2024中考數(shù)學(xué)全國真題分類卷 第十五講 圖形的相似(含答案)

2024中考數(shù)學(xué)全國真題分類卷第十五講圖形的相似命題點(diǎn)1比例線段類型一比例的性質(zhì)1.(2022大慶)已知eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,4)≠0，則eq\f(x2＋xy,yz)＝________．類型二黃金分割2.(2023山西)神奇的自然界處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識．動物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618.這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的()第2題圖A.平移B.旋轉(zhuǎn)C.軸對稱D.黃金分割3.(新趨勢)·數(shù)學(xué)文化(2023衡陽)在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部(腰部以上)與下部(腰部以下)的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是(結(jié)果精確到0.01m.參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732，eq\r(5)≈2.236)()第3題圖A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m4.(新趨勢)·數(shù)學(xué)文化(2023陜西)在20世紀(jì)70年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點(diǎn)，即BE2＝AE·AB.已知AB為2米，則線段BE的長為________米．第4題圖類型三平行線分線段成比例5.(2023麗水)如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長是()第5題圖A.eq\f(2,3)B.1C.eq\f(3,2)D.26.(2023涼山州)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，若DE∥BC，eq\f(AD,DB)＝eq\f(2,3)，DE＝6cm，則BC的長為()第6題圖A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm命題點(diǎn)2相似的基本性質(zhì)7.(2023甘肅省卷)若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，則eq\f(AC,DF)＝()A.eq\f(4,9)B.eq\f(9,4)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)8.(2023連云港)△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個(gè)與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是()A.54B.36C.27D.219.(新趨勢)·條件開放性問題(2023鹽城)如圖，在△ABC與△A′B′C′中，點(diǎn)D，D′分別在邊BC，B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若________，則△ABD∽△A′B′D′.請從①eq\f(BD,CD)＝eq\f(B′D′,C′D′)；②eq\f(AB,CD)＝eq\f(A′B′,C′D′)；③∠BAD＝∠B′A′D′這3個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件(寫序號)，并加以證明．第9題圖命題點(diǎn)3相似三角形的判定與性質(zhì)類型一A字型10.(2023云南)如圖，在△ABC中，D，E分別為線段BC，BA的中點(diǎn)，設(shè)△ABC的面積為S1，△EBD的面積為S2，則eq\f(S2,S1)＝()第10題圖A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4)D.eq\f(7,8)11.(2023貴陽)如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點(diǎn)，∠B＝∠ACD，AC∶AB＝1∶2，則△ADC與△ACB的周長比是()第11題圖A.1∶eq\r(2)B.1∶2C.1∶3D.1∶4源自北師九上P90第3題12.(2023遂寧)如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊上的點(diǎn)，其中BC＝8，BC邊上的高為6，且DE∥BC，則△DEF面積的最大值為()第12題圖A.6B.8C.10D.1213.(新趨勢)·條件開放性問題(2023邵陽)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，請?zhí)砑右粋€(gè)條件________，使△ADE∽△ABC.第13題圖14.(2023嘉興)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為________．第14題圖15.(2022南充)如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，BC＝eq\r(3)AB＝3BD，則AD∶AC的值為________．第15題圖16.(2023江西)如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E在AC的延長線上，∠ACD＝∠ABE.(1)求證：△ABC∽△AEB；(2)當(dāng)AB＝6，AC＝4時(shí)，求AE的長．第16題圖17.(2023杭州)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF.已知四邊形BFED是平行四邊形，eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,4).