2024徐州中考數(shù)學(xué)二輪重難題型專題訓(xùn)練 題型五 反比例函數(shù)與幾何圖形綜合題 (含答案)

2024徐州中考數(shù)學(xué)二輪重難題型專題訓(xùn)練題型五反比例函數(shù)與幾何圖形綜合題典例精講例如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A，B分別在y軸、x軸的正半軸上，△AOB的兩條外角平分線交于點P，P在反比例函數(shù)y＝eq\f(9,x)的圖象上，PA的延長線交x軸于點C，PB的延長線交y軸于點D，連接CD.例題圖(1)求∠P的度數(shù)及點P的坐標(biāo)；【思維教練】要求∠P的角度，由題可知，點P為△AOB的兩條外角平分線的交點，在△AOB中，由∠OAB＋∠OBA＝90°可得∠PAB＋∠PBA＝135°，從而得到∠P的度數(shù)；要求點P的坐標(biāo)，即過P作PE⊥x軸、PF⊥y軸、PG⊥AB，由角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得PE＝PG＝PF，然后代入反比例函數(shù)關(guān)系式中求解即可．(2)求△OCD的面積；【思維教練】要求△OCD的面積，即求OC，OD的長，連接OP，由(1)可得∠POB＝45°，結(jié)合∠P的度數(shù)，通過角度間等量代換可得∠OCP＝∠OPD，即可得到△OCP∽△OPD，列比例得到OC，OD與OP的關(guān)系，再由點P的坐標(biāo)求解即可．(3)△AOB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積；若不存在，請說明理由．【思維教練】要求△AOB面積的最大值，由題可知A、B為動點，則需通過面積轉(zhuǎn)化求解．此題為半角模型，則可將△PEB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PFM，通過證明可得到△PAB≌△PAM，則S△AOB＝S正方形PFOE－2S△APB，要使△AOB的面積存在最大值，即使△APB的面積有最小值，由(1)可知△APB的高為定值，即要使底邊AB最小，由∠P＝45°，再結(jié)合定弦對定角，可作△APB的外接圓⊙N，取AB的中點Q，利用直角三角形的性質(zhì)，將OQ，QN，NP用AB表示出來，當(dāng)P，N，Q，O四點共線時，OQ＋QN＋NP最短，即AB有最小值，從而求出△AOB面積的最大值．徐州近年中考真題精選1.如圖，將透明三角形紙片PAB的直角頂點P落在第四象限，頂點A、B分別落在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)圖象的兩支上，且PB⊥x軸于點C，PA⊥y軸于點D，AB分別與x軸、y軸相交于點E、F.已知B(1，3)．(1)k＝________；(2)試證明：AE＝BF；(3)當(dāng)四邊形ABCD的面積為eq\f(21,4)時，求點P的坐標(biāo)．第1題圖2如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分別以O(shè)A、OC所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，D是邊CB上一個動點(不與C、B重合)，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k>0)的圖象經(jīng)過點D且與邊BA交于點E，連接DE.(1)連接OE，若△EOA的面積是2，則k＝________；(2)連接CA，DE與CA是否平行？請說明理由；(3)是否存在點D，使得點B關(guān)于DE的對稱點在OC上？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．針對訓(xùn)練1.如圖①，點A是反比例函數(shù)y＝eq\f(4,x)的圖象在第一象限內(nèi)一動點，過點A作AC⊥x軸于點C，連接OA并延長到點B，過點B作BD⊥x軸于點D，交反比例函數(shù)圖象于點E，連接OE.(1)若S△OBE＝6，求經(jīng)過點B的反比例函數(shù)解析式；(2)如圖②，若點A是OB的中點．①當(dāng)點A的橫坐標(biāo)為2時，求點E的坐標(biāo)；②過點B作BF⊥y軸于點F，交反比例函數(shù)圖象于點G.小徐認(rèn)為此時一定存在S△ABE＝S△ABG，你是否認(rèn)同他的觀點，并說明理由．