數(shù)與式的運(yùn)算（原卷版）-2021年初升高數(shù)學(xué)無憂銜接（人教A版2019）

專題01數(shù)與式的運(yùn)算

亞

若敢徐述

初中階段“從分?jǐn)?shù)到分式”，通過觀察、分析、類比，找出分式的本質(zhì)特征，及它們與分?jǐn)?shù)的相同點和不同

點，進(jìn)而歸納得出分式的概念及運(yùn)算性質(zhì)，我們已經(jīng)運(yùn)用的這些思想方法是高中繼續(xù)學(xué)習(xí)的法寶.

二次根式是在學(xué)習(xí)了平方根、立方根等內(nèi)容的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，是對'‘實數(shù)"、“整式”等內(nèi)容的延伸和補(bǔ)充，

對數(shù)與式的認(rèn)識更加完善.二次根式的化簡對勾股定理的應(yīng)用是很好的補(bǔ)充；二次根式的概念、性質(zhì)、化簡

與運(yùn)算是高中學(xué)習(xí)解三角形、一元二次方程、數(shù)列和二次函數(shù)的基礎(chǔ).二次根式是初中階段學(xué)習(xí)數(shù)與式的最

后一章，是式的變形的終結(jié)章.

當(dāng)兩個二次根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)時，可用“夾逼”的方法推出，兩個被開方數(shù)同時為零.

本專題內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如類比的思想（指數(shù)幕運(yùn)算律的推廣）、逼近的思想（有理數(shù)

指數(shù)幕逼近無理數(shù)指數(shù)基），掌握運(yùn)算性質(zhì)，能夠區(qū)別”與（板）”的異同.

通過與初中所學(xué)的知識進(jìn)行類比，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)指數(shù)募的性質(zhì)，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)累和根

式之間的互化，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì).

等*

錦程要點

《初中課程要求》1、認(rèn)識了實數(shù)及相關(guān)概念，如有理數(shù)、無理數(shù)；了解了實數(shù)具有

順序性，知道字母表示數(shù)的基本代數(shù)思想

2、初中會比較簡單實數(shù)的大小，初步接觸作差法

3、理解了多項式與多項式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式,

掌握了不超過三步的數(shù)的混合運(yùn)算

4、掌握了平方根、立方根運(yùn)算；了解了有理式和無理式的概念；了

解了整數(shù)指數(shù)基的含義

《高中課程要求》1、高中必修一中常用數(shù)集都用了符號表示，同時為數(shù)系的擴(kuò)充打

基礎(chǔ)，會運(yùn)算字母代表數(shù)的式子

2、掌握用作差法、作商法來比較實數(shù)大小，體會變形過程中的技

巧

3、在高中會常常用到立方和、立方差、三數(shù)和的平方的公式，兩

數(shù)和、差的立方公式.高中有很多混合運(yùn)算都超過三步

4、必須掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性質(zhì)根式的大小比

較，會把整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算及其性質(zhì)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)累

知鈉箱神

高中必備知識點1:絕對值

絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是

零.即：

a,a>0,

|〃|=<0,Q=0,

-a.Q<0.

絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.

兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：,-母表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)b之間的距離.

高中必備知識點2：乘法公式

我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式（。+份（。一份=。2一6；

（2）完全平方公式（4±〃）2=/±2時+/.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式（a+b）（“2一而+/）=/+/；

（2）立方差公式（。-與（。2+而+〃）=/一戶;

（3）三數(shù)和平方公式（a+6+c）~=a~++c~+2（ab+be+ac）；

（4）兩數(shù)和立方公式（a+bp="+3a%+3/+/；

（5）兩數(shù)差立方公式（。一份3=/一3。5+3。/一護(hù).

高中必備知識點3：二次根式

一般地，形如布（。？0）的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子

稱為無理式.例如+2+?,證+及等是無理式,和&2+拳x+T,x2+42xy+y2,

后等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化.為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入

有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就

說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如V2與V2,3G與,6+?與K-#,2幣-3^2

與2坦+36,等等.一般地，°右與J7,a4x+by[y-^）a4x-b^y,a&+b與a&-b互

為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子

有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程

在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中栗運(yùn)用公式

而出=瘋（。20乃20）；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有

理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同

類二次根式.

