新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第10章概率10.1隨機(jī)事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件學(xué)案新人教A版必修第二冊(cè)

10．1.1有限樣本空間與隨機(jī)事務(wù)課標(biāo)要求結(jié)合詳細(xì)實(shí)例，理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事務(wù)與樣本點(diǎn)的關(guān)系．素養(yǎng)要求能夠在實(shí)際問(wèn)題中抽象出隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事務(wù)的概念，能夠用樣本空間去說(shuō)明相關(guān)問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).學(xué)問(wèn)點(diǎn)1隨機(jī)試驗(yàn)及樣本空間1．隨機(jī)試驗(yàn)的概念和特點(diǎn)(1)隨機(jī)試驗(yàn)：我們把對(duì)_隨機(jī)現(xiàn)象__的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的視察稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)試驗(yàn)，常用字母E來(lái)表示．(2)隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)：①試驗(yàn)可以在相同條件下_重復(fù)__進(jìn)行；②試驗(yàn)的全部可能結(jié)果是_明確可知__的，并且不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．2．樣本點(diǎn)和樣本空間定義字母表示樣本點(diǎn)我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的_每個(gè)可能的基本結(jié)果__稱(chēng)為樣本點(diǎn)用_w__表示樣本點(diǎn)樣本空間全體_樣本點(diǎn)__的集合稱(chēng)為試驗(yàn)E的樣本空間用_Ω__表示樣本空間有限樣本空間假如一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果w1，w2，…，wn，則稱(chēng)樣本空間Ω＝{w1，w2，…，wn}為有限樣本空間Ω＝{w1，w2，…，wn}[拓展]關(guān)于樣本點(diǎn)和樣本空間(1)樣本點(diǎn)是指隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果，全體樣本點(diǎn)的集合稱(chēng)為試驗(yàn)的樣本空間；(2)只探討樣本空間為有限集的狀況，即有限樣本空間．練一練：從標(biāo)有1,2,3,4,5的5張卡片中任取兩張，視察取出的卡片上的數(shù)字．(1)寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)求這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù)；(3)“數(shù)字之和為5”這一事務(wù)包含哪幾個(gè)樣本點(diǎn)？[解析](1)這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}((1,2)表示抽出標(biāo)有1,2的兩張卡片)．(2)樣本點(diǎn)的總數(shù)是10.(3)“數(shù)字之和為5”這一事務(wù)包含以下兩個(gè)樣本點(diǎn)：(1,4)，(2,3)．學(xué)問(wèn)點(diǎn)2三種事務(wù)的定義隨機(jī)事務(wù)我們將樣本空間Ω的_子集__稱(chēng)為隨機(jī)事務(wù)，簡(jiǎn)稱(chēng)事務(wù)，并把只包含_一個(gè)__樣本點(diǎn)的事務(wù)稱(chēng)為基本領(lǐng)件，隨機(jī)事務(wù)一般用大寫(xiě)字母A，B，C，…表示．在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱(chēng)為事務(wù)A發(fā)生必定事務(wù)Ω作為自身的子集，包含了_全部的__樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會(huì)發(fā)生，我們稱(chēng)Ω為必定事務(wù)不行能事務(wù)空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱(chēng)?為不行能事務(wù)[提示](1)隨機(jī)事務(wù)是樣本空間的子集．隨機(jī)事務(wù)是由若干個(gè)基本領(lǐng)件構(gòu)成的，當(dāng)然，基本領(lǐng)件也是隨機(jī)事務(wù)．(2)必定事務(wù)與不行能事務(wù)不具有隨機(jī)性，是隨機(jī)事務(wù)的兩個(gè)極端情形．練一練：(多選題)下列事務(wù)中是隨機(jī)事務(wù)的是(AD)A．連續(xù)擲一枚硬幣兩次、兩次都出現(xiàn)正面朝上B．異性電荷相互吸引C．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1℃結(jié)冰D．買(mǎi)一注彩票中了特等獎(jiǎng)[解析]A、D是隨機(jī)事務(wù)，B為必定事務(wù)，C為不行能事務(wù)．題型探究題型一事務(wù)類(lèi)型的推斷典例1在下列事務(wù)中，哪些是必定事務(wù)？哪些是不行能事務(wù)？哪些是隨機(jī)事務(wù)？(1)假如a、b都是實(shí)數(shù)，那么a＋b＝b＋a；(2)從分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6的6張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼玫?號(hào)簽；(3)沒(méi)有水分，種子發(fā)芽；(4)某電話總機(jī)在60秒內(nèi)接到至少15個(gè)電話；(5)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的溫度達(dá)到50℃時(shí)會(huì)沸騰；(6)同性電荷相互排斥．[分析]依據(jù)事務(wù)的分類(lèi)及其定義，在給出的條件下，推斷事務(wù)是否發(fā)生．[解析]結(jié)合必定事務(wù)、不行能事務(wù)、隨機(jī)事務(wù)的定義可知．(1)對(duì)隨意實(shí)數(shù)，都滿(mǎn)意加法的交換律，故此事務(wù)是必定事務(wù)．(2)從6張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，得?