專題19 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）原卷版

2/2專題19利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 3【考點1】判斷、證明或討論零點的個數(shù) 3【考點2】根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍 4【考點3】與函數(shù)零點相關(guān)的綜合問題 5【分層檢測】 7【基礎(chǔ)篇】 7【能力篇】 8【培優(yōu)篇】 9真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、解答題2．（2023·全國·高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．3．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．4．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．5．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．6．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．考點突破考點突破【考點1】判斷、證明或討論零點的個數(shù)一、單選題1．（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為（

）A．3 B．4 C．2或3或4或5 D．2或3或4或5或6二、多選題2．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．將函數(shù)圖象上各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象D．函數(shù)的零點個數(shù)為7三、填空題3．（2021·浙江·模擬預(yù)測）已知實數(shù)且，為定義在上的函數(shù)，則至多有個零點；若僅有個零點，則實數(shù)的取值范圍為．四、解答題4．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù).(1)判斷的零點個數(shù)并說明理由；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.5．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)時，求的零點個數(shù)；(2)若時，恒成立，求a的取值范圍.6．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求證：；(2)求函數(shù)的零點個數(shù).反思提升：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點常用方法(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點的個數(shù).(2)利用零點存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個零點.【考點2】根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍一、單選題1．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)若恰有5個不同零點，則正實數(shù)的范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2021·山東聊城·二模）用符號表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.設(shè)有3個不同的零點，，，則（

）A．是的一個零點B．C．的取值范圍是D．若，則的范圍是.三、填空題3．（2021·安徽安慶·三模）已知函數(shù)有三個零點，，，且，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，則的范圍為．四、解答題4．（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)(1)若時函數(shù)有三個互不相同的零點，求m的范圍；(2)若函數(shù)在內(nèi)沒有極值點，求a的范圍；5．（23-24高三上·遼寧沈陽·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，求實數(shù)的范圍.6．（2023·天津濱海新·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)若，求的單調(diào)區(qū)間.(2)若，且在區(qū)間上恒成立，求a的范圍；(3)若，判斷函數(shù)的零點的個數(shù).反思提升：1.函數(shù)零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，根據(jù)圖象的幾何直觀求解.2.與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點判斷函數(shù)的大致圖象，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點情況.【考點3】與函數(shù)零點相關(guān)的綜合問題一、單選題1．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的定義域為RB．若函數(shù)在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則C．當(dāng)時，可能有三個零點D．當(dāng)時，函數(shù)的極小值大于極大值二、多選題2．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知函數(shù)，下列說法正確的有（

）A．當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增B．當(dāng)時，函數(shù)有唯一極值點C．若函數(shù)只有兩個不等于1的零點，則必有D．若函數(shù)有三個零點，則三、填空題3．（2024·安徽·模擬預(yù)測）對于函數(shù)，當(dāng)該函數(shù)恰有兩個零點時，設(shè)兩個零點中最大值為，當(dāng)該函數(shù)恰有四個零點時，設(shè)這四個零點中最大值為，求.四、解答題4．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，證明：有且僅有一個零點．(2)當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍．(3)證明：．5．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)已知實數(shù).①求證：函數(shù)有且僅有一個零點；②設(shè)該零點為，若圖象上有且只有一對點，關(guān)于點成中心對稱，求實數(shù)的取值范圍.6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)的兩個極值點分別為，證明：；(3)設(shè)，求證：當(dāng)時，有且僅有2個不同的零點．（參考數(shù)據(jù)：）反思提升：在求解函數(shù)問題時，很多時候都需要求函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的零點，但所述情形都難以求出其準(zhǔn)確值，導(dǎo)致解題過程無法繼續(xù)進(jìn)行時，可這樣嘗試求解：先證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上存在唯一的零點(例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間I的兩個端點的函數(shù)值異號時就可證明存在唯一的零點)，這時可設(shè)出其零點是x0.因為x0不易求出(當(dāng)然，有時是可以求出但無需求出)，所以把零點x0叫做隱零點；若x0容易求出，就叫做顯零點，而后解答就可繼續(xù)進(jìn)行，實際上，此解法類似于解析幾何中“設(shè)而不求”的方法.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．為增函數(shù) B．有兩個零點C．的最大值為2e D．的圖象關(guān)于對稱2．（2024·四川涼山·二模）若，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（22-23高三下·江西·階段練習(xí)）若函數(shù)有零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．有兩個零點 B．點是曲線的對稱中心C．有兩個極值點 D．直線是曲線的切線二、多選題5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，下列正確的是（

）A．若函數(shù)有且只有1個零點，則B．若函數(shù)有兩個零點，則C．若函數(shù)有且只有1個零點，則，D．若有兩個零點，則6．（21-22高三上·湖北·期中）已知函數(shù)，下列結(jié)論成立的是（）A．函數(shù)在定義域內(nèi)無極值B．函數(shù)在點處的切線方程為C．函數(shù)在定義域內(nèi)有且僅有一個零點D．函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個零點，，且7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則（

）A．若有極值點，則B．當(dāng)時，有一個零點C．D．當(dāng)時，曲線上斜率為2的切線是直線三、填空題8．（2023·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）若函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍為．9．（2021·海南·二模）函數(shù)的零點個數(shù)為.10．（20-21高三上·吉林長春·期中）若函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的值為.四、解答題11．（20-21高二下·重慶·期末）已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直.（1）求的值；（2）若函數(shù)在上無零點，求的取值范圍.12．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)若有兩個不同的零點，證明．【能力篇】一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·遼寧·三模）已知函數(shù)為實數(shù)，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，則與有相同的極值點和極值B．存在，使與的零點同時為2個C．當(dāng)時，對恒成立D．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為三、填空題3．（23-24高三下·四川雅安·開學(xué)考試）已知，分別是函數(shù)和的零點，且，，則．四、解答題4．（22-23高二上·山東濱州·期末）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，求的取值范圍.【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有3個零點