(1)若AB＝8，求線段AD的長；(2)若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．第17題圖18.(2020上海)已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，BE＝DF，CE的延長線交DA的延長線于點(diǎn)G，CF的延長線交BA的延長線于點(diǎn)H.(1)求證：△BEC∽△BCH；(2)如果BE2＝AB·AE，求證：AG＝DF.第18題圖19.(挑戰(zhàn)題)(2023寧波)【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖①，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于點(diǎn)G，求證：DG＝EG；【嘗試應(yīng)用】(2)如圖②，在(1)的條件下，連接CD，CG.若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求eq\f(DE,BC)的值；【拓展提高】(3)如圖③，在?ABCD中，∠ADC＝45°，AC與BD交于點(diǎn)O，E為AO上一點(diǎn)，EG∥BD交AD于點(diǎn)G，EF⊥EG交BC于點(diǎn)F.若∠EGF＝40°，F(xiàn)G平分∠EFC，F(xiàn)G＝10，求BF的長．第19題圖類型二8字型20.(2022雅安)如圖，將△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF，DE交AC于點(diǎn)G.若BC∶EC＝3∶1.S△ADG＝16.則S△CEG的值為()第20題圖A.2B.4C.6D.821.(2023包頭)如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，AC與BD相交于點(diǎn)E，連接AB，CD.則△ABE與△CDE的周長比為()第21題圖A.1∶4B.4∶1C.1∶2D.2∶122.(2022連云港)如圖，△ABC中，BD⊥AB，BD，AC相交于點(diǎn)D，AD＝eq\f(4,7)AC，AB＝2，∠ABC＝150°，則△DBC的面積是()第22題圖A.eq\f(3\r(3),14)B.eq\f(9\r(3),14)C.eq\f(3\r(3),7)D.eq\f(6\r(3),7)23.(2022淄博)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F，若BC＝4，△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為()A.eq\f(3,5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(4,5)D.eq\f(2\r(5),5)第23題圖24.(2022云南)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)F.若BF＝6，則BE的長是________．第24題圖25.(2022包頭)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)B作BD⊥CB，垂足為B，且BD＝3，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥CB，垂足為N.若AC＝2，則MN的長為________．第25題圖26.(新考法)·結(jié)合網(wǎng)格考查線段位置關(guān)系(2023河北)如圖是釘板示意圖，每相鄰4個(gè)釘點(diǎn)是邊長為1個(gè)單位長的小正方形頂點(diǎn)，釘點(diǎn)A，B的連線與釘點(diǎn)C，D的連線交于點(diǎn)E，則(1)AB與CD是否垂直？________(填“是”或“否”)；(2)AE＝________．第26題圖27.(2022長春)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC＝4,BD＝8，點(diǎn)E在邊AD上，AE＝eq\f(1,3)AD，連接BE交AC于點(diǎn)M.(1)求AM的長；(2)tan∠MBO的值為________．第27題圖28.(2023泰安)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，DE＝BE，AC與BD相交于點(diǎn)O，BE與AC相交于點(diǎn)F.(1)若BE平分∠CBD，求證：BF⊥AC；(2)找出圖中與△OBF相似的三角形，并說明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的長度．第28題圖類型三旋轉(zhuǎn)型29.(2023玉林)如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，點(diǎn)E是DC邊上的任一點(diǎn)(不包括端點(diǎn)D，C)，過點(diǎn)A作AF⊥AE交CB的延長線于點(diǎn)F，設(shè)DE＝a.(1)求BF的長(用含a的代數(shù)式表示)；(2)連接EF交AB于點(diǎn)G，連接GC，當(dāng)GC∥AE時(shí)，求證：四邊形AGCE是菱形．第29題圖類型四三垂直型30.(2023達(dá)州)如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的AB邊上，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，若CD＝3BF，BE＝4，則AD的長為()A.9B.12C.15D.18第30題圖31.(2022臺州)如圖，點(diǎn)E,F,G分別在正方形ABCD的邊AB,BC,AD上，AF⊥EG.若AB＝5,AE＝DG＝1,則BF＝________．第31題圖類型五網(wǎng)格中相似三角形的判定與性質(zhì)32.(2020昆明)在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．如圖，△ABC是格點(diǎn)三角形，在圖中的6×6正方形網(wǎng)格中作出格點(diǎn)三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格點(diǎn)三角形△ADE只算一個(gè))，這樣的格點(diǎn)三角形一共有()第32題圖A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)33.