聚焦數(shù)量關(guān)系發(fā)展推理意識

【摘

要】“探索規(guī)律”作為小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)量關(guān)系”主題的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生推理意識的重要途徑。以人教版教材六年級下冊“數(shù)學(xué)思考：探索規(guī)律”的教學(xué)為例，在引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系的過程中，可運(yùn)用發(fā)展學(xué)生推理意識的三個(gè)步驟提升學(xué)生的思維能力。這三個(gè)步驟具體為：深入了解學(xué)情，確定推理意識培養(yǎng)的起點(diǎn)；經(jīng)歷有序思考與歸納推理，培養(yǎng)推理意識；實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的遷移應(yīng)用，提升推理意識?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)量關(guān)系；推理意識；探索規(guī)律《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）指出：“推理意識有助于養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，增強(qiáng)交流能力，是形成推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)?！?022年版課標(biāo)特別關(guān)注對學(xué)生推理意識的培養(yǎng)，并把推理意識列為學(xué)生核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一?！疤剿饕?guī)律”作為小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)量關(guān)系”主題的重要內(nèi)容，不僅有助于學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，解決數(shù)學(xué)問題，還是培養(yǎng)學(xué)生推理意識的重要途徑。因此，教師在教學(xué)“探索規(guī)律”時(shí)，應(yīng)關(guān)注學(xué)生推理意識的發(fā)展。那么，在“探索規(guī)律”的教學(xué)中，如何聚焦數(shù)量關(guān)系，有效發(fā)展學(xué)生的推理意識呢？本文以人教版教材六年級下冊“數(shù)學(xué)思考：探索規(guī)律”的教學(xué)為例，探討如何引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷分析數(shù)量關(guān)系、探索數(shù)學(xué)規(guī)律的過程中，感悟和發(fā)展推理意識。一、深入了解學(xué)情，確定推理意識培養(yǎng)的起點(diǎn)在教學(xué)前，教師要重視分析學(xué)生的原有知識經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知起點(diǎn)。為了更好地開展“探索規(guī)律”的教學(xué)，深入了解學(xué)情，教師在課前對六年級40名學(xué)生（使用人教版教材）進(jìn)行了前測。題目是：同一平面，5個(gè)點(diǎn)最多可以連幾條線段？結(jié)果顯示，學(xué)生主要采用了以下四種解題方法。第一種：1+2+3+4=10（條）。第二種：4+3+2+1=10（條）。第三種：（5-1）×5÷2=10（條）。第四種：C[25]=[5×42×1]=10（條）。其中，有2名學(xué)生采用第一種方法，與教材呈現(xiàn)的方法一致。有27名學(xué)生采用第二種方法，這是運(yùn)用二年級學(xué)過的解題經(jīng)驗(yàn)解決問題。有4名學(xué)生采用第三種方法，有1名學(xué)生采用第四種方法。進(jìn)一步了解得知，采用第三種和第四種方法的學(xué)生都是在課外習(xí)得方法的。另外還有部分學(xué)生沒有得出正確答案。分析學(xué)生的解題過程，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都具備利用畫圖和推理等方法解決問題的能力，但也有近一半的學(xué)生在解題時(shí)存在困難，如找不到切入點(diǎn)、思考無序，或不會利用數(shù)量關(guān)系進(jìn)行類比歸納，從而得出規(guī)律，等等?；谏鲜銮闆r，在“數(shù)學(xué)思考：探索規(guī)律”的教學(xué)中，教師應(yīng)采取有效措施，幫助學(xué)生弄清題意，找到解題的切入點(diǎn)；借助學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，使其從無序思考走向有序思考；注重對問題中數(shù)量關(guān)系的分析，在揭示隱含的規(guī)律的過程中，使學(xué)生形成與提升推理意識，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。二、經(jīng)歷有序思考與歸納推理，培養(yǎng)推理意識要培養(yǎng)學(xué)生的推理意識，必須讓學(xué)生親身經(jīng)歷推理的過程，在分析問題、解決問題的過程中體驗(yàn)推理、感悟推理、反思推理?；趯W(xué)生的前測情況，“探索規(guī)律”的教學(xué)應(yīng)聚焦于培養(yǎng)學(xué)生通過有序思考與類比歸納得出數(shù)學(xué)規(guī)律的能力。（一）尋找解決問題的切入點(diǎn)，指向有序思考小學(xué)生的思維以直觀形象思維為主，缺乏邏輯性和條理性。因此，他們面臨數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常感到迷茫和困惑，難以迅速找到正確的解題思路，可能會隨意猜測或錯(cuò)誤嘗試，甚至直接選擇放棄。