第1題圖2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A(1，4)、B(a，b)，其中a＞1，直線AB交y軸于點E，過點A作x軸的垂線，垂足為C，過點B作y軸的垂線，垂足為D，AC與BD相交于點M，連接CD.(1)若△ABD的面積為4，求點B的坐標(biāo)；(2)求證：AB∥CD；(3)若點B的坐標(biāo)為(2，2)，在y軸上是否存在一點P，使PA＋PB的值最小，若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．第2題圖參考答案典例精講例解：(1)∵PA、PB為△OAB的兩條外角平分線，∠AOB＝90°，∴∠OAB＋∠OBA＝180°－90°＝90°，∴∠PAB＋∠PBA＝eq\f(1,2)×(360°－90°)＝135°，∴∠P＝180°－135°＝45°.(1分)如解圖①，過點P作x軸、y軸、AB的垂線，垂足分別為E、F和G.∵AP、BP為△OAB的兩條外角平分線，∴PF＝PG，PE＝PG，∴PF＝PE，∴點P在∠AOB的平分線上，可設(shè)P(a，a)(a＞0)．(2分)∵點P在函數(shù)y＝eq\f(9,x)的圖象上，∴a＝eq\f(9,a)，解得a＝3或a＝－3(舍去)．∴點P(3，3)；(3分)圖①圖②例題解圖(2)如解圖②，連接OP，∵點P在∠AOB的平分線上，∴∠POA＝∠POB＝45°，∴∠POC＝∠POD＝90°＋45°＝135°，在△OCP中，∠OCP＋∠OPC＝45°.∵∠OPC＋∠OPD＝∠APB＝45°，∴∠OCP＝∠OPD，∴△OCP∽△OPD，(4分)∴eq\f(OC,OP)＝eq\f(OP,OD)，即OC·OD＝OP2，∴S△OCD＝eq\f(1,2)OC·OD＝eq\f(1,2)OP2.(5分)∵點P(3，3)，∴OP2＝32＋32＝18，∴S△OCD＝eq\f(1,2)OC·OD＝eq\f(1,2)OP2＝eq\f(1,2)×18＝9；(6分)(3)存在，如解圖③，將△PEB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△PFM.在△PAB和△PAM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PB＝PM，,∠BPA＝∠MPA＝45°,PA＝PA，))，∴△PAB≌△PAM(SAS)．(7分)∴S△PAB＝S△PAM＝S△PAF＋S△PBE，△PAB的高PG＝PF＝3.∴在正方形PFOE中，S△OAB＝S正方形PFOE－2S△APB＝9－AB·PG＝9－3AB.(8分)∴當(dāng)AB有最小值時，S△OAB有最大值．如解圖④，作△PAB的外接圓⊙N，連接NP、NA、NB，則NP＝NA＝NB.∵∠APB＝45°，∴∠ANB＝90°，取AB的中點Q，連接NQ、OQ.∵當(dāng)P、N、Q、O四點共線時，PN＋NQ＋QO最短．(9分)設(shè)AB＝x，則PN＝eq\f(\r(2),2)x，NQ＝eq\f(1,2)x，OQ＝eq\f(1,2)x.∴PN＋NQ＋QO＝eq\f(\r(2),2)x＋eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)x有最小值3eq\r(2)，此時x＝6eq\r(2)－6.即AB有最小值6eq\r(2)－6.(10分)∴S△OAB有最大值為9－3AB＝9－3×(6eq\r(2)－6)＝27－18eq\r(2).(11分)圖③圖④例題解圖徐州近年中考真題精選1.(1)解：3；(2分)【解法提示】把B(1，3)代入y＝eq\f(k,x)得k＝1×3＝3.(2)證明：由題意得△PCD∽△PBA，∴∠PCD＝∠PBA，∴CD∥BA.又∵BC∥DF，AD∥EC，∴四邊形BCDF、ADCE都是平行四邊形，∴BF＝CD，AE＝CD，∴AE＝BF；(6分)(3)解：∵S四邊形ABCD＝S△PAB－S△PCD，設(shè)點A坐標(biāo)為(a，eq\f(3,a))，∴P(1，eq\f(3,a))，D(0，eq\f(3,a))，∴eq\f(1,2)×(3－eq\f(3,a))·(1－a)－eq\f(1,2)×1·(－eq\f(3,a))＝eq\f(21,4)，整理得6a＋9＝0，解得a＝－eq\f(3,2)，∴點P的坐標(biāo)為(1，－2)．(10分)2.解：(1)4；(2分)(2)平行．理由如下：(3分)如解圖①，連接AC，設(shè)D(x，5)，E(3，eq\f(5,3)x)，則BD＝3－x，BE＝5－eq\f(5,3)x，∴eq\f(BD,BE)＝eq\f(3,5).