2021湖南高三數(shù)學(xué)第三次高考模擬考試含答案

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2021湖南高三數(shù)學(xué)第三次高考模擬考試含答案

湖南省2021屆高三模擬第三次考試

數(shù)學(xué)

本試題卷分為第I卷(選擇題)和第D卷(非選擇題)兩部分，共22題，時量120分鐘，滿分

150分。

第I卷

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知集合

A.{x|x>—\/10}B.{x|l<x<10)

C.{x|x>yi0}D.{x|l<x<yi0}

2.已知N在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(2,-1),則禹=

A.1—3iB.3+iC.1-iD.2-i

3.每年的3月15日是“國際消費者權(quán)益日”，某地市場監(jiān)管局在當(dāng)天對某市場的20家肉制品

店、100家糧食加工品店和15家乳制品店進(jìn)行抽檢，要用分層抽樣的方法從中抽檢27家，則

糧食加工品店需要被抽檢

A.20家B.10家C.15家D.25家

4.已知拋物線。0=啟(帆>0)上的點A(a,2)到其準(zhǔn)線的距離為4,則m=

A./B.8C.-g-D.4

5.《周髀算經(jīng)》是我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，其中有一個號長逐漸變小

問題大意如下:一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣懸長損益

相同(即太陽照射物體的影子長度增加和減少的大小相

同).二十四個節(jié)氣及號長變化如圖所示，若冬至暑長一丈

三尺五寸,夏至暑長一尺五寸(注:一丈等于十尺，一尺等

于十寸)?則立秋暑長為

A.五寸

B.二尺五寸

C.三尺五寸

D.四尺五寸

6.2020年11月24日4時30分，我國在文昌航天發(fā)射場用

長征五號運載火箭成功發(fā)射嫦娥五號，12月17日凌晨，嫦樓長逐漸變大

娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸，“繞、落、回”三步探月規(guī)劃

完美收官,這為我國未來月球與行星探測奠定了堅實基礎(chǔ).已知在不考慮空氣阻力和地球引

力的理想狀態(tài)下，可以用公式-In5計算火箭的最大速度水m/s),其中%(m/s)是噴

流相對速度,m(kg)是火箭(除推進(jìn)劑外)的質(zhì)量,M(kg)是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，羨稱為

"總質(zhì)比''.若A型火箭的噴流相對速度為1000m/s,當(dāng)總質(zhì)比為500時,A型火箭的址大速

度約為(lge*0.434,1g2=0.301)

A.4890m/sB.5790m/sC.6219m/sD.6825m/s

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7.P為雙曲線一￡=lQ>0,b>0）上一點,分別為其左、右焦點為坐標(biāo)原點.若

IQPI=6,且sinNPFzR=3sinNPBB，則C的離心率為

A.72B.伍C.2D.V6

8.在一次“概率”相關(guān)的研究性活動中，老師在每個箱子中裝了10個小球,其中9個是白球,1

個是黑球,用兩種方法讓同學(xué)們來摸球.方法一:在20箱中各任意摸出一個小球;方法二:在

10箱中各任意摸出兩個小球.將方法一、二至少能摸出一個黑球的概率分別記為Px和a,則

A.piV/>2B.p\=p2

C.p}>p2D.以上三種情況都有可能

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，有選錯的得。分,部分選對的得2分.

9.在（3工一白尸的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之和為128,則

A.二項式系數(shù)和為64B.各項系數(shù)和為64

C.常數(shù)項為一135D.常數(shù)項為135

10.已知函數(shù)y（jr）=2alnx+a^+h.

A.當(dāng)a=-l時,/（z）的極小值點為（1,1+b）

B.若人力在口,+8）上單調(diào)遞增，則ae[—1,+8）

C若人工）在定義域內(nèi)不單調(diào)，則（—8,0）

D.若&=一卷且曲線y=/Cr）在點（1,/。））處的切線與曲線尸=-1相切，則6=-2

11.如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=l,AD=2,NA=60",沿

對角線BD將A4BD折起到△PBD的位置，使得平面PBD±

平面BCD,下列說法正確的有

A.平面PCD_L平面PBD

B.三棱錐P-BCD四個面都是直角三角形

C.PD與BC所成角的余弦值為號

D.過BC的平面與PD交于M,則△MBC面積的最小值為軍

12.已知函數(shù)/（j-）=2asinOKTCOScar—2cos2ttAzfl（g>0,a>0）,若/（x）的最小正周期為五,且

對任意的7￡&八了）》/（死）恒成立,下列說法正確的有

A.u）=2

B.若劭■，則a=￡

C.若人工。一手）=2,則a=g

D.若8（H）=，（力一2|/（工）|在（工0—竽,工0—6）上單調(diào)遞減,則奇忌〈學(xué)

第II卷

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.已知單位向量滿足m-2加=4，則a與b的夾角為▲.

