四川省內(nèi)江市2024-2025學年高二數(shù)學上學期期末檢測理科試題含解析

內(nèi)江市2024~2024學年度高二數(shù)學上學期期末檢測題數(shù)學（理科）1、本試卷包括第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁．全卷滿分150分，考試時間120分鐘．2、答第Ⅰ卷時，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；答第Ⅱ卷時，用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡規(guī)定的區(qū)域內(nèi)作答，字體工整，筆記清晰；不能答在試題卷上．3、考試結(jié)束后，監(jiān)考人將答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分，每小題有且只有一個正確答案．1.已知點，點關(guān)于原點的對稱點為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)空間兩點間距離公式，結(jié)合對稱性進行求解即可.【詳解】因為點關(guān)于原點的對稱點為，所以,因此，故選：C2.為了了解1200名學生對學校某項教改試驗的看法，準備從中抽取一個容量為40的樣本，采納系統(tǒng)抽樣方法，則分段的間隔為（）A.40 B.30 C.20 D.12【答案】B【解析】【分析】依據(jù)系統(tǒng)抽樣的概念，以及抽樣距的求法，可得結(jié)果.【詳解】由總數(shù)為1200，樣本容量為40，所以抽樣距為：故選：B【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的概念，屬基礎(chǔ)題.3.上海世博會期間，某日13時至21時累計入園人數(shù)的折線圖如圖所示，那么在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，入園人數(shù)最多的時段是（）A.13時~14時 B.16時~17時 C.18時~19時 D.19時~20時【答案】B【解析】【分析】要找入園人數(shù)最多的，只要依據(jù)函數(shù)圖象找出圖象中改變最大的即可【詳解】結(jié)合函數(shù)的圖象可知，在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，圖象改變最快的為16到17點之間故選：B.【點睛】本題考查折線統(tǒng)計圖的實際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)三視圖可得如圖所示幾何體（三棱錐），依據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計算該幾何體的表面積.【詳解】依據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐，其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1，故其表面積為，故選：A.5.下面四個說法中，正確說法的個數(shù)為（）（1）假如兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合；（2）兩條直線可以確定一個平面；（3）若，，，則；（4）空間中，兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi).A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】假如兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合或者是相交，即可推斷；利用兩條異面直線不能確定一個平面即可推斷；利用平面的基本性質(zhì)中的公理推斷即可；若兩兩相交的三條直線相交于同一點，則相交于同一點的三直線不肯定在同一平面內(nèi)（如棱錐的3條側(cè)棱），即可推斷.【詳解】假如兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合或者是相交，故（1）不正確；兩條異面直線不能確定一個平面，故（2）不正確；利用平面的基本性質(zhì)中的公理推斷（3）正確；空間中，若兩兩相交的三條直線相交于同一點，則相交于同一點的三直線不肯定在同一平面內(nèi)（如棱錐的3條側(cè)棱），故（4）不正確，綜上所述只有一個說法是正確的，故選：A．【點睛】本題主要考查了空間中點，線，面的位置關(guān)系.屬于較易題.6.如圖，將邊長為4的正方形折成一個正四棱柱的側(cè)面，則異面直線AK和LM所成角的大小為（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】D【解析】【分析】作出折疊后的正四棱錐，確定線面關(guān)系，從而把異面直線的夾角通過平移放到一個平面內(nèi)求得.【詳解】由題知，折疊后的正四棱錐如圖所示，易知K為的四等分點，L為的中點，M為的四等分點，，取的中點N，易證，則異面直線AK和LM所成角即直線AK和KN所成角，在中，，，故故選：D7.從編號分別為,,,,的五個大小完全相同的小球中,隨機取出三個小球,則恰有兩個小球編號相鄰的概率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概型計算公式計算即可【詳解】從編號分別為,,,,的五個大小完全相同的小球中,隨機取出三個小球共有種不同的取法,恰好有兩個小球編號相鄰的有:,共有6種所以概率為故選:C8.已知實數(shù)，滿意，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，利用直線的斜率公式模型進行求解即可.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：，代數(shù)式表示不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點與點連線的斜率，由圖象可知：直線的斜率最大，由，即，即的最大值為：，因此的最大值為，故選：A9.