2024云南中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 題型五 二次函數(shù)性質(zhì)綜合題（課件）

題型五二次函數(shù)性質(zhì)綜合題類型一函數(shù)性質(zhì)計(jì)算(1)若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求k的取值范圍；【思維引導(dǎo)】由拋物線的圖象與一元二次方程的關(guān)系可知，當(dāng)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，所對(duì)應(yīng)的拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，利用一元二次方程根的判別式即可求解．典例精講一題多設(shè)問(wèn)已知拋物線y＝x2＋(2k－1)x＋k2－1.例1解：(1)令y＝x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0，∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5＞0，解得k＜

；(2)若直線y＝1與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，求k的值；【思維引導(dǎo)】直線y＝1與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，說(shuō)明直線y＝1過(guò)拋物線的頂點(diǎn)，即拋物線的最小值是1，再根據(jù)拋物線的最值公式列方程求解．(2)∵直線y＝1與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，∴直線y＝1過(guò)拋物線的頂點(diǎn)．∴y＝x2＋(2k－1)x＋k2－1的最小值為1.∴

＝1.解得k＝

；(3)若拋物線過(guò)點(diǎn)P(－2，t)、Q(4，t)，求k的值；【思維引導(dǎo)】由點(diǎn)P和點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)相同可知兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，據(jù)此可求出拋物線的對(duì)稱軸，再結(jié)合拋物線對(duì)稱軸的公式列方程即可求解．(3)∵點(diǎn)P(－2，t)、Q(4，t)的縱坐標(biāo)相同，∴點(diǎn)P(－2，t)與點(diǎn)Q(4，t)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝

＝1.∴

＝1.解得k＝－

；(4)若x＜3時(shí)，y隨x的增大而減小，求k的取值范圍；【思維引導(dǎo)】拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而減小，說(shuō)明拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝3或在直線x＝3的右側(cè)，據(jù)此可列不等式求解．(4)∵拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而減小，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝3或在直線x＝3的右側(cè)，∴

≥3.解得k≤－

；(5)若點(diǎn)M(－3，m)，N(2，n)在拋物線上，當(dāng)m＜n時(shí)，求k的取值范圍；【思維引導(dǎo)】因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向上，故離拋物線的對(duì)稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，再利用兩點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)將上述遠(yuǎn)近關(guān)系轉(zhuǎn)換求解．(5)∵拋物線的開(kāi)口向上，m＜n，∴點(diǎn)M離對(duì)稱軸的距離比點(diǎn)N離對(duì)稱軸的距離近．∴

＜

.解得k＞1；(6)當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，y的最大值為2，求k的值．【思維引導(dǎo)】拋物線開(kāi)口向上，所以最大值肯定在區(qū)間端點(diǎn)處取得，且在離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得，因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸不定，需討論在哪個(gè)端點(diǎn)處取得最大值．(6)當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)時(shí)，＜0，解得k＞

.此時(shí)當(dāng)x＝1時(shí)，y最大，即1＋2k－1＋k2－1＝2.整理，得k2＋2k－3＝0.解得k＝－3(舍去)或k＝1；當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)時(shí)，＞0，解得k＜

.此時(shí)，當(dāng)x＝－1時(shí)，y最大，即1－(2k－1)＋k2－1＝2.整理，得k2－2k－1＝0.解得k＝1＋(舍去)或k＝1－.當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸為y軸時(shí)，＝0，解得k＝

，此時(shí)，當(dāng)x＝±1時(shí)，y最大，最大值為1＋(

)2－1＝

，不合題意．綜上所述，k的值是1或1－.1.(2023北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)(1，m)和點(diǎn)(3，n)在拋物線y＝ax2＋bx(a>0)上．(1)若m＝3，n＝15，求該拋物線的對(duì)稱軸；針對(duì)訓(xùn)練解：(1)∵m＝3，n＝15，∴將點(diǎn)(1，3)和點(diǎn)(3，15)分別代入y＝ax2＋bx中，得解得∴拋物線的解析式為y＝x2＋2x，∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝－1；(2)已知點(diǎn)(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在該拋物線上．若mn<0，比較y1，y2，y3的大小，并說(shuō)明理由．(2)∵a>0，mn<0，拋物線過(guò)(0，0)，∴m<0，n>0，∴拋物線的對(duì)稱軸

