重積分完整教學(xué)課件

重積分完整教學(xué)課件柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂.柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂.曲頂柱體１．曲頂柱體的體積一、問題的提出解法:

類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體:底:xOy

面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让?以D

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體4)“取極限”令２．求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量二、二重積分的概念積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．

在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為曲頂柱體體積:平面薄板的質(zhì)量:性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積，性質(zhì)５若在D上特殊地則有性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）解解解例4.設(shè)D

是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序?yàn)?)提示:因0<y<1,故故在D上有D解：因?yàn)樵蕉胤e分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（和式的極限）四、小結(jié)思考題

將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出它們的相同之處與不同之處.

定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)．不同的是定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)．思考題解答練習(xí)題練習(xí)題答案

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．如果積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分［X－型］應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得如果積分區(qū)域?yàn)椋海踄－型］

X型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.解注：積分區(qū)域既是X-型也是Y-型，也可表示成先對x后對y次序的二次積分。解解解積分區(qū)域如圖解原式例6.求兩個底圓半徑為R的直交圓柱面所圍的體積.解:

設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為11二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）二、小結(jié)［Y－型］［X－型］思考題思考題解答練習(xí)題練習(xí)題答案一、利用極坐標(biāo)系計算二重積分二重積分化為二次積分的公式（１）1)極點(diǎn)O在積分區(qū)域D的外部區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖二重積分化為二次積分的公式（２）2)極點(diǎn)O在積分區(qū)域D的邊界上區(qū)域特征如圖極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）3)極點(diǎn)O在積分區(qū)域D的內(nèi)部區(qū)域特征如圖解解的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于坐標(biāo)計算.解解解解例7.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設(shè)由對稱性可知注：形如積分二重積分在極坐標(biāo)下的計算公式（在積分中注意使用對稱性）二、小結(jié)思考題思考題解答練習(xí)題練習(xí)題答案一、問題的提出把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中.若要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域時，相應(yīng)地部分量可近似地表示為的形式,其中在內(nèi)．這個稱為所求量U的元素，記為，所求量的積分表達(dá)式為１．設(shè)曲面的方程為：如圖，二、曲面的面積曲面S的面積元素曲面面積公式為：３．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得解解解方程組得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域?yàn)槿?、平面薄片的重心?dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.由元素法解四、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量解解薄片對

軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力為引力常數(shù)五、平面薄片對質(zhì)點(diǎn)的引力解由積分區(qū)域的對稱性知所求引力為幾何應(yīng)用：曲面的面積物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動慣量、對質(zhì)點(diǎn)的引力（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識）六、小結(jié)思考題薄片關(guān)于軸對稱思考題解答練習(xí)題練習(xí)題答案一、三重積分的定義直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分．1.先單后重（先一后二）二、三重積分的計算如圖，得注意其中

為三個坐標(biāo)例1.計算三重積分所圍成的閉區(qū)域.面及平面解:(先單后重)1

·

·

·

·解D·

··解如圖，解直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分．2.先重后單（截面法或稱先二后一）

·

·

·解·原式解如圖,三重積分的定義和計算在直角坐標(biāo)系下的體積元素（計算時將三重積分化為三次積分）三、小結(jié)思考題選擇題:練習(xí)題練習(xí)題答案一、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分規(guī)定：

柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面；平面．如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為解知交線為解所圍成的立體如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖:另解:最簡單的解法:先重后單（先二后一）：二、利用球面坐標(biāo)計算三重積分規(guī)定：如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；球面；半平面．球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，球面坐標(biāo)系中的體積元素為如圖，解補(bǔ)充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸的奇偶性．解積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),解（1）柱面坐標(biāo)的體積元素（2）球面坐標(biāo)的體積元素（3）對稱性簡化運(yùn)算三重積分換元法柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)三、小結(jié)思考題練習(xí)題練習(xí)題答案

一、二重積分的換元法注：如果Jacobi行列式J(u,v)只在內(nèi)個別點(diǎn)上或一條曲線上為零，而在其他點(diǎn)上不為零，則上述換元公式仍然成立。例1解例2.計算由所圍成的閉區(qū)域D

的面積S.解:令則例3解

二、小結(jié)基本要求:變換后定限簡便，求積容易．思考題思考題解答練習(xí)題練習(xí)題答案三重積分換元法解：作變換一、立體體積二、物體的重心三、物體的轉(zhuǎn)動慣量四、物體的引力機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三重積分的應(yīng)用1.能用重積分解決的實(shí)際問題的特點(diǎn)所求量是

對區(qū)域具有可加性

從定積分定義出發(fā)建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量

3.解題要點(diǎn)

畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、

定出積分限、計算要簡便

2.用重積分解決問題的方法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求半徑為的球面與半頂角為

的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、物體的重心設(shè)空間有n個質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域

,有連續(xù)密度函數(shù)則

公式,分別位于為為即:采用“分割,近似代替,求和,取極限”可導(dǎo)出其重心

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束將

分成

n

小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的重心坐標(biāo)就近似該物體的重心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第k塊上任取一點(diǎn)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束同理可得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則得形心坐標(biāo)：當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.對比例2.一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線的方程為內(nèi)儲有高為

h

的均質(zhì)鋼液,解:利用對稱性可知重心在z

軸上，爐壁面方程為因此故自重,求它的重心.若爐不計爐體的其坐標(biāo)為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、物體的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量:對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束類似可得:對x

軸的轉(zhuǎn)動慣量對y

軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對比解:

取球心為原點(diǎn),z軸為l

軸,則球體的質(zhì)量例3.求均勻球體對于過球心的一條軸

的轉(zhuǎn)動慣量.設(shè)球所占域?yàn)?用球坐標(biāo))機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

G

為引力常數(shù)四、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域

,物體對位于原點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力利用元素法,在

上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對xoy

面上的平面薄片D,它對原點(diǎn)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.求半徑R的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解:

利用對稱性知引力分量點(diǎn)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束為球的質(zhì)量機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(t

為時間)的雪堆在融化過程中,其側(cè)面滿足方程設(shè)長度單位為厘米,時間單位為小時,設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)0.9),問高度為130cm

的雪堆全部融化需要多少小時?

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束練習(xí)題提示:記雪堆體積為V,側(cè)面積為S,則(用極坐標(biāo))機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束由題意知令得(小時)因此高度為130cm的雪堆全部融化所需的時間為100小時.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義幾何意義性質(zhì)計算法應(yīng)用二重積分定義幾何意義性質(zhì)計算法應(yīng)用三重積分一、主要內(nèi)容1、二重積分的定義２、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時，性質(zhì)２３、二重積分的性