幾何學史上有一個聞名的米勒問題：“設(shè)點、是銳角的一邊上的兩點，試在邊上找一點，使得最大的．”如圖，其結(jié)論是：點為過、兩點且和射線相切的圓的切點．依據(jù)以上結(jié)論解決一下問題：在平面直角坐標系中，給定兩點，，點在軸上移動，當取最大值時，點的橫坐標是（）A.B.C.或D.或【答案】A【解析】【分析】依據(jù)米勒問題的結(jié)論，點應(yīng)當為過點、的圓與軸的切點，設(shè)圓心的坐標為，寫出圓的方程，并將點、的坐標代入可求出點的橫坐標.【詳解】解：設(shè)圓心的坐標為，則圓的方程為，將點、的坐標代入圓的方程得，解得或（舍去），因此，點的橫坐標為，故選：A.10.已知點，，直線：與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】由可求出直線過定點，作出圖象，求出和，數(shù)形結(jié)合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點，由可得，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是或，故選：A.11.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱A1B1上一點，且AB＝2，若二面角B1﹣BC1﹣E為45°，則四面體BB1C1E的外接球的表面積為（）A.π B.12π C.9π D.10π【答案】D【解析】【分析】連接交于，可得，利用線面垂直的判定定理可得：平面，于是，可得而為二面角的平面角，再求出四面體的外接球半徑，進而利用球的表面積計算公式得出結(jié)論．【詳解】連接交于，則，易知，則平面，所以，從而為二面角平面角，則.因為，所以，所以四面體的外接球半徑．故四面體BB1C1E的外接球的表面積為．故選：D【點睛】本題考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角的平面角、球的表面積計算公式，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題．12.已知圓：，點是直線：上的動點，過點引圓的兩條切線、，其中、為切點，則直線經(jīng)過定點（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合圓的標準方程、圓與圓的位置關(guān)系進行求解即可.【詳解】因為、是圓的兩條切線，所以，因此點、在以為直徑的圓上，因為點是直線：上的動點，所以設(shè)，點，因此的中點的橫坐標為：，縱坐標為：，，因此以為直徑的圓的標準方程為：，而圓：，得：，即為直線的方程，由，所以直線經(jīng)過定點，故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：由圓的切線性質(zhì)得到點、在以為直徑的圓上，運用圓與圓的位置關(guān)系進行求解是解題的關(guān)鍵.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．13.已知莖葉圖記錄了甲、乙兩組各名學生在一次英語聽力測試中的成果（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為__________．甲組乙組【答案】【解析】【分析】依據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的定義，結(jié)合莖葉圖進行計算求解即可.【詳解】依據(jù)莖葉圖可知：甲組名學生在一次英語聽力測試中的成果分別；乙組名學生在一次英語聽力測試中的成果分別，因為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以有，又因為乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以有，所以，故答案為：14.過圓內(nèi)的點作一條直線，使它被該圓截得的線段最短，則直線的方程是______．【答案】【解析】【分析】由已知得圓的圓心為，所以當直線時，被該圓截得的線段最短，可求得直線的方程.【詳解】解：由得，所以圓的圓心為，所以當直線時，被該圓截得的線段最短，所以，解得，所以直線l的方程為，即，故答案為：.15.秦九韶誕生于普州（今資陽市安岳縣），是我國南宋時期宏大的數(shù)學家，他創(chuàng)立的秦九韶算法歷來為人稱道，其本質(zhì)是將一個次多項式寫成個一次式相組合的形式，如可將寫成，由此可得__________．【答案】【解析】【分析】利用代入法進行求解即可.【詳解】故答案為：16.正四棱柱中，，，點為底面四邊形的中心，點在側(cè)面四邊形的邊界及其內(nèi)部運動，若，則線段長度的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)正四棱柱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，結(jié)合勾股定理進行求解即可.【詳解】當位于點時，因為是正方形，所以，由正四棱柱的性質(zhì)可知，平面，因為平面，所以，因為平面，所以平面，平面，所以，因此當位于點時，滿意題意，當點位于邊點時，若，在矩形中，因為，所以，因此，所以有，此時，又平面，所以平面，故點的軌跡在線段上，，所以線段長度的最大值為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：利用特別點推斷出點的軌跡是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分，解答題應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.有1000人參與了某次垃圾分類學問競賽，從中隨機抽取100人，將這100人的此次競賽的分數(shù)分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求圖中a的值；（2）估計總體1000人中競賽分數(shù)不少于70分的人數(shù)；（3）假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替，估計總體1000人的競賽分數(shù)的平均數(shù).