九年級數(shù)學(xué)上冊 第23章　解直角三角形 單元測試卷（滬科版 24年秋）

九年級數(shù)學(xué)上冊第23章解直角三角形單元測試卷（滬科版2024年秋）一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)1．[2024·合肥市蜀山區(qū)模擬]已知實數(shù)a＝tan30°，b＝sin45°，c＝cos60°，則下列說法正確的是()A．b＞a＞c B．a(chǎn)＞b＞c C．b＞c＞a D．a(chǎn)＞c＞b2．[母題：教材P114例1]如圖，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，則sinA的值為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(5,3) C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,5)3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，則cosA的值為()A.eq\f(2\r(5),5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(5),5)D．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標(biāo)軸上，若點A的坐標(biāo)為(0，3)，tan∠ABO＝eq\r(3)，則菱形ABCD的周長為()A．6 B．6eq\r(3) C．12eq\r(3) D．8eq\r(3)5．[易錯題]若α，β是一個三角形的兩個銳角，且滿足|sinα－eq\f(\r(3),2)|＋(eq\r(3)－tanβ)2＝0，則此三角形的形狀是()A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形6.榫卯是古代中國建筑、家具及其他器械的主要結(jié)構(gòu)方式．如圖，在某燕尾榫中，榫槽的橫截面ABCD是梯形，其中AD∥BC，AB＝DC，燕尾角∠B＝α，外口寬AD＝a，榫槽深度是b，則它的里口寬BC為()A.eq\f(b,tanα)＋aB.eq\f(2b,tanα)＋a C．btanα＋aD．2btanα＋a7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，點E在DC上，將矩形ABCD沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，那么cos∠EFC的值是()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)8.構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要體現(xiàn)，在計算tan15°時，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝eq\f(AC,CD)＝eq\f(1,2＋\r(3))＝eq\f(2－\r(3),（2＋\r(3)）（2－\r(3)）)＝2－eq\r(3).類比這種方法，則tan22.5°的值為()A.eq\r(2)＋1 B.eq\r(2)C.eq\r(2)－1D.eq\f(1,2)9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E為AC邊的中點，線段BE的垂直平分線交邊BC于點D.設(shè)BD＝x，tan∠ACB＝y(tǒng)，則x與y滿足的關(guān)系式為()A．x－y2＝3 B．2x－y2＝6 C．3x－y2＝9 D．4x－y2＝1210．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D為AC上任意一點，F(xiàn)為AB的中點，連接BD，E在BD上且∠BEC＝90°，連接EF，則EF的最小值為()A.eq\f(3\r(3)－3,2)B．2eq\r(3)－3C．3eq\r(3)－3D．3二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11.位于北京市石景山區(qū)首鋼老工業(yè)園區(qū)北區(qū)的“首鋼滑雪大跳臺”巧妙地融入了敦煌壁畫“飛天”元素．如圖，賽道剖面圖的一部分可抽象為線段AB.已知坡AB的長為50m，坡AB的坡比為3：4，則鉛直高度AH為________m.12．[母題：教材P119練習(xí)T2]已知α，β為銳角，且α＋β＝90°，cosβ＝0.76，則sinα＝________．13．如圖，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測得點C的仰角為45°，已知OA＝100米，山坡坡度為i＝1：3，且O，A，B在同一條直線上，則此人所在位置點P的鉛直高度為________米．14．利用科普書上的有關(guān)公式，發(fā)現(xiàn)銳角三角函數(shù)存在這樣的公式：若α，β為銳角且α＋β≠90°，則tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).如：tan75°＝tan(30°＋45°)＝eq\f(tan30°＋tan45°,1－tan30°tan45°)＝eq\f(eq\f(eq\r(3),3)＋1,1－eq\f(eq\r(3),3))＝2＋eq\r(3)．