14.函數(shù)概念最早出現(xiàn)在格雷戈里的文章《論圓和雙曲線的求積》（1667年）中.他定義函數(shù)是這

樣一個量:它是從一些其他量出發(fā)，經(jīng)過一系列代數(shù)運算而得到的，或者經(jīng)過任何其他可以

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想象到的運算得到的.若一個量c=a+A而c所對應(yīng)的函數(shù)值”c)可以通過/(c)=/(a)-

得到，并且對另一個量d,若d>c,則都可以得到八根據(jù)自己所學(xué)的知識寫

出一個能夠反映f(c)與c的函數(shù)關(guān)系式：▲.

15,直線Z：(2a-l)x+(a-3)3-4-4-3a=0與圓(工-2)2+[=9相交于A,B兩點，則|AB|的

最小值為▲;此時a=▲.(本題第一空3分,第二空2分)

16.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨特的幾何體，“等腰四面體”就是其中之一，所謂等腰四面體，就

是指三組對棱分別相等的四面體.關(guān)于“等腰四面體”，以下結(jié)論正確的序號是▲.

①“等腰四面體”每個頂點出發(fā)的三條棱一定可以構(gòu)成三角形；

②“等腰四面體”的四個面均為全等的銳角三角形；

③三組對棱長度分別為5,6,7的“等腰四面體”的體積為2/95;

④三組對棱長度分別為a，6,c的“等腰四面體”的外接球直徑為4?+夕.

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊.已知a=36sinA,a=3,c=3^2.

(D若Yc,求bi

(2)求cos2C.

18.（12分）

為了解華人社區(qū)對于新冠疫苗的想法與態(tài)度，美中亞裔健康協(xié)會日前通過社交媒體,進(jìn)行了

小規(guī)模的社區(qū)調(diào)查，結(jié)果顯示，多達(dá)73.4%的華人受訪者，最擔(dān)心接種疫苗后會有“副作

用”.其實任何疫苗都有一定的副作用，新冠疫苗接種后也是有一定副作用的,這跟個人的體

質(zhì)有關(guān)系,有的人會出現(xiàn)副作用,而有的人不會出現(xiàn)副作用.在新冠疫苗的副作用中，有發(fā)

熱、疲乏、頭痛、注射部位的疼痛等表現(xiàn).為了了解某種疫苗是否會出現(xiàn)疲乏癥狀的副作用，

某組織隨機抽取了某地200人進(jìn)行調(diào)查,得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

無疲乏癥狀有疲乏癥狀總計

未注射疫苗10020120

注射疫苗Xyn

總計160m200

(1)求2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x,y,m,n的值,并確定能否有85%的把握認(rèn)為有疲乏癥狀與注

射此種疫苗有關(guān)；

(2)從注射疫苗的n人中按是否有疲乏癥狀，采用分層抽樣的方法抽出8人，再從8人中隨

機抽取3人做進(jìn)一步調(diào)查.若初始總分為10分,抽到的3人中，每有一人有疲乏癥狀減1

分，每有一人沒有疲乏癥狀加2分，設(shè)得分結(jié)果總和為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:昭=Q+b)(：黑(Td)(b+d)，"=a+"c+&

PIK2》自)0.1500.1000.0500.0250.010

%2.0722.7063.8415.0246.635

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19.(12分)

已知S”是數(shù)列｛4｝的前〃項和,%+1-34+2aLi=l,a】=l,&=4.

(1)證明：數(shù)列儲療1一4+1｝是等比數(shù)列.

.(2)求Sn.

20.(12分)

如圖，在四棱臺ABCD-A】B】GDi中，底面為矩形，平面AAD】D_L平面CQDQ,且CC1

=CD=DDj=｝GDI=1.

(D證明：AD_L平面CCQiD.

⑵若AC與平面OQDQ所成角為青，求二面角C-AA-

。的余弦值.

21.(12分)

已知函數(shù)/(x)=--Fainx(a6R)?g(x)=x2—x—~

XX

(1)討論/(H)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)F(z)=/Gr)+gGr)存在兩個極值點與，4,且曲線y=F(z)在工=/五石處的

切線方程為y=GCr),求使不等式FG)VG(H)成立的工的取值范圍.

22.(12分)

已知橢圓C謂+1=1＜。＞6＞0)的右焦點為F(c,0),離心率e=￡.

(1)若P為橢圓C上一動點，證明P到F的距離與P到直線工=￡的距離之比為定值，并求

出該定值.

(2)設(shè)c=l.過定點(0,c)且斜率為k的直線I與橢圓C交于M,N兩點，在y軸上是否存在

一點Q，使得？軸始終平分NMQN?若存在，求出Q點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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湖南省2021屆高三模擬第三次考試

數(shù)學(xué)參考答案

1.D因為:"=｛川7＞】＞..、=｛川.所以MDN=Givy/｝.

2.B由題意知z=2—i?所以刁=■而-3+L

3.A糧食加工品店需要被抽檢20+；罌+J*27=20家.

4.C因為點AQ.2)到C的準(zhǔn)線的距離為4.所以七+2=4.得〃一孑.

5.D設(shè)從熨至到冬至?每個節(jié)氣號長為明.即夏至?xí)r祥氏為川=15.冬至?xí)r晝長為?=135,由每個節(jié)氣展氏

損益相同可知.〃…一a產(chǎn)常數(shù)?所以為等差數(shù)列.設(shè)公差為4?由題意知必一叫+12c/=15+12d=135,

解得＜/=10,則?=勾+3d=15+30=45,四十五寸即四尺五寸.