號(hào)簽，此事務(wù)可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故此事務(wù)是隨機(jī)事務(wù)．(3)相宜的溫度和足夠的水分，是種子萌發(fā)不行缺少的兩個(gè)條件，沒(méi)有水分，種子就不行能發(fā)芽，故此事務(wù)是不行能事務(wù)．(4)電話總機(jī)在60秒內(nèi)接到至少15個(gè)電話，此事務(wù)可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故此事務(wù)是隨機(jī)事務(wù)．(5)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的溫度達(dá)到100℃時(shí)，起先沸騰，水溫達(dá)到50℃，水不會(huì)沸騰，故此事務(wù)是不行能事務(wù)．(6)依據(jù)“同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引”的原理推斷，該事務(wù)是必定事務(wù)．[歸納提升]推斷一個(gè)事務(wù)是隨機(jī)事務(wù)、必定事務(wù)還是不行能事務(wù)，首先肯定要看條件，其次是看在該條件下所探討的事務(wù)是肯定發(fā)生(必定事務(wù))、不肯定發(fā)生(隨機(jī)事務(wù))，還是肯定不發(fā)生(不行能事務(wù))．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?(1)(多選題)下列現(xiàn)象中，是隨機(jī)現(xiàn)象的有(ACD)A．在一條馬路上，交警記錄某一小時(shí)通過(guò)的汽車(chē)超過(guò)300輛B．若a為整數(shù)，則a＋1為整數(shù)C．放射一顆炮彈，命中目標(biāo)D．檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品(2)從100個(gè)同類(lèi)產(chǎn)品(其中有2個(gè)次品)中任取3個(gè)．①三個(gè)正品；②兩個(gè)正品，一個(gè)次品；③一個(gè)正品，兩個(gè)次品；④三個(gè)次品；⑤至少一個(gè)次品；⑥至少一個(gè)正品．其中必定事務(wù)是_⑥__，不行能事務(wù)是_④__，隨機(jī)事務(wù)是_①②③⑤__.(填序號(hào))(3)下列事務(wù)中，不行能事務(wù)為(C)A．鈍角三角形兩個(gè)小角之和小于90°B．三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊C．銳角三角形中兩個(gè)內(nèi)角和小于90°D．三角形中隨意兩邊的和大于第三邊[解析](1)當(dāng)a為整數(shù)時(shí)，a＋1肯定為整數(shù)，是必定現(xiàn)象，其余3個(gè)均為隨機(jī)現(xiàn)象．故選ACD.(2)從100個(gè)同類(lèi)產(chǎn)品(其中有2個(gè)次品)中任取3個(gè)，可能結(jié)果是“三個(gè)全是正品”“兩個(gè)正品一個(gè)次品”“一個(gè)正品兩個(gè)次品”．(3)若兩內(nèi)角的和小于90°，則第三個(gè)內(nèi)角必大于90°，故不是銳角三角形，所以C為不行能事務(wù)，而A，B，D均為必定事務(wù).題型二確定試驗(yàn)的樣本空間典例2下列隨機(jī)事務(wù)中，一次試驗(yàn)各指什么？試寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間．(1)先后拋擲兩枚質(zhì)地勻稱(chēng)的硬幣多次；(2)從集合A＝{a，b，c，d}中任取3個(gè)元素；(3)從集合A＝{a，b，c，d}中任取2個(gè)元素．[解析](1)一次試驗(yàn)是指“先后拋擲兩枚質(zhì)地勻稱(chēng)的硬幣一次”，試驗(yàn)的樣本空間為：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}．(2)一次試驗(yàn)是指“從集合A中一次選取3個(gè)元素組成集合”，試驗(yàn)的樣本空間為：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}．(3)一次試驗(yàn)是指“從集合A中一次選取2個(gè)元素”，試驗(yàn)的樣本空間為：{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}．[歸納提升]不重不漏地列舉試驗(yàn)的全部樣本點(diǎn)的方法(1)結(jié)果是相對(duì)于條件而言的，要弄清試驗(yàn)的結(jié)果，必需首先明確試驗(yàn)中的條件．(2)依據(jù)日常生活閱歷，依據(jù)肯定的依次列舉出全部可能的結(jié)果，可應(yīng)用畫(huà)樹(shù)狀圖、列表等方法解決．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?從含有6件次品的200件產(chǎn)品中任取7件，視察其中次品數(shù)，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的樣本空間，并說(shuō)出事務(wù)A＝{1,2}，B＝{0}的實(shí)際意義．[解析]樣本空間為Ω＝{0,1,2,3,4,5,6}，事務(wù)A＝{1,2}表示抽取的7件產(chǎn)品中，恰有一件次品或恰有兩件次品，事務(wù)B＝{0}表示抽取的7件產(chǎn)品中，沒(méi)有次品.題型三隨機(jī)事務(wù)的表示典例3一個(gè)口袋內(nèi)裝有除顏色外完全相同的5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中一次摸出2個(gè)球．(1)一共有多少個(gè)樣本點(diǎn)？(2)寫(xiě)出“2個(gè)球都是白球”這一事務(wù)的集合表示．[解析](1)分別記白球?yàn)?,2,3號(hào)，黑球?yàn)?,5號(hào)，則這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個(gè)[其中(1,2)表示摸到1號(hào)球和2號(hào)球]．(2)記A表示“2個(gè)球都是白球”這一事務(wù)，則A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}．[歸納提升]1.推斷隨機(jī)事務(wù)的結(jié)果是相對(duì)于條件而言的，要確定樣本空間，(1)必需明確事務(wù)發(fā)生的條件；(2)依據(jù)題意，按肯定的次序列出全部樣本點(diǎn)．特殊要留意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，按規(guī)律去寫(xiě)，要做到既不重復(fù)也不遺漏．2．試驗(yàn)中當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果不唯一時(shí)，肯定要將各種可能都要考慮到，尤其是有依次和無(wú)依次的狀況最易出錯(cuò)．