利用此公式求解下列問題：(1)若∠A，∠B為銳角且∠A＋∠B＝45°，則(1＋tanA)(1＋tanB)＝________；(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan43°)(1＋tan44°)＝________．三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．計算：eq\r(2)sin45°－2cos30°＋eq\r((1－tan60°)2)．16．如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的高，sinC＝eq\f(eq\r(2),2)，tanB＝eq\f(1,2)，AD＝2.(1)求cos∠BAD的值；(2)求△ABC的面積．四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17.通過學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值是一一對應(yīng)的，因此，兩條邊長的比值與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似地，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對(can)，如圖①，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的鄰對記作canB，這時canB＝eq\f(底邊,腰)＝eq\f(BC,AC)，容易知道一個角的大小與這個角的鄰對值也是一一對應(yīng)的．根據(jù)上述角的鄰對的定義，解答下列問題：(1)can30°＝________；(2)如圖②，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝eq\f(8,5)，S△ABC＝24，求△ABC的周長．18.自開展“全民健身運動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，某地政府決定對一段如圖①所示的坡路進(jìn)行改造．如圖②所示，改造前的斜坡AB＝200m，坡度為1：eq\r(3).將斜坡AB的高度AE降低AC＝20m后，斜坡AB改造為斜坡CD，其坡度為1：4，求斜坡CD的長．(結(jié)果保留根號)五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：(1)若AD∥BC(D為格點)，連接CD，則線段CD的長為________；(2)請你在△ABC的三個內(nèi)角中任選一個銳角，若你所選的銳角是________，則它所對應(yīng)的正弦函數(shù)值是________；(3)若E為BC的中點，則tan∠CAE的值是________．20．如圖，△ABC中，BA＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分線與邊AC交于點F，與△ABC的外角∠ACD的平分線交于點E.(1)求sinA的值；(2)求點E到直線BD的距離．六、(本題滿分12分)21.我國首艘國產(chǎn)航母山東艦是保障國土安全，維護(hù)祖國統(tǒng)一的又一利器．如圖，一架殲－15艦載機在航母正后方A點準(zhǔn)備降落，此時在A測得航母艦首B的俯角為11.3°，艦尾C的俯角為14°，如果航母長為315米，且B比C高出10米，求艦載機相對航母艦尾C的高度．(參考數(shù)據(jù)：sin11.3°≈0.20，sin14°≈0.24，tan11.3°≈0.20，tan14°≈0.25)七、(本題滿分12分)22．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，其由空間段、地面段和用戶段三部分組成，可在全球范圍內(nèi)全天候、全天時為各類用戶提供高精度、高可靠定位、導(dǎo)航、授時服務(wù)．如圖，小敏一家自駕到風(fēng)景區(qū)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西45°方向行駛10千米至B地，再沿北偏東60°方向行駛一段距離到達(dá)風(fēng)景區(qū)C，小敏發(fā)現(xiàn)風(fēng)景區(qū)C在A地的北偏東15°方向．(1)求∠C的度數(shù)；(2)求B，C兩地間的距離．(如果運算結(jié)果有根號，請保留根號)八、(本題滿分14分)23.閱讀下列材料，解決后面的問題：我們知道，三角形的面積等于二分之一底乘高．在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)后，還可以這樣求三角形的面積：對于△ABC，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，則其面積S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB.(1)如圖①，在△ABC中，∠A＝30°，b＝2，c＝3，求△ABC的面積；(2)如圖②，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝1，D為AC上一點，求證：BD＝eq\f(2sin（∠1＋∠2）,2sin∠1＋sin∠2)；(3)正數(shù)a，b，c，d，e，f滿足a＋b＝c＋d＝e＋f＝1，求證：af＋bc＋de＜1.