這實(shí)際上為培養(yǎng)學(xué)生的有序思考和推理意識提供了寶貴的契機(jī)。教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生逐步進(jìn)行分析和推理，有效促進(jìn)他們推理意識的發(fā)展。教學(xué)時(shí)，教師先出示問題：同一平面，100個(gè)點(diǎn)最多可以連幾條線段？（如圖1）起初，多數(shù)學(xué)生會盲目亂猜。于是，為了引導(dǎo)學(xué)生找到解決問題的關(guān)鍵，教師提問：你打算如何解決這個(gè)問題？學(xué)生主要有以下三種思路。第一種：連線段時(shí)應(yīng)該按照一定的順序畫，否則會非常雜亂。第二種：當(dāng)研究的點(diǎn)數(shù)較少時(shí)，可以通過畫圖驗(yàn)證，進(jìn)而推導(dǎo)出數(shù)學(xué)規(guī)律。第三種：先研究2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)……尋找其中的規(guī)律，再來解決這個(gè)問題。在交流討論的過程中，學(xué)生逐漸認(rèn)識到可以從簡單情況入手，然后逐步過渡到復(fù)雜的情況。教師可引導(dǎo)學(xué)生先思考少數(shù)幾個(gè)點(diǎn)連線段的方法。由于連線段至少需要2個(gè)點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)該先看2個(gè)點(diǎn)連線的情況。然后隨著點(diǎn)數(shù)逐步增多，得到更多個(gè)點(diǎn)連線段的情況。這種解題思路的轉(zhuǎn)變，驅(qū)動學(xué)生從無序思考走向有序思考，而有序思考對于提高學(xué)生的思維能力具有重要意義。教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思維過程，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考、勇于嘗試，并在他們遇到困難時(shí)給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和支持，通過培養(yǎng)學(xué)生有序思考的習(xí)慣，為他們做題乃至未來的學(xué)習(xí)和生活奠定良好基礎(chǔ)。（二）突出數(shù)量關(guān)系分析，感悟推理的條理性在解決問題的過程中，關(guān)鍵環(huán)節(jié)決定了問題能否順利解決。因此，對這些關(guān)鍵環(huán)節(jié)的把握是解決問題的核心。在“數(shù)學(xué)思考：探索規(guī)律”的教學(xué)中，1～4個(gè)點(diǎn)連線段的問題對學(xué)生來說并不困難（這是二年級的教學(xué)內(nèi)容），但當(dāng)問題轉(zhuǎn)變?yōu)椤?個(gè)點(diǎn)最多可以連幾條線段？”時(shí)，其復(fù)雜性就顯著增加。此外，這一情形下數(shù)量關(guān)系的分析對于探索一般規(guī)律有極大的示范與遷移作用。因此，“5個(gè)點(diǎn)最多可以連多少條線段？”的問題就成了探索規(guī)律的關(guān)鍵。為突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，教師設(shè)計(jì)了如下學(xué)習(xí)單（如圖2）。出示學(xué)習(xí)單后，教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后合作交流，并對部分學(xué)生進(jìn)行有針對性的指導(dǎo)。隨后收集學(xué)生作品（如圖3），并請學(xué)生介紹相應(yīng)的思考過程。學(xué)生的思考過程具體如下。第一種：從點(diǎn)A出發(fā)，與其余4個(gè)點(diǎn)B、C、D、E分別相連，得到4條線段AB、AC、AD、AE；接著，從點(diǎn)B出發(fā)，與剩余的3個(gè)點(diǎn)C、D、E分別相連，得到3條線段BC、BD、BE；然后，從點(diǎn)C出發(fā)，與剩余的2個(gè)點(diǎn)D、E分別相連，得到2條線段CD、CE；最后，將點(diǎn)D與點(diǎn)E相連，得到1條線段DE。共計(jì)10條線段，算式為4+3+2+1=10（條）。第二種：先連接點(diǎn)a與點(diǎn)b，得到1條線段ab；再增加點(diǎn)c，與前面的點(diǎn)a、點(diǎn)b分別相連，得到2條線段ac、bc；接著增加點(diǎn)d，與前面的點(diǎn)a、點(diǎn)b、點(diǎn)c分別相連，得到3條線段ad、bd、cd；最后增加點(diǎn)e，與前面的點(diǎn)a、點(diǎn)b、點(diǎn)c、點(diǎn)d分別相連，得到4條線段ae、be、ce、de。共計(jì)10條線段，算式為1+2+3+4=10（條）。第三種：從點(diǎn)A出發(fā)，與其他4個(gè)點(diǎn)分別相連，得到4條線段AB、AC、AD、AE。同理，從點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D、點(diǎn)E出發(fā)，也能各自得到4條線段。但每兩點(diǎn)之間的線段都被重復(fù)計(jì)算了一次，實(shí)際的線段數(shù)量需要除以2。因此，總的線段數(shù)量為4×5÷2=10（條）。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生討論、比較三種思考過程。第一種思路是學(xué)生相對熟悉的計(jì)算方法，這個(gè)過程實(shí)際上是按照從大到小的順序進(jìn)行的求和。第二種思路則是從最簡單的情況開始，逐步增加點(diǎn)數(shù)，最終得到5個(gè)點(diǎn)的連線情況，即1～4的所有整數(shù)之和。第三種思路則是從每個(gè)點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行計(jì)算，考慮到它可以與其他所有點(diǎn)連線，因而最終需要通過除以2去除重復(fù)計(jì)算。雖然這三種思路的具體方法不同，但得出的結(jié)果卻是一致的。