(2022臨沂)如圖，點(diǎn)A，B都在格點(diǎn)上，若BC＝eq\f(2\r(13),3)，則AC的長為()第33題圖A.eq\r(13)B.eq\f(4\r(13),3)C.2eq\r(13)D.3eq\r(13)命題點(diǎn)4相似三角形的實(shí)際應(yīng)用34.(2020紹興)如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2∶5，且三角板的一邊長為8cm.則投影三角板的對應(yīng)邊長為()第34題圖A.20cmB.10cmC.8cmD.3.2cm35.(2022河北)圖①是裝了液體的高腳杯示意圖(數(shù)據(jù)如圖)，用去一部分液體后如圖②所示，此時(shí)液面AB＝()第35題圖A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm36.(2023鹽城)“跳眼法”是指用手指和眼睛估測距離的方法．步驟第一步：水平舉起右臂，大拇指豎直向上，大臂與身體垂直；第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測物體在一條直線上；第三步：閉上右眼，睜開左眼．此時(shí)看到被測物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距離．參照被測物體的大小，估算橫向距離的長度；第四步：將橫向距離乘以10(人的手臂與眼距的比值一般為10)，得到的值約為被測物體離觀測點(diǎn)的距離值．如圖是用“跳眼法”估測前方一輛汽車到觀測點(diǎn)距離的示意圖，該汽車的長度大約為4米，則汽車到觀測點(diǎn)的距離約為()第36題圖A.40米B.60米C.80米D.100米37.(2023陜西)小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時(shí)刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為16米，OA的影長OD為20米，小明的影長FG為2.4米，其中O，C，D，F(xiàn)，G五點(diǎn)在同一直線上，A，B，O三點(diǎn)在同一直線上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF為1.8米，求旗桿的高AB.第37題圖源自北師九上P103活動參考答案與解析1.eq\f(5,6)2.D3.B【解析】設(shè)該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約為x，則上部高度為2－x，根據(jù)題意得eq\f(2－x,x)＝eq\f(x,2)，解得x＝－1＋eq\r(5)(負(fù)值已舍去)，∴x＝－1＋2.236≈1.24.經(jīng)檢驗(yàn)x＝1.24是該分式方程的解且符合實(shí)際，∴該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是1.24m.4.eq\r(5)－1【解析】∵E為邊AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝2，∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5)－1,2)，即eq\f(BE,2)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴BE＝(eq\r(5)－1)米．5.C【解析】∵五線譜中五條橫線等距離且平行，∴分割線段AC成比例，∴根據(jù)圖形得eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,1)，∵AB＝3，∴BC＝eq\f(3,2).6.C【解析】∵DE∥BC，eq\f(AD,DB)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(2,5)，∵DE＝6cm，∴BC＝15cm.7.D8.C【解析】△ABC的最長邊為4，與△ABC相似的△DEF最長邊為12，∴相似比為4∶12＝1∶3，∵△ABC的周長為2＋3＋4＝9，∴△DEF的周長為3×9＝27.9.解：選擇①eq\f(BD,CD)＝eq\f(B′D′,C′D′)；證明：∵△ACD∽△A′C′D′，∴∠ADC＝∠A′D′C′，eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(CD,C′D′)，∴∠ADB＝∠A′D′B′，又∵eq\f(BD,CD)＝eq\f(B′D′,C′D′)，∴eq\f(BD,B′D′)＝eq\f(CD,C′D′)，則eq\f(BD,B′D′)＝eq\f(CD,C′D′)＝eq\f(AD,A′D′)，∴△ABD∽△A′B′D′.【一題多解】選擇③∠BAD＝∠B′A′D′.證明：∵△ACD∽△A′C′D′，∴∠ADC＝∠A′D′C′，∴∠ADB＝∠A′D′B′，∵∠BAD＝∠B′A′D′，∴△ABD∽△A′B′D′.10.B【解析】在△ABC中，∵D、E分別為線段BC、BA的中點(diǎn)，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴eq\f(S2,S1)＝(eq\f(BE,AB))2＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4).11.B【解析】∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠B，∴△ADC∽△ACB，∴eq\f(C△ADC,C△ACB)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,2).12.A【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，設(shè)相似比為k，則DE＝8k，△ADE的DE邊上高為6k，∴△DEF的DE邊上高h(yuǎn)＝6－6k，S△DEF＝eq\f(1,2)DE·h＝eq\f(1,2)×8k×(6－6k)＝－24k2＋24k＝－24(k－eq\f(1,2))2＋6，∴當(dāng)k＝eq\f(1,2)時(shí)，S取最大值，此時(shí)最大值為6.13.