答案一、1．A2．D3．A4．D【點撥】∵點A的坐標(biāo)為(0，3)，∴AO＝3.∵tan∠ABO＝eq\r(3)，∠AOB＝90°，∴eq\f(AO,BO)＝eq\r(3)，∴eq\f(3,BO)＝eq\r(3)，∴BO＝eq\r(3)．∴AB＝eq\r(AO2＋BO2)＝eq\r(32＋(eq\r(3))2)＝eq\r(12)＝2eq\r(3)．∵菱形的四條邊相等，∴菱形ABCD的周長為2eq\r(3)×4＝8eq\r(3)．5．C【點撥】∵｜sinα－eq\f(eq\r(3),2)｜＋(eq\r(3)－tanβ)2＝0，∴sinα－eq\f(eq\r(3),2)＝0，eq\r(3)－tanβ＝0，∴sinα＝eq\f(eq\r(3),2)，tanβ＝eq\r(3)．又∵α，β都是銳角，∴α＝60°，β＝60°，∴此三角形的形狀是等邊三角形．[點易錯]本題求出α，β后，很容易給出結(jié)論是等腰三角形．但第三個角也是60°，所以是等邊三角形．類比：△ABC的兩個內(nèi)角∠A＝45°，∠B＝45°，△ABC是等腰直角三角形．6．B【點撥】如圖，過點A，D分別作BC的垂線段，垂足分別為E，F(xiàn).易得∠DCB＝∠B＝α，EF＝AD＝a，AE＝DF＝b.在Rt△AEB中，BE＝eq\f(AE,tan∠ABC)＝eq\f(b,tanα)，在Rt△DFC，CF＝eq\f(DF,tan∠DCB)＝eq\f(b,tanα)，∴BC＝BE＋EF＋FC＝eq\f(b,tanα)＋a＋eq\f(b,tanα)＝eq\f(2b,tanα)＋a.7．A【點撥】∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∠B＝∠C＝90°.∵矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的F處，∴AF＝AD＝5，EF＝DE.在Rt△ABF中，∵BF＝eq\r(AF2－AB2)＝4，∴CF＝BC－BF＝5－4＝1.設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝3－x.在Rt△ECF中，∵CE2＋FC2＝EF2，∴x2＋12＝(3－x)2，解得x＝eq\f(4,3)，∴EF＝3－x＝eq\f(5,3)，∴cos∠EFC＝eq\f(CF,EF)＝eq\f(3,5).8．C【點撥】如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝22.5°.設(shè)AC＝BC＝1，則AB＝BD＝eq\r(2)，∴tan22.5°＝eq\f(AC,CD)＝eq\f(1,1＋\r(2))＝eq\r(2)－1.9．C【點撥】過A作AQ⊥BC于Q，過E作EM⊥BC于M，連接DE.∵AB＝AC，BC＝8，tan∠ACB＝y(tǒng)，∴eq\f(EM,MC)＝eq\f(AQ,CQ)＝y(tǒng)，CQ＝4，∴AQ＝4y.∵BE的垂直平分線交BC于D，BD＝x，∴BD＝DE＝x.∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM.又∵E為AC的中點，∴MC＝eq\f(1,2)CQ＝2，∴EM＝2y，DM＝8－2－x＝6－x.在Rt△EDM中，由勾股定理得x2＝(2y)2＋(6－x)2，即3x－y2＝9.10．C【點撥】取BC的中點Q，連接EQ，F(xiàn)Q.∵F為AB的中點，∴FQ＝eq\f(1,2)AC.∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，∴AC＝eq\f(BC,tanA)＝eq\f(6,eq\f(eq\r(3),3))＝6eq\r(3)，∴FQ＝3eq\r(3)．∵∠BEC＝90°，Q為BC的中點，∴EQ＝eq\f(1,2)BC＝3.當(dāng)E，F(xiàn)，Q三點共線時，EF的值最小，∴EF＝FQ－EQ＝3eq\r(3)－3.二、11．3012．0.7613．(25eq\r(3)－25)【點撥】作PE⊥OB于點E，PF⊥CO于點F.在Rt△AOC中，AO＝100米，∠CAO＝60°，∴CO＝AO·tan60°＝100eq\r(3)米．設(shè)PE＝x米，易知FO＝x米．∵eq\f(PE,AE)＝eq\f(1,3)，∴AE＝3x米．在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝(100eq\r(3)－x)米，PF＝OE＝OA＋AE＝(100＋3x)米．∴PF＝CF，∴100＋3x＝100eq\r(3)－x，解得x＝25eq\r(3)－25.∴PE＝(25eq\r(3)－25)米．14．(1)2(2)222【點撥】(1)當(dāng)∠A＋∠B＝45°時，tan(∠A＋∠B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝1，即tanA＋tanB＝1－tanAtanB，∴(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝1＋1－tanAtanB＋tanAtanB＝2.