浙江省紹興市上虞區(qū)2024-2025學年高三數(shù)學上學期期末試題含解析

Page19浙江省紹興市上虞區(qū)2024-2025學年高三數(shù)學上學期期末試題參考公式：球的表面積公式；球的體積公式，其中表示球的半徑．第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡集合，再去求即可解決.【詳解】由，可得，即，則由，可得或，則或則，故故選：D2.雙曲線的焦點坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出的值，可得出雙曲線的焦點坐標.【詳解】在雙曲線中，，，則，因此，雙曲線的焦點坐標為.故選：C.3.若復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）滿意，其中為的共軛復(fù)數(shù)，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】先求出，得到，即可求出的值.【詳解】因為，所以，所以，解得：，所以..故選：D4.“為銳角”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由求出的取值范圍，再利用集合的包含關(guān)系推斷可得出結(jié)論.【詳解】若為銳角，則；若，則或，因為或，因此，“為銳角”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.若實數(shù)，滿意約束條件，則的最大值為（）A.-6 B.-3 C. D.-9【答案】B【解析】【分析】作出給定不等式組表示的平面區(qū)域，再利用目標函數(shù)的幾何意義計算作答.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影區(qū)域，其中點，，目標函數(shù)，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，作直線，平移直線到直線，當直線過點A時，直線的縱截距最小，最大，所以.故選：B6.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)有兩個零點解除選項C，D；再借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與極值狀況即可推斷作答.【詳解】由得，或，選項C，D不滿意；由求導(dǎo)得，當或時，，當時，，于是得在和上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取極大值，在處取微小值，B不滿意，A滿意.故選：A7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積的最大值為（）A.25 B. C. D.9【答案】B【解析】【分析】由三視圖可知幾何體是底面是直角梯形的四棱錐，依據(jù)棱錐的體積公式用基本不等式求體積的最大值即可.【詳解】由三視圖將幾何體還原為底面是直角梯形的四棱錐，如下圖，設(shè)直角梯形的高為，則，由基本不等式，當且僅當，即時等號成立.所以幾何體的體積為.所以幾何體的體積的最大值為.故選：B.8.已知，滿意，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，得到，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.詳解】由，可得，因為，可得且，解得，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：B.9.已知雙曲線，的左右焦點記為，，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，記與雙曲線的交點為P，若所得的內(nèi)切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)給定條件探求出的內(nèi)切圓圓心坐標，再借助點到直線距離公式計算作答.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，則，由對稱性不妨令與平行的漸近線為，直線方程為：，即，令的內(nèi)切圓與三邊相切的切點分別為A，B，C，令點，如圖，由切線長定理及雙曲線定義得：，即，而軸，圓半徑為，則有，點到直線的距離：，整理得，即，而，解得，所以雙曲線的離心率為2.故選：A【點睛】方法點睛：求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②依據(jù)給定條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍).10.已知數(shù)列滿意：，，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列為遞減數(shù)列 B.存在，便得C.存在，便得 D.存在，便得【答案】D【解析】【分析】由已知等式變形可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，可推斷BC選項；利用數(shù)列的單調(diào)性可推斷A選項；計算出、的范圍，可推斷D選項.【詳解】因為，則，可得，由可得，則，則，設(shè)函數(shù)，其中，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，因為，則，，，以此類推可知，對隨意的，，所以，，故數(shù)列為遞增數(shù)列，A錯，B錯，C錯；因為，則，，因此，存在，便得，D對.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查與數(shù)列相關(guān)的單調(diào)性與范圍問題的推斷，依據(jù)數(shù)列的遞推公式構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求得的范圍是解題的關(guān)鍵.第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題．本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題4分，共36分．11.設(shè)，，則_____________，_____________．【答案】①.2②.5【解析】【分析】干脆利用對數(shù)與指數(shù)的互化公式和對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可【詳解】因為，所以，因為，，所以，所以，故答案為：2，512.在的綻開式中，若，則含項的系數(shù)是____________；若常數(shù)項是24，則____________．【答案】①.-80②.4【解析】【分析】（1）寫出二項式綻開式的通項公式，令x的指數(shù)等于1，即可求解答案;（2）寫出二項式綻開式的通項公式，令x的指數(shù)等于零，即可求解答案.【詳解】時，的綻開式的通項公式為：，其中，令，則，故，即含項的系數(shù)是；的綻開式的通項公式為，其中，令，則，由常數(shù)項為24可得：，解得n=4，故答案為：；413.已知隨機變量的分布列如下：且，則實數(shù)____________，若隨機變量，則____________．234【答案】①.②.##【解析】【分析】由已知條件列方程組可求出的值，再利用方差公式求出，從而可求出【詳解】由題意得，解得，所以，所以，故答案為：，14.