以或；故選AB考點七：集合之間的關系與集合運算的交匯例7．(多選)(2022學年河北省石家莊市第六中學高一上學期期中)集合，則下列結論正確的是(

)A．A∪B=B B．A∪B=A C．A∩B=A D．A∩B=B【答案】BD【解析】因為，所以A∪B=A，A∩B=B.故選BD.【真題演練】1．(2021新高考全國卷Ⅰ)設集合,,3,4,,則A． B．, C．, D．,3,【答案】B【解析】,,3,4,,,3,4,,．故選B．2.(2021新高考全國卷Ⅱ)設集合,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設可得,故,故選B.3．(2021高考全國卷乙)已知集合，，則 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】任取，則，其中，所以，，故，因此，．故選C．4.(2021高考全國卷甲)設集合，則 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以,故選B．5．(2020高考卷Ⅰ)設集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a= ()A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：．由于，故：，解得：．故選B．6．(2020高考全國卷Ⅱ)已知集合U={?2，?1，0，1，2，3}，A={?1，0，1}，B={1，2}，則 ()A．{?2，3} B．{?2，2，3} C．{?2，?1，0，3} D．{?2，?1，0，2，3}【答案】A【解析】由題意可得：，則．故選A7．(2019高考全國卷Ⅲ)已知集合，，則 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，故選A．【過關檢測】1．(2022屆北京市大興區(qū)興華中學高三三模)已知集合，，則(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以，故選B.2．(2022屆天津市武清區(qū)楊村第一中學高三下學期熱身練)記全集，集合，集合，則=(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】依題意，或，因，所以.故選C3.(2022屆遼寧省鞍山市第一中學高三下學期六模)設全集，集合，，則實數的值為(

)A．0 B．-1 C．2 D．0或2【答案】A【解析】由集合知，，即，而，全集，因此，，解得，經驗證滿足條件，所以實數的值為0.故選A4．(2022屆江西省萍鄉(xiāng)市高三模擬)如圖，全集，，，則陰影部分表示的集合為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由圖示可知，陰影部分可表示為,∵,∴,故選.5.(多選)(2022屆福建省泉州市高三第五次質量檢測)已知集合A，B均為R的子集，若，則(

)A． B．C． D．【答案】AD【解析】如圖所示根據圖像可得,故A正確；由于，故B錯誤；,故C錯誤，故選AD6.(2022學年廣東省汕頭市潮陽區(qū)河溪中學高一上學期期中)若集合，集合，則正確的是(

)A． B．C． D．【答案】ABCD【解析】對于A選項，，且，A對；對于B選項，，所以，，，B對；對于C選項，，C對；對于D選項，，D對.故選ABCD.7.(2022學年廣東省梅州市梅江區(qū)梅州中學高一上學期第二次月考)滿足的所有集合是______.【答案】或或或【解析】∵，∴為的子集，∴或或，∴或或或8.(2022學年重慶市巫山大昌中學校高一上學期期末)某班有39名同學參加數學、物理、化學課外研究小組，每名同學至多參加兩個小組.已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為26，15，13，同時參加數學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參見數學和化學小組有多少人__________.【答案】【解析】設參加數學、物理、化學小組的同學組成的集合分別為，、，同時參加數學和化學小組的人數為，因為每名同學至多參加兩個小組，所以同時參加三個小組的同學的人數為，如圖所示：由圖可知：，解得，所以同時參加數學和化學小組有人.9.(2022學年福建省莆田礪志學校高一上學期學情摸底)設集合，且都是集合的子集，如果把