<x<

，∴點(diǎn)(－1，y1)到對(duì)稱軸的距離

<d1<

，點(diǎn)(2，y2)到對(duì)稱軸的距離

<d2<

，點(diǎn)(4，y3)到對(duì)稱軸的距離

<d3<

，∴d2<d1<d3.∵a>0，∴拋物線上的點(diǎn)距離對(duì)稱軸越近，y值越小，∴y2<y1<y3.2.(2023云南逆襲卷)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋1(a≠0)．(1)若二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，4)，求二次函數(shù)的解析式；解：(1)∵二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴－

＝1，∴b＝－2a.將點(diǎn)(－1，4)代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋1中，得a－b＋1＝4.將b＝－2a代入，得a＋2a＋1＝4，解得a＝1，∴b＝－2，∴該二次函數(shù)的解析式為y＝x2－2x＋1；(2)若a＋b＝－1，判斷該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出相應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)．(2)∵a＋b＝－1，∴b＝－1－a，即y＝ax2＋(－1－a)x＋1，由題意得Δ＝(－1－a)2－4a×1＝(a－1)2≥0，∴該二次函數(shù)圖象與x軸有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)；令y＝0，即ax2＋(－1－a)x＋1＝0，由一元二次方程求根公式可得：x＝

，則當(dāng)二次函數(shù)圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即a－1＝0時(shí)，解得a＝1，此時(shí)x1＝x2＝1，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)；當(dāng)二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則a－1>0，則a>1，此時(shí)x1＝

，x2＝1，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為(

，0)，(1，0)．綜上所述，當(dāng)二次函數(shù)圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)；當(dāng)二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)坐標(biāo)為(

，0)，(1，0)．類型二代數(shù)證明問(wèn)題一題多設(shè)問(wèn)例2已知拋物線y＝ax2＋bx－3a(a≠0)；(1)若a＋b＜0，點(diǎn)P(2，m)(m＞0)在拋物線上，證明：a＜0；【思維引導(dǎo)】由點(diǎn)P在拋物線上可得m與a和b的關(guān)系式，再結(jié)合m＞0和a＋b＜0即可證明．證明：(1)當(dāng)x＝2時(shí)，m＝4a＋2b－3a＝a＋2b＞0.①∵a＋b＜0，∴－a－b＞0.②①＋②得b>0，∴a＜0；(2)若該拋物線的頂點(diǎn)在第二象限，且過(guò)點(diǎn)(1，1)，當(dāng)a＜b時(shí)，證明：－3＜2a＋b＜－1；【思維引導(dǎo)】由一元二次方程根的判別式可知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，再結(jié)合拋物線的頂點(diǎn)在第二象限可判斷出開(kāi)口方向和對(duì)稱軸的正負(fù)；由拋物線過(guò)點(diǎn)(1，1)可得出a與b的關(guān)系，從而將2a＋b化為只含有一個(gè)未知數(shù)的式子，利用a＜b和對(duì)稱軸的正負(fù)即可求證．(2)∵b2－4a(－3a)＝b2＋12a2＞0，且a≠0，∴該拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．將(1，1)代入拋物線解析式，得1＝a＋b－3a，∴b＝2a＋1，∴拋物線的解析式為y＝ax2＋(2a＋1)x－3a，∵a＜b，∴a＜2a＋1，解得a＞－1，∵拋物線的頂點(diǎn)在第二象限，且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．∴拋物線開(kāi)口向下，即a＜0，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－

＝－

＜0，解得a＜－

，∴－1＜a＜－

.∴－3＜4a＋1＜－1.即2a＋b的取值范圍－3＜2a＋b＜－1；(3)當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)．①若點(diǎn)P(x1，m)與點(diǎn)Q(x2，m)在拋物線上，且x1＜x2，PQ＝n，求證：－2x2＝－3n＋2；【思維引導(dǎo)】將點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式中，可得兩個(gè)等式，從而表示出

和

，代入所要證明的等式中；利用點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)特點(diǎn)用x1和x2表示出n，且可求得x1＋x2的值，代入求證即可．(3)①當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3.∵點(diǎn)P(x1，m)與點(diǎn)Q(x2，m)在拋物線y＝x2＋2x－3上，∴x1，x2即為方程x2＋2x－3－m＝0的兩根，∴