已知正方體的棱長為，點、分別在、上，，．動點在側(cè)面內(nèi)（包含邊界）運動，且滿意直線平面，則點在側(cè)面的軌跡的長度為_____________，三棱錐的體積為_____________．【答案】①.②.【解析】【分析】在棱、分別取點、使得，，連接，取的中點，連接、，證明出平面平面，可知點在側(cè)面內(nèi)的軌跡為線段，求出線段的長，即為點在側(cè)面的軌跡的長度，由等體積法可求得三棱錐的體積.【詳解】在棱、分別取點、使得，，連接，取中點，連接、，因為且，由題意可知且，所以，四邊形平行四邊形，所以，，平面，平面，所以，平面，同理可證四邊形、均為平行四邊形，則，因為平面，平面，故平面，，故平面平面，當時，平面，則平面，所以，點在側(cè)面內(nèi)的軌跡為線段，且，又因為，故四邊形為矩形，則，，所以，.平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，，.故答案為：；.15.若，，則____________．【答案】##【解析】【分析】先利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，再利用半角公式求出，，從而可求出，進而可求得答案【詳解】因為，，所以，因為所以，所以，，所以，所以，故答案為：16.某地區(qū)突發(fā)新冠疫情，為抗擊疫情，某醫(yī)院急從甲、乙、丙等8名醫(yī)務(wù)工作者中選6人參與周一到周六的某社區(qū)核酸檢測任務(wù)，每天支配一人，每人只參與一天.現(xiàn)要求甲、乙、丙至少選兩人參與.考慮到實際狀況.當甲、乙、丙三人都參與時，丙肯定得排在甲乙之間，那么不同的支配數(shù)為________.（請算出詳細數(shù)值）【答案】【解析】【分析】由排列組合中的分類計數(shù)原理，分類探討當甲、乙、丙只有兩人參與時和當甲、乙、丙三人都參與時不同的支配數(shù)，再求解即可．【詳解】解：①甲、乙、丙中只選兩人，有種選法，再從余下5人中任選4人有選法，將選取的6人支配到周一到周六有種，因此，共有不同支配種數(shù)為，②當甲、乙、丙三人都參與時，因為丙肯定得排在甲乙之間，從余下5人中任選3人有選法，周一到周六中取3天支配甲、乙、丙且丙在甲乙之間有種，另3天支配所選3人有種，那么不同的支配數(shù)為種，故不同的支配數(shù)為，故答案為：．17.設(shè)向量，，，，點在內(nèi)，且向量與向量的夾角為，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】以直線OA為x軸，線段OA的中垂線為y軸建立坐標系，探求點C的坐標滿意的關(guān)系，再利用換元法借助三角恒等變換計算作答.【詳解】以直線OA為x軸，線段OA的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，如圖，因，則，而，解得，則，設(shè)，有，，因向量與向量夾角為，則，，，，整理得：，即，因此，，，令點，，令，則，于是得，又，即有，解得，當時，，即，而，有，，沖突，即，當時，，即有，其中銳角滿意，則有，，，明顯存在滿意條件，則，因此，，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】思路點睛：給定向量的模探求向量問題，可以建立平面直角坐標系，借助向量的坐標表示，利用代數(shù)運算、三角變換等方法解決.三、解答題：本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．18.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，點M為AC的中點，且．（1）求角的大??；（2）若，求的面積．【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理轉(zhuǎn)化得，即可求出；（2）利用向量法求出邊長，代入面積公式即可求出.【小問1詳解】在中，因為，由正弦定理得：.因為，所以，所以可化.因為，所以，消去得：.當時，不成立，所以，所以，所以.因為，所以.【小問2詳解】因為M為AC的中點，所以，所以，即.因為，，代入得：，解得：（舍去）.所以的面積為.19.正三棱柱底邊長為2，E，F(xiàn)分別為，AB的中點．（1）求證：平面平面；（2）若與平面所成的角的正弦值為，求的值．【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）先依據(jù)三棱柱為正三棱柱得到面面垂直，然后依據(jù)線線垂直得到線面垂直，進而得到面面垂直；（2）作出協(xié)助線，找到線面角，再利用余弦定理求出的值.【小問1詳解】因為三棱柱為正三棱柱，故是等邊三角形且底面⊥側(cè)面，交線為，因為是中點，所以，所以平面，又因為平面，所以平面平面；【小問2詳解】過點E作EG⊥于點G，因為平面平面，交線為，所以EG⊥平面，故即為與平面所成的角，所以，所以，設(shè)，由勾股定理得：，，，由余弦定理得：，解得：，故20.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿意：，前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項與前項和；（2）記，設(shè)為數(shù)列的前項和，求證．【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）當時，可求得的值，令，由可得，兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項可求得數(shù)列的通項，利用等差數(shù)列的求和公式可求得；（2）證明出，利用裂項相消法可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】解：當時，，因為，解得；當時，由可得，上述兩個等式相減可得，所以，，對隨意的，，故且，故數(shù)列為等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項和公差均為，故，所以，.【小問2詳解】證明：，因為，所以，，因此，.21.已知拋物線：的焦點到準線的距離是．（1）求拋物線方程；（2）設(shè)點是該拋物線上肯定點，過點作圓：（其中）的兩條切線分別交拋物線于點A，B，連接AB．探究：直線AB是否過肯定點，若過，求出該定點坐標；若不經(jīng)過定點，請說明理由．【答案】（1）（2）過定點【解析】【分析】（1）由題意可得，從而可得拋物線方程；（2）由直線與圓相切，可得，，從而可得是方程的兩個根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合直線的方程可求得結(jié)果【小問1詳解】因為拋物線：的焦點到準線的距離是，所以，所以拋物線方程為【小問2詳解】當時，，所以，設(shè)，則直線為，即，因為直線與圓相切，所以，整理得，同理直線與圓相切，可得，所以可得是方程的兩個根，所以，代入化簡得，，令，得，所以直線恒過定點22.已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，證明：．【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)性見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按a值的正負探討符號作