(2)由(1)可知(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝…＝2，∴原式＝222.三、15．【解】原式＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)－2×eq\f(\r(3),2)＋eq\r(（tan60°－1）2)＝1－eq\r(3)＋(tan60°－1)＝1－eq\r(3)＋eq\r(3)－1＝0.16．【解】(1)在Rt△ABD中，tanB＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(1,2)，AD＝2，∴BD＝4，∴AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝2eq\r(5)，∴cos∠BAD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(5),5).(2)∵sinC＝eq\f(\r(2),2)，∴∠C＝45°，∴tanC＝eq\f(AD,CD)＝1，∴CD＝2，∴BC＝BD＋CD＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×AD·BC＝6.四、17．【解】(1)eq\r(3)(2)過點A作AE⊥BC于點E.∵canB＝eq\f(8,5)，∴可設(shè)BC＝8x，則AC＝5x＝AB.易知BE＝4x，∴AE＝eq\r(AB2－BE2)＝3x.∵S△ABC＝24，∴eq\f(1,2)BC·AE＝12x2＝24，解得x＝eq\r(2)(負(fù)值已舍去)，故AB＝AC＝5eq\r(2)，BC＝8eq\r(2)．∴△ABC的周長＝5eq\r(2)＋5eq\r(2)＋8eq\r(2)＝18eq\r(2)．18．【解】∵∠AEB＝90°，AB＝200m，斜坡AB的坡度為1：eq\r(3)，∴tan∠ABE＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ABE＝30°，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝100m.∵AC＝20m，∴CE＝80m.∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度為14，∴eq\f(CE,ED)＝eq\f(1,4)，即eq\f(80,ED)＝eq\f(1,4)，∴ED＝320m.∴CD＝eq\r(802＋3202)＝80eq\r(17)(m)．∴斜坡CD的長是80eq\r(17)m.五、19．【解】(1)eq\r(5)(2)∠ACB；eq\f(\r(5),5)(答案不唯一)【點撥】利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形易得AB＝eq\r(5)，AC＝2eq\r(5)，BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，∴sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(\r(5),5).(3)eq\f(1,2)20．【解】(1)∵AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分線與邊AC交于點F，∴∠ABF＝∠FBC，BF⊥AC，AF＝5.在Rt△ABF中，BF＝eq\r(AB2－AF2)＝12.∴sinA＝eq\f(BF,AB)＝eq\f(12,13).(2)過點E作EG⊥BD，垂足為G.∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EG⊥BD，∴EF＝EG.在Rt△ABF中，sin∠ABF＝eq\f(AF,AB)＝eq\f(5,13).在Rt△EBG中，sin∠EBG＝sin∠ABF＝eq\f(EG,BE)＝eq\f(EG,BF＋EG)＝eq\f(5,13)，BF＝12，∴EG＝eq\f(15,2).∴點E到直線BD的距離是eq\f(15,2).六、21．【解】設(shè)過A，B，C的水平線分別為AP，BM，CN，過A作AD⊥BM于D，交CN于E，則DE＝10米，∠BAP＝11.3°，∠PAC＝14°，AP∥BM∥CN，∴∠ABD＝∠BAP＝11.3°，∠ACE＝∠PAC＝14°.設(shè)AE＝x米，則AD＝AE－DE＝(x－10)米．在Rt△ABD中，tan∠ABD＝eq\f(AD,BD)＝tan11.3°≈0.20，∴BD≈5AD＝5(x－10)米．在Rt△ACE中，tan∠ACE＝eq\f(AE,CE)＝tan14°≈0.25，∴CE≈4AE＝4x米．易知BD－CE＝315米，∴5(x－10)－4x≈315，解