∠ADE＝∠B(答案不唯一)【解析】∵∠A＝∠A，∴添加條件∠ADE＝∠B即可得到△ADE∽△ABC.14.eq\f(2\r(3),3)【解析】由題意得，DE＝1，BC＝3，在Rt△ABC中，∠A＝60°，則AB＝eq\f(BC,tanA)＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3).∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AB)，即eq\f(1,3)＝eq\f(\r(3)－BD,\r(3))，解得BD＝eq\f(2\r(3),3).15.eq\f(\r(3),3)【解析】∵BC＝eq\r(3)AB＝3BD，∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(AB,BD)＝eq\r(3)，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(BD,BA)＝eq\f(\r(3),3).16.(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，AC為對角線，∴∠ACB＝∠ACD.∵∠ACD＝∠ABE，∴∠ACB＝∠ABE.又∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB；(2)解：∵△ABC∽△AEB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AC,AB)，∵AB＝6，AC＝4，∴eq\f(6,AE)＝eq\f(4,6)，∴AE＝9.17.解：(1)∵四邊形BFED是平行四邊形，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,4)，∵AB＝8，∴AD＝2；(2)設(shè)△ABC的面積為S，△ADE的面積為S1，△CEF的面積為S2.∵eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(S1,S)＝(eq\f(AD,AB))2＝eq\f(1,16)，∵S1＝1，∴S＝16.∵eq\f(CE,CA)＝eq\f(3,4)，同理可得S2＝9，∴平行四邊形BFED的面積為S－S1－S2＝6.18.證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，∵DF＝BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF＝∠BCE，∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，∴∠H＝∠BCE，∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH；(2)∵BE2＝AB·AE，∴eq\f(AB,BE)＝eq\f(BE,AE)，∵CB∥DG，∴eq\f(AE,BE)＝eq\f(AG,BC)，∴eq\f(AG,BC)＝eq\f(BE,AB)，∵BC＝AB，∴AG＝BE，∵△CDF≌△CBE，∴DF＝BE，∴AG＝DF.19.(1)證明：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF，∴eq\f(DG,BF)＝eq\f(AG,AF)，eq\f(EG,CF)＝eq\f(AG,AF)，∴eq\f(DG,BF)＝eq\f(EG,CF).∵BF＝CF，∴DG＝EG；(2)解：由(1)得DG＝EG，∵CG⊥DE，∴CE＝CD＝6.∵AE＝3，∴AC＝AE＋CE＝9.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(1,3)；(3)解：如解圖，延長GE交AB于點(diǎn)M，連接FM，過點(diǎn)M作MN⊥BC，垂足為N.在?ABCD中，BO＝DO，∠ABC＝∠ADC＝45°.∵EG∥BD，∴同(1)中的方法可得ME＝GE.第19題解圖∵EF⊥EG，∴FM＝FG＝10，∴∠EFM＝∠EFG.∵∠EGF＝40°，∴∠EFG＝50°.∵FG平分∠EFC，∴∠EFG＝∠CFG＝50°，∴∠BFM＝180°－∠EFM－∠EFG－∠CFG＝30°.在Rt△FMN中，MN＝FM·sin30°＝5，F(xiàn)N＝FM·cos30°＝5eq\r(3).∵∠MBN＝45°，MN⊥BC，∴BN＝MN＝5，∴BF＝BN＋FN＝5＋5eq\r(3).20.B【解析】由平移性質(zhì)可得，AD∥BE，AD＝BE，∴△ADG∽△CEG.∵BC∶EC＝3∶1，∴BE∶EC＝2∶1，∴AD∶EC＝2∶1，∴S△ADG∶S△ECG＝(eq\f(AD,EC))2＝4.∵S△ADG＝16，∴S△CEG＝4.21.D【解析】如解圖，取格點(diǎn)F，H，易得△AHB∽△DFC，∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(AH,DF)＝2，∠ABF＝∠DCF，∴AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∵AB∶CD＝2∶1，∴周長比為2∶1.第21題解圖22.A【解析】如解圖，過點(diǎn)C作BD的垂線，交BD的延長線于點(diǎn)E，則∠E＝90°，∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥CE，∠ABD＝90°，又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED，∴eq\f(AD,CD)＝eq\f(AB,CE)＝eq\f(BD,DE).∵AD＝eq\f(4,7)AC，∴eq\f(AD,CD)＝eq\f(4,3)，∴eq\f(AB,CE)＝eq\f(2,CE)＝eq\f(4,3)＝eq\f(BD,DE)，則CE＝eq\f(3,2).∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，∴∠CBE＝60°，∴BE＝eq\f(\r(3),3)CE＝eq\f(\r(3),2)，∴BD＝eq\f(4,7)BE＝eq\f(2\r(3),7)，∴S△BCD＝eq\f(1,2)BD·CE＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(3),7)×eq\f(3,2)＝eq\f(3\r(3),14).