＝m＋3－2x1，

＝m＋3－2x2，對(duì)稱軸為直線x＝

＝－

＝－1.∴x1＋x2＝－2，∵x1＜x2，PQ＝n，∴n＝x2－x1，∴

－2x2－

＋3n－2＝m＋3－2x2－2x2－(m＋3－2x1)＋3(x2－x1)－2＝m＋3－4x2－m－3＋2x1＋3x2－3x1－2＝－x2－x1－2＝－(x1＋x2)－2＝2－2＝0.∴

－2x2＝

－3n＋2；②設(shè)n為拋物線與直線y＝－3x－4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求證：【思維引導(dǎo)】利用拋物線和直線的解析式可得關(guān)于n的一元二次方程，因?yàn)榻Y(jié)論有n4，故將方程變形、平方，再對(duì)照結(jié)論變化即可．②∵n為拋物線y＝x2＋2x－3與直線y＝－3x－4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴n2＋2n－3＝－3n－4，即n2＋5n＋1＝0，∴n2＋1＝－5n，∴(n2＋1)2＝(－5n)2，即n4＋2n2＋1＝25n2，∴n4－2n2＋1＝21n2，∵n2＋5n＋1＝0，∴n≠0，∴

.1.(2023省卷23題12分)已知拋物線y＝－2x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，－2)，當(dāng)x<－4時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>－4時(shí)，y隨x的增大而減?。O(shè)r是拋物線y＝－2x2＋bx＋c與x軸的交點(diǎn)(交點(diǎn)也稱公共點(diǎn))的橫坐標(biāo)，m＝(1)求b、c的值；針對(duì)訓(xùn)練(1)解：根據(jù)題意可知拋物線y＝－2x2＋bx＋c的對(duì)稱軸是直線x＝－4，∴x＝

＝－4，得b＝－16.將(0，－2)代入y＝－2x2－16x＋c中，得c＝－2；【一題多解】根據(jù)題意可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－4，設(shè)拋物線解析式為y＝－2(x＋4)2＋k，將(0，－2)代入，得－2×(0＋4)2＋k＝－2，解得k＝30，∴拋物線的解析式為y＝－2(x＋4)2＋30＝－2x2－16x－2，∴b＝－16，c＝－2；(2)求證：r4－2r2＋1＝60r2；(2)證明：由(1)可知，拋物線解析式為y＝－2x2－16x－2，且r是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，令y＝0得，－2r2－16r－2＝0，即r2＋8r＋1＝0，∴r2＝－8r－1，∴r4－2r2＋1＝(－8r－1)2－2r2＋1＝64r2＋16r＋1－2r2＋1＝62r2＋16r＋2＝62r2＋2(8r＋1)＝62r2－2r2＝60r2；(3)以下結(jié)論：m<1，m＝1，m>1，你認(rèn)為哪個(gè)正確？請(qǐng)證明你認(rèn)為正確的那個(gè)結(jié)論．(3)解：m>1正確．證明：由(2)可知，r4－2r2＋1＝60r2，且r3≠0，∴r3(r4－2r2＋1)＝60r2·r3，即r7－2r5＋r3＝60r5，∴m＝

＝

＝

.∵r是拋物線y＝－2x2－16x－2與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，∴－2r2－16r－2＝0，解得r＝－4±<0，∴

>0，∴m>1.【一題多解】m＞1正確．證明：由m＝

，令p＝r9＋r7－2r5＋r3＋r－1，q＝r9＋60r5－1，則p－q＝(r9＋r7－2r5＋r3＋r－1)－(r9＋60r5－1)＝r7－62r5＋r3＋r＝r(r6－62r4＋r2＋1)．由(2)可知，r4－2r2＋1＝60r2，即r4－62r2＋1＝0，∴p－q＝r[r2(r4－62r2＋1)＋1]＝r[r2·0＋1]＝r，∵r是拋物線y＝－2x2－16x－2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴－2r2－16r－2＝0，∴r＝－4±<0，∴p－q＝r<0，∴p<q，且p，q都為負(fù)數(shù)，∴m＝

>1.2.已知二次函數(shù)y＝ax2＋4ax＋1的頂點(diǎn)為M(－2，－3)，其圖象與一次函數(shù)y＝－mx＋5的圖象交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))．(1)求二次函數(shù)的解析式；(1)解：把點(diǎn)M(－2，－3)代入y＝ax2＋4ax＋1中，得4a－8a＋1＝－3，解得a＝1，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2＋4x＋1；(2)若點(diǎn)P(t，0)在拋物線上，求證：；(2)證明：∵點(diǎn)P(t，0)在拋物線上，∴t2＋4t＋1＝0.