又∵eq\f(BC,AB)＝eq\f(3,5)，∴eq\f(BD,BE)＝eq\f(BC,AB)，∴DE∥AC；(5分)圖①圖②第2題解圖(3)存在，理由如下：設(shè)D(x，5)，E(3，eq\f(5,3)x)，則CD＝x，BD＝3－x，AE＝eq\f(5,3)x，BE＝5－eq\f(5,3)x，如解圖②，過點E作EF⊥OC，垂足為點F，∵DE垂平分BB′，∴∠B′BE＝∠BB′E，∠B′BD＝∠BB′D，又∵∠B′BE＋∠DBB′＝90°，∴∠BB′E＋∠BB′D＝90°，即∠DB′E＝90°，∴∠DB′C＋∠FB′E＝90°，∵∠FEB′＋∠FB′E＝90°，∴∠DB′C＝∠FEB′，∵∠DCB′＝∠EFB′＝90°，∴△DCB′∽△B′FE；∴eq\f(B′E,DB′)＝eq\f(B′F,DC)，即eq\f(5－\f(5,3)x,3－x)＝eq\f(B′F,x)，∴B′F＝eq\f(5,3)x，∴OB′＝B′F＋OF＝B′F＋AE＝eq\f(5,3)x＋eq\f(5,3)x＝eq\f(10,3)x，∴CB′＝OC－OB′＝5－eq\f(10,3)x(x≠1.5)，在Rt△B′CD中，CB′＝5－eq\f(10,3)x，CD＝x，B′D＝BD＝3－x，由勾股定理得CB′2＋CD2＝B′D2，即(5－eq\f(10,3)x)2＋x2＝(3－x)2，解得x1＝1.5(舍去)，x2＝0.96，∴點D的坐標(biāo)為(0.96，5)．(8分)針對訓(xùn)練1.解：(1)設(shè)點E的坐標(biāo)為(x，y)，∵點E在反比例函數(shù)y＝eq\f(4,x)的圖象上，∴xy＝4，則eq\f(1,2)xy＝2，∴S△ODE＝2，又∵S△OBE＝6，∴S△OBD＝8，∴過點B的反比例函數(shù)解析式為y＝eq\f(16,x)；(2)①將點A的橫坐標(biāo)代入y＝eq\f(4,x)中得y＝eq\f(4,2)＝2，∴點A的坐標(biāo)為(2，2)，∵點A是OB的中點，∴點B的坐標(biāo)為(4，4)，∵BD⊥x軸，且與反比例函數(shù)的圖象交于點E，∴點E和點B的橫坐標(biāo)相等，∵點E在反比例函數(shù)y＝eq\f(4,x)的圖象上，∴當(dāng)x＝4時，y＝eq\f(4,4)＝1，∴點E的坐標(biāo)為(4，1)；第1題解圖②認(rèn)同．理由如下：如解圖，連接OG、AG、AE.∵BD⊥x軸，BF⊥y軸，∠DOF＝90°，∴四邊形ODBF為矩形，∴S△OBF＝S△OBD，∵點E、G為反比例函數(shù)y＝eq\f(4,x)的圖象上的點，∴S△OFG＝S△ODE，∴S△OBG＝S△OBE，∵點A是OB的中點，∴S△ABG＝eq\f(1,2)S△OBG，S△ABE＝eq\f(1,2)S△OBE，∴S△ABG＝S△ABE，∴認(rèn)同小徐的觀點．2.(1)解：將A(1，4)代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝eq\f(m,x)中，得m＝4，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝eq\f(4,x)，∵B(a，b)，∴S△ABD＝eq\f(1,2)BD·AM＝eq\f(1,2)a(4－b)＝4，又∵B(a，b)在反比例函數(shù)y＝eq\f(4,x)的圖象上，∴ab＝4，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a（4－b）＝4,ab＝4)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝\f(4,3))))，∴B(3，eq\f(4,3))；(2)證明：由(1)知ab＝4，∴B(eq\f(4,b)，b)，設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y＝mx＋n，將A(1，4)、B(eq\f(4,b)，b)分別代入得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4,m·\f(4,b)＋n＝b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－b,n＝b＋4))，∴直線AB的函數(shù)解析式為y＝－bx＋b＋4，∴E(0，b＋4)，∵BD⊥y軸，AC⊥x軸，∴D(0，b)，∴DE＝b＋4－b＝4，∵A(1，4)，∴AC＝4，∴DE＝AC，∵DE∥AC，∴四邊形ACDE為平行四邊形，∴AB∥CD；(3)解：存在，理由如下：如解圖，作點A關(guān)于y軸對稱的點A′，連接A′B，與y軸交于點P，則P點為所求點，此時PA＋PB的值最小，∵A(1，4)、B