第22題解圖23.A【解析】如解圖，過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作EF的垂線交EF的延長線于點(diǎn)H，∵E是AB的中點(diǎn)，BC＝4，∴EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC＝2，∵△AEF的面積為5，∴eq\f(1,2)AF·EG＝5，∴AF＝5.∵∠H＝∠FEA＝90°，∠CFH＝∠AFE，∴△CFH∽△AFE，∴eq\f(CH,AE)＝eq\f(CF,AF)，∵E為AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∴CE＝AE，∴eq\f(CH,AE)＝eq\f(CH,CE)＝eq\f(CF,AF).∵∠FEA＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AB)，∴eq\f(\f(1,2)AB,AC)＝eq\f(5,AB)，∴AB2＝10AC.∵在Rt△ABC中，AB2＝BC2＋AC2，∴10AC＝16＋AC2，∴AC＝2(舍去)，AC＝8，∴CF＝3，∴sin∠CEF＝eq\f(CH,CE)＝eq\f(CF,AF)＝eq\f(3,5).第23題解圖24.9【解析】∵點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB，DE＝eq\f(1,2)AB.∴△DEF∽△ABF，∴eq\f(EF,BF)＝eq\f(DE,AB)＝eq\f(1,2)，∵BF＝6，即eq\f(EF,6)＝eq\f(1,2)，∴EF＝3，∴BE＝BF＋EF＝6＋3＝9.25.eq\f(6,5)【解析】∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，∴AC∥MN∥DB，∠CNM＝∠CBD，∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，∴eq\f(MC,MD)＝eq\f(AC,BD)＝eq\f(2,3)，eq\f(MN,BD)＝eq\f(CM,CD)，∴eq\f(CM,CD)＝eq\f(2,5)，∴eq\f(MN,3)＝eq\f(2,5)，∴MN＝eq\f(6,5).26.(1)是；(2)eq\f(4\r(5),5)【解析】(1)如解圖，易得△ACH≌△CGD，則∠GCD＝∠CAH，又∵∠GCD＋∠ECA＝90°，∴∠CAH＋∠ECA＝90°，∴∠CEA＝90°；(2)由解圖可得△CEA∽△DEB，BD＝3，AC＝2，AB＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，∴eq\f(AC,BD)＝eq\f(AE,BE)，∴eq\f(AE,BE)＝eq\f(2,3)，∴AE＝eq\f(2,5)AB＝eq\f(4\r(5),5).第26題解圖27.解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴△AEM∽△CBM，∴eq\f(AM,CM)＝eq\f(AE,CB)，∵AE＝eq\f(1,3)AD＝eq\f(1,3)BC，∴AM＝eq\f(1,3)CM，∴AM＝eq\f(1,4)AC，∵AC＝4，∴AM＝1；(2)eq\f(1,4).【解法提示】∵四邊形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝8，∴AO＝OC＝2，BO＝OD＝4，AC⊥BD，∵AM＝1，∴OM＝1，∴在Rt△BOM中，tan∠MBO＝eq\f(OM,OB)＝eq\f(1,4).28.(1)證明：如解圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴OC＝OD，AB∥CD，∴∠2＝∠3＝∠4.∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，第28題解圖又∵BE平分∠DBC，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，又∵∠3＋∠5＝90°，∴∠6＋∠5＝90°，∴BF⊥AC；(2)解：△ECF，△BAF與△OBF相似．理由如下：如解圖，由(1)知∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠OFB＝∠BFO，∴△OBF∽△BAF，∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，∴△OBF∽△ECF；(3)解：∵△OBF∽△ECF，∴eq\f(EF,OF)＝eq\f(CF,BF)，∵OF＝3，EF＝2，∴eq\f(2,3)＝eq\f(CF,BF)，∴3CF＝2BF.∵OA＝OC，∴OA＝OF＋CF，∴3OA＝3CF＋3OF.∴3OA＝2BF＋9，①∵△OBF∽△BAF，∴eq\f(OF,BF)＝eq\f(BF,AF)，∴BF2＝OF·AF，∴BF2＝3(OA＋3).②由①②，得BF＝1＋eq\r(19)(負(fù)值已舍去)，∴DE＝BE＝2＋1＋eq\r(19)＝3＋eq\r(19).29.(1)解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠D＝90°，∴∠ABF＝90°＝∠D，∠BAE＋∠DAE＝90°，∵AE⊥AF，∴∠BAE＋∠BAF＝90°，∴∠DAE＝∠BAF，∴△DAE∽△BAF，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BF)，即eq\f(4,8)＝eq\f(a,BF)，∴BF＝2a；(2)證明：如解圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵CG∥AE，∴四邊形AGCE是平行四邊形，第29題解圖∴CE＝AG，∵AB＝CD，∴DE＝GB＝a，∵BF＝2a，∴tan∠BFG＝eq\f(BG,BF)＝eq\f(1,2)，∵△DAE∽△BAF，∴eq\f(AE,AF)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,2)，∴tan∠AFE＝eq\f(1,2)，∴∠BFG＝∠AFE，即FE平分∠AFC，∵EA⊥AF，EC⊥CF，∴AE＝EC，∴四邊形AGCE