2.二次根式的意義

a,a>0,

y/a^=同=<

-a,a<0.

高中必備知識點4：分式

I.分式的意義

AAA

形如C.的式子，若8中含有字母，且BHO,則稱c?為分式.當(dāng)M卻時，分式C■具有下列性質(zhì):

BBB

AAxM

~B~BxM'

AA^M

~B~B^M'

上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).

2.繁分式

a

m+,2+0

像一J,—5―L這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2加

〃+p

7的劇新

高中必備知識點1:絕對值

【典型例題】

閱讀下列材料:

我們知道W的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點與原點的距離，即兇=k-0|,也就是說，W表示在數(shù)軸上

數(shù)x與數(shù)0對應(yīng)的點之間的距離；這個結(jié)論可以推廣為卜-勺|表示在數(shù)軸上數(shù)%與數(shù)馬對應(yīng)的點之間的

距離；

例1解方程|X|=2.因為在數(shù)軸上到原點的距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為±2,所以方程|X|=2的解為x=12.

例2解不等式在數(shù)軸上找出|x-i|=2的解(如圖)，因為在數(shù)軸上到1對應(yīng)的點的距離等于2

的點對應(yīng)的數(shù)為一1或3,所以方程|x—1|=2的解為x=-l或x=3,因此不等式|犬一1|>2的解集為xV

一1或x>3.

b-'士'"T,

-2-101234

例3解方程|x一1|+|x+2|=5.由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到1和一2對應(yīng)的點的距離

之和等于5的點對應(yīng)的x的值.因為在數(shù)軸上1和一2對應(yīng)的點的距離為3(如圖)，滿足方程的x對應(yīng)的點

在1的右邊或一2的左邊.若x對應(yīng)的點在1的右邊，可得x=2；若x對應(yīng)的點在一2的左邊，可得x=-3,

因此方程|X一1|+口+2|=5的解是x=2或x=-3.

參考閱讀材料，解答下列問題：

(1)方程I*+21=3的解為；

(2)解不等式：|x-2|<6；

(3)解不等式：|x-3|+|x+4|29；

(4)解方程：|x-2|+|x+2|+|x-5|=15.

-2012

【變式訓(xùn)練】

實數(shù)a、b在數(shù)軸上所對應(yīng)的點的位置如圖所示：化簡值+|a-b|—|b-a|.

---------11---?

a0-b

【能力提升】

已知方程組器：廣；二的解X、y的值的符號相同.

⑴求a的取值范圍；

(2)化簡:12a+2]-21a-3|.

高中必備知識點2：乘法公式

【典型例題】

(1丫2

(1)計算：一一+2016°+(—2)3+(—2)2

\2)

(2)化簡：(。+2匕)(。一2份一(。一2加2

【變式訓(xùn)練】

計算：

(1)(乃—3.14)°+(—4)2—《)-2

(2)(x—3)2—(x+2)(x—2)

【能力提升】

已知10*=a,5x=b,求：

(1)50、的值；

(2)2、的值；

(3)2(/的值.(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示)

高中必備知識點3：二次根式

【典型例題】

計算下面各題.⑴(V6-2715)xV3-6^|;

(2)5/4x+2<2x—Jgx_4A/X

2

【變式訓(xùn)練】

小穎計算后+時,想起分配律，于是她按分配律完成了下列計算:

解：原式=Ji號+J=+

v3J5

=715x73+715x75

=3小+56.

她的解法正確嗎？若不正確，請給出正確的解答過程.

