21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系課件人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系21.2解一元二次方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)求一元二次方程的兩根之和與兩根之積2.能用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是什么？

求根公式不僅表示可以由方程的系數(shù)a、b、c決定根的值.而且反映了根與系數(shù)之間的聯(lián)系.一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系還有其他的表現(xiàn)方式嗎？復(fù)習(xí)引入

從因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2為已知數(shù))的兩根為x1和x2，將方程化為x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關(guān)系嗎？思考1重要發(fā)現(xiàn)如果方程x2+px+q=0的兩根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.

一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次項(xiàng)系數(shù)a未必是1，它的兩個(gè)根的和、積與系數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？思考2已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，兩根分別為x1=

，x2=

。x1+x2=

，x1x2=

.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為x1、x2，那么注意：滿(mǎn)足上述關(guān)系的前提條件b2-4ac≥0.歸納小結(jié)把

ax2+bx+c=0（a≠0）的兩邊同除以a，能否得出該結(jié)論？想一想∵

ax2+bx+c=0（a≠0）的兩邊同除以a得又∵x2-（x1+x2）x+x1x2=0∴-（x1+x2）=，x1x2=可得x1+x2=，x1x2=例1

根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程兩個(gè)根x1，x2的和與積：(1)x2－6x－15＝0(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：

(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.例題講解例2

已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一個(gè)根是1，求它的另一個(gè)根及m的值.

由于x1·x2=1×5=得m=15.答：方程的另一個(gè)根是5，m=15.解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1、x2，其中x1=1.所以x1

+

x2=1+x2=6，解得x2=5.解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：

例3

不解方程，求方程2x2+3x-1=0的兩根的平方和、倒數(shù)和.常見(jiàn)的變形公式:歸納小結(jié)1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一個(gè)根，則另一個(gè)根是___，m=____.-32x1x22.設(shè)x1、x2是方程x2－4x+1=0的兩個(gè)根，則(1)x1+x2=

_____,x1x2=_______，(2)x12+x22=(x1+x2)2-________=______,(3)(x1-x2)2

=(______)2-4x1x2=_______.

411412x1+x23.利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）x2+7x+6=0;（2）2x2-3x-2=0.解：(1)這里a=1,b=7,c=6.

Δ

=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2=-7,

x1x2=6.（2）2x2-3x-2=0.（2）這里a=2,b=-3,c=-2.

Δ=b2-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=-1.4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的兩個(gè)根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；

（2）因?yàn)閗=-7,所以則：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）內(nèi)