這體現(xiàn)了推理的豐富性與內(nèi)在的一致性，也展示了邏輯推理的合理性。由此，通過探究5個(gè)點(diǎn)最多可以連幾條線段的問題，為探究更一般的數(shù)學(xué)規(guī)律提供了具有借鑒價(jià)值的思路。（三）揭示數(shù)量之間的內(nèi)在關(guān)系，體驗(yàn)類比歸納推理推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟，體現(xiàn)為能夠通過簡單的類比或歸納，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論。在“數(shù)學(xué)思考：探索規(guī)律”的教學(xué)中，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析不同情境下的數(shù)量關(guān)系，揭示其內(nèi)在的一致性，并通過類比和歸納，得出更一般的數(shù)學(xué)規(guī)律。這種推理過程不僅能夠加深學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的理解，還能培養(yǎng)他們分析問題、解決問題的能力以及抽象思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?；仡檶W(xué)生初步探索規(guī)律的過程可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)面對2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)、4個(gè)點(diǎn)時(shí)，大多數(shù)學(xué)生選擇使用圖式進(jìn)行表征，并通過數(shù)線段條數(shù)得到結(jié)果。然而，當(dāng)研究5個(gè)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生使用的方法開始分化：一部分學(xué)生直接畫出5個(gè)點(diǎn)，然后連線并計(jì)算線段數(shù)；另一部分學(xué)生則回顧并反思2、3、4個(gè)點(diǎn)連線的線段數(shù)，分析每種情況中點(diǎn)數(shù)與線段數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，從而猜測或發(fā)現(xiàn)5個(gè)點(diǎn)可以連的線段數(shù)（為了驗(yàn)證結(jié)果，不少學(xué)生還會通過實(shí)際連線并計(jì)算線段數(shù)進(jìn)行確認(rèn)）。在深入分析5個(gè)點(diǎn)連線段的情況后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究6個(gè)點(diǎn)、8個(gè)點(diǎn)的連線情況。此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)不再使用畫圖連線、數(shù)線段的方法，而是基于前面的觀察、比較和類推，直接得出線段數(shù)分別為6×5÷2=15（條）和8×7÷2=28（條）。通過推理，學(xué)生可以歸納出100個(gè)點(diǎn)、1000個(gè)點(diǎn)、10000個(gè)點(diǎn)乃至n個(gè)點(diǎn)可以連的線段數(shù)（如表1）。這不僅是對數(shù)量的簡單計(jì)數(shù)，還是一種深入探究數(shù)量之間關(guān)系的類比歸納推理的過程。此時(shí)，學(xué)生不再依靠直觀計(jì)數(shù)，而是運(yùn)用比較、類比、歸納等方式，從少量點(diǎn)的連線情況中提煉出更多點(diǎn)的連線情況，甚至用代數(shù)方法推導(dǎo)出n個(gè)點(diǎn)可以連的線段數(shù)的通用公式。借助這一形式化的公式，學(xué)生通過代入不同的數(shù)值，得到在不同點(diǎn)可以連的線段數(shù)。學(xué)生對這種推理過程的體驗(yàn)，必將深化其對數(shù)量關(guān)系的理解與運(yùn)用，提高其分析問題與解決問題的能力。三、實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的遷移應(yīng)用，提升推理意識學(xué)生在解決了“同一平面，n個(gè)點(diǎn)最多可以連幾條線段？”的問題后，感受到推理的魅力與價(jià)值，探索數(shù)學(xué)問題的欲望得到激發(fā)。此時(shí)，教師應(yīng)該設(shè)計(jì)富有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已掌握的方法，探尋新規(guī)律，解決新問題，以便深入理解數(shù)量關(guān)系，提升推理意識。例如，在學(xué)習(xí)新課內(nèi)容后，教師可以出示這樣兩個(gè)問題。1.有15名同學(xué)參加羽毛球單打比賽，如果每兩人之間進(jìn)行一場比賽，一共要比賽幾場？2.觀察下圖（如圖4），想一想，依次排下去，第15幅圖有多少顆棋子？第n幅圖呢？面對這些問題，學(xué)生需要思考新問題與已有數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)第1題中的問題與“同一平面，15個(gè)點(diǎn)最多可以連幾條線段？”類似，可以借助已學(xué)方法解決。同樣，要得出第2題中“第15幅圖或第n幅圖中有多少顆棋子”的結(jié)果，也要經(jīng)歷觀察、分析、類比等過程，從簡單情形中歸納出適用于復(fù)雜情形的解決方法。學(xué)生運(yùn)用已有的解決問題的方法獲得推理方法，并將其遷移到新的問題中，通過實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、類比和歸納得出結(jié)論。這種思考新問題、解決新問題的方式與習(xí)慣，不僅提高了學(xué)生揭示問題中數(shù)量關(guān)系的能力，還培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力、模型意識及