【能力提升】

先化簡，再求值：（"?-上）一上半，其中a=&+K，b=6-B

a+ba-ba+b

高中必備知識點4：分式

【典型例題】

先化簡，再求值（四—史2）+，其中X滿足x2+X-l=0.

xx-\X-2x4-1

【變式訓(xùn)練】

化簡：4廠二4xy+），\（4x2—y2）

2x-y

【能力提升】

已知：1-1=2,則盧等之的值等于多少？

ab2a-2b+lab

對點漏■依

1.下列運(yùn)算正確的是（）

XVX

A.------7=-----B.6+4=廂

xy-yx-y

C.3X3-5必=-2D.8XMX=2X3

2.下列計算結(jié)果正確的是（)

321

A.---1---=---B.（X2）3=X5

x—22-xx—2

C.（一孫）5?（-盯）3=_/y2D.3x2y-5xy2=-2xy

x

3.若式子——有意義，則下列說法正確的是（）

X+1

A.x>-l且XNOB.x>-lC.XW—1D.xwo

4.計算芻——L■的結(jié)果是（）

a-1a-\

a1

A.3B.0C.------D.

a-\a-\

5.若|〃|=4,|〃|=2,且Q+b的絕對值與相反數(shù)相等，則Q—力的值是（）

A.-2B.—6C.-2或-6D.2或6

6.設(shè)有理數(shù)a、b、c滿足a>b>c（ac<0）,且同<問<同，則尸3rH六號1+歸+W的最小

值是（）

a-ca+b+2c2a+b+c2a+b-c

A.-------B.--------------C.--------------D.---------------

2222

abcabc

7.如果a,b,c是非零有理數(shù)，那么時+網(wǎng)+何+的的所有可能的值為（）.

A.-4，-2，0,2,4B.-4，—2，2，4

C.0D.-4，0,4

8.如圖是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：

1J2第1行

J32J5J6第2行

萬2j23J10Jn2j3第3行

713J14TH4V173j27192J5第4行

根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第n（n是整數(shù)，且n24）行從左向右數(shù)第（n-3）個數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）（

）.

A?―]B.\Jrr—2C.y/fi2—3D.\Jn2—4

9.與6（炳-6）最接近的整數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

10.設(shè)a為J3+石一，3一&的小數(shù)部分,b為^6+36-小6-3&的小數(shù)部分,則|-：的值為（

）

A.V6+V2-1B.V6-V2+1C.V6-V2-ID.V6+V2+1

12a-^-3ab-2b

11.H若一一-=3,則分式—————=____.

aba-2ab—b

12.若分式一一X-2的值為零,則X的值為.

X—2

13■已知整數(shù)。滿足則分式（1一|）.號的值為——

14.計算（2月-0）2的結(jié)果等于.

15.計算(夜-1)2+次=_.

16.化簡：3a2b\-=_________

V9ab

17.化簡,6-而的結(jié)果為?

18.若有理數(shù)x,y,z滿足(|x+l|+|x-2|)(|y-l|+|y-3|)(|z-3|+|z+3|)=36,則x+2y+3z的最小值

是.

19.已知|x+2|+|l-x|=9-J(y-5)2-"(1+4,則》+丁的最小值為

20.已知式子|x+l|+|x-2|+|y+3|+|y-4|=10,則x+y的最小值是

21.(1)計算：(-2)°+|V3-2|-^一(—2＞；

（2）先化簡，再求值：展+二1

其中x=—l.

\x+2x-2X2-4

22.計算：6(6-1)+2-國.

23.已知a,b,c滿足|a+3|+8萬+(c—5)2=(),請回答下列問題:

（1）直接寫出a,b,c的值.a=,b=,c=.并在數(shù)軸上表示.

（2）a,b,c所對應(yīng)的點分別為A,8,C,若點A以每秒1個單位長度向右運(yùn)動，點C以每秒3個單位長

度向左運(yùn)動；

①運(yùn)動1.5秒后，A,C兩點相距幾個單位長度.

②幾秒后，4C兩點之間的距離為4個單位長度.

24.同學(xué)們都知道，|4-(-2)|表示4與-2的差的絕對值，實際上也可理解為4與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)

的兩點之間的距離：問理|》-3］也可理解為X與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之問的距離，試探索：

(1)14-(-2)1=.

(2)找出所有符合條件的整數(shù)X,使|九一4|+|%+2|=6成立，并說明理由

(3)由以上探索猜想，對于任何有理數(shù)X,