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?做拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子的試驗(yàn)，用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示紅色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示藍(lán)色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．寫(xiě)出：(1)這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)指出事務(wù)A＝{(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)}的含義；(3)寫(xiě)出“點(diǎn)數(shù)之和大于8”這一事務(wù)的集合表示．[解析](1)這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω為{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．(2)事務(wù)A的含義為拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)之和為7.(3)記B＝“點(diǎn)數(shù)之和大于8”，則B＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．易錯(cuò)警示忽視試驗(yàn)結(jié)果與依次的關(guān)系而致誤典例4已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，從這兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)．(1)寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的基本領(lǐng)件空間；(2)求這個(gè)試驗(yàn)的基本領(lǐng)件的總數(shù)．[錯(cuò)解](1)這個(gè)試驗(yàn)的基本領(lǐng)件空間Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)}．(2)這個(gè)試驗(yàn)的基本領(lǐng)件的總數(shù)是6.[錯(cuò)因分析]題中要求從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，所以集合N中的元素也可以作為橫坐標(biāo)，錯(cuò)解中少了以下基本領(lǐng)件：(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)．[正解](1)這個(gè)試驗(yàn)的基本領(lǐng)件空間Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)}．(2)這個(gè)試驗(yàn)的基本領(lǐng)件的總數(shù)是12.對(duì)點(diǎn)練習(xí)?同時(shí)拋擲兩枚大小相同的骰子，用(x，y)表示結(jié)果，記A為“所得點(diǎn)數(shù)之和小于5”，則事務(wù)A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(D)A．3 B．4C．5 D．6[解析](1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6個(gè)樣本點(diǎn)．1．給出下列事務(wù)：①任取一個(gè)整數(shù)，能被2整除；②小明同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中成果肯定不低于120分；③甲、乙兩人進(jìn)行競(jìng)技競(jìng)賽，甲的實(shí)力遠(yuǎn)勝于乙，在一次競(jìng)賽中甲獲勝；④當(dāng)圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍時(shí)，圓的面積是原來(lái)的4倍，其中隨機(jī)事務(wù)的個(gè)數(shù)是(B)A．1 B．3C．0 D．4[解析]①②③為隨機(jī)事務(wù)，④為必定事務(wù)．2．一個(gè)家庭有兩個(gè)小孩兒，則可能的結(jié)果為(C)A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．{(男，女)，(女，男)}C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．{(男，男)，(女，女)}[解析]隨機(jī)試驗(yàn)的全部結(jié)果要保證等可能性．兩個(gè)小孩兒有大小之分，所以(男，女)與(女，男)是不同的樣本點(diǎn)．3．一個(gè)不透亮的袋子中裝有5個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球的大小、質(zhì)地完全相同，隨機(jī)從袋子中摸出4個(gè)球，則下列事務(wù)是必定事務(wù)的是(B)A．摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)是白球B．摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)是黑球C．摸出的4個(gè)球中至少有兩個(gè)是黑球D．摸出的4個(gè)球中至少有兩個(gè)是白球[解析]因?yàn)榇杏写笮?、質(zhì)地完全相同的5個(gè)黑球和3個(gè)白球，所以從中任取4個(gè)球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四種狀況．故事務(wù)“摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)是白球”是隨機(jī)事務(wù)，故A錯(cuò)誤；事務(wù)“摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)是黑球”是必定事務(wù)，故B正確；事務(wù)“摸出的4個(gè)球中至少有兩個(gè)是黑球”是隨機(jī)事務(wù)，故C錯(cuò)誤；事務(wù)“摸出的4個(gè)球中至少有兩個(gè)是白球”是隨機(jī)事務(wù)，故D錯(cuò)誤．故選B.4．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，從集合A中選取不相同的兩個(gè)數(shù)，構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)，視察點(diǎn)的位置，則事務(wù)“點(diǎn)落在x軸上”包含的樣本點(diǎn)共有(C)A．7個(gè) B．8個(gè)C．9個(gè) D