【答案】（1）0.040；（2）750；（3）76.5.【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程，能求出圖中的值；（2）先求出競賽分數(shù)不少于70分的頻率，由此能估計總體1000人中競賽分數(shù)不少于70分的人數(shù)；（3）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能估計總體1000人的競賽分數(shù)的平均數(shù)．【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得．圖中值為0.040．（2）競賽分數(shù)不少于70分的頻率為：，估計總體1000人中競賽分數(shù)不少于70分的人數(shù)為．（3）假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替，估計總體1000人的競賽分數(shù)的平均數(shù)為：．【點睛】本題主要考查頻率、頻數(shù)、平均數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)學問，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平．18.如圖，在直三棱柱中，，，與交于點，為的中點，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)直棱柱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理、線面平行的判定定理進行證明即可；（2）依據(jù)直棱柱的性質(zhì)、菱形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進行證明即可.【小問1詳解】在直三棱柱中，，且四邊形為平行四邊形，又，則為的中點，又為的中點，故，即：，且平面，平面，所以平面；【小問2詳解】在直三棱柱中，平面，平面，則，且，，平面，故平面，因為平面，所以，又在平行四邊形中，，則四邊形為菱形，所以，且，平面，故平面，因為平面，所以平面平面.19.已知直線過坐標原點，圓的方程為．（1）當直線的斜率為時，求與圓相交所得的弦長；（2）設(shè)直線與圓交于兩點，，且為的中點，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）、由題意可知直線的方程為，圓的圓心為，半徑為，求出圓心到直線的距離，依據(jù)勾股定理即可求出與圓相交所得的弦長；（2）、設(shè)，因為為的中點，所以，又因為，均在圓上，將，坐標代入圓方程，即可求出點坐標，即可求出直線的方程．【小問1詳解】由題意：直線過坐標原點，且直線的斜率為直線的方程為，圓的方程為圓的方程可化為：圓的圓心為，半徑為圓的圓心到直線：的距離為，與圓相交所得的弦長為【小問2詳解】設(shè)，為的中點，又，均在圓上，或直線的方程或20.某種機械設(shè)備隨著運用年限的增加，它的運用功能漸漸減退，運用價值逐年削減，通常把它運用價值逐年削減的“量”換算成費用，稱之為“失效費”．某種機械設(shè)備的運用年限（單位：年）與失效費（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：運用年限（單位：年）1234567失效費（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回來模型擬合與的關(guān)系．請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（精確到0.01）（2）求出關(guān)于的線性回來方程，并估算該種機械設(shè)備運用8年的失效費．參考公式：相關(guān)系數(shù)．線性回來方程中斜率和截距最小二乘估計計算公式：，．參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】（1）答案見解析；（2）；失效費為6.3萬元．【解析】【分析】（1）依據(jù)相關(guān)系數(shù)公式計算出相關(guān)系數(shù)可得結(jié)果；（2）依據(jù)公式求出和可得關(guān)于的線性回來方程，再代入可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，知，，．∴結(jié)合參考數(shù)據(jù)知：．因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，所以與的線性相關(guān)程度相當大，從而可以用線性回來模型擬合與的關(guān)系．（2）∵，∴．∴關(guān)于的線性回來方程為，將代入線性回來方程得萬元，∴估算該種機械設(shè)備運用8年失效費為6.3萬元．21.已知正三棱柱底面邊長為，是上一點，是以為直角頂點的等腰直角三角形，（1）證明：是的中點；（2）求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)正棱柱的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、直角三角形的性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)進行證明即可；（2）依據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合二面角的定義進行求解即可.【小問1詳解】證明：在正三棱柱中，平面，平面，則,又是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，且，平面，故平面，而平面，所以，又為正三角形，所以為的中點；【小問2詳解】在正中，取的中點為，則，又平面，則，且，平面，故平面，取的中點為，且的中點為，