6.Cv=v.ln—=1000Xln500=1000X^-^=1000X^-^^6219m/s.

mIgeIge

7.B由sinNPF2R=3sin/PBF」及正弦定理可得IPRI=31PF」.

因為12吊1一16|=勿?所以161="?|尸^|=3?.

因為Q6I=c，IOPI=，，?所以NOPR=W"，所以COS/OBP=3.

在△居BP中?cos/B員P=［十＜貌=cos"RP二f.

化簡得c=6a?所以C的離心率/=￡=6.

a

8.A方法一:每箱中的黑球被選中的概率為七?所以至少摸出一個黑球的概率m=1一啥產(chǎn).

方法二:每箱中的黑球被選中的假率為所以至少摸出一個黑球的概率化=1卷嚴(yán).

■一生=(,＞。一喝產(chǎn)=(春去一《黠》y。.則角＜生.

9.ABI)在(3］一白)”的展開式中?各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之和為128.

令才=1?得各項系數(shù)和為2",：項式系數(shù)和為2??則2X2-=128?得”=6.即二項式系數(shù)和為64.各項系數(shù)和

也為64.⑶一《尸展開式的通項為7；?(3.r)f,4?(-7=)*=0*(-l)*3fi*?.

q工VJ-

令6—多t=0?得6=4?因此.展開式中的常數(shù)項為T-Q?(-1),-3?=135.

10.BC極小值點為一個實數(shù).故A不正確.

由/1.r)=§+2x20?可得a2一M.因為.r2I?所以a2一1.故B正確.

/(公=2"：電?當(dāng)40時/(幻〉0恒成立；當(dāng)aVO時/(/)不恒為正數(shù).所以/(公不單調(diào),故C正確.

因為。=一"|"?所以/(.小—后］+合+4因為/⑺一彳十”所以/⑴一八因為八—.

所以切線方程為y=-i+b+2.設(shè)宜線3—一/+。+2與曲線y=-e*相切的切點的橫坐標(biāo)為r..則一小，

=一1,所以-=0,即切點坐標(biāo)為《0.—1》?代人丫=一工+辦+2.可得6=-3.故D錯誤.

II.ABD在△BCD中.因為(7)=1,比'=2./八=60°,所以3。=6.所以皿＞+('。2=比？.所以。。，3。

因為平面PBDJ_平面BCD且交于3D?所以CD1平面PBD.所以CD±PD.

同理PBJ_平面BCD.因為。江平面PCD?所以平面P(7ZL平面P3Q,所以A?B正確.

以Q為坐標(biāo)原點,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Q-＜yz.則/“6?0.0),C(0?l?0),P(Q?0?D.因為訴=

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（6,0,1）.設(shè)'=（一偌?1.0）.所以COS<BT\D?）==—,?.

所以PD與BC所成角的余弦值為卷,故C錯誤.—……行靈X

因為M在線段PQ上.設(shè)M/a.0?a）?則就=（焉一房,0.一“）.\

所以M到皮、的距離d=J而"（"泮’尸=^$2一為+卷'

當(dāng)“=,時心=亨?所以^乂改'面積的最小值為十BC-公空.故D正確.

12.BCD因為f（x）=2as\na^rcos3,—2cos2car+l=asin2a>r—cos2coz=>/?24-1sin（2<ar—?

其中cos^=-7-=:.sin9=舞三.因為/（工）的最小正周期為n.所以s=1?故A錯誤.

因為對任意的工￡RJCr）》/U“）恒成立?所以/5）是/Q）的最小值.

若/“=一卷.則2X（一告）一產(chǎn)一吐+2"（40??>=/一%60

所以cos牛=—^==尊.”一網(wǎng)、極13正確.

vaz+l”

因為J5）是/⑺的最小值?所以人工一學(xué)）為最大值.所以/7Tf=2,所以a=月.故C正確.

因為當(dāng)（.Fo-—y）時?yXi）>0?所以g（x）=~f（x）.

因為/（1）在（/一干"，,一§?）匕中剛遞增?所以*（l）在5—學(xué)..n一￡）上單朋遞減.

4444

當(dāng)工￡(「一￡■?.?1.一千)時.所以g(x)=—/(.r).

Lq

因為/S在Q-f?J-子）上單圈遞減.所以奴1）在5一學(xué)一一半）上單調(diào)遞增.

所以心一苧<r°—號.所以今《X苧?故D正確.

13.g?（或?qū)懗?0°）因為la-2bla-\a?b+?=3.所以cos<a,b〉=}.即（。㈤=專.

14./"）=d（單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)都可以）

15.2/7因為直線Q7Xr+Q—2）.y+3-2a=O恒過點（】，1）,所以當(dāng)圓心與點（1.1）的連線與直線AB

垂直時?弦長1人小最小.因為圓心（2?0）與點（1J）間的距離為/（2—1）+（0—1y=々.半徑為3?所以弦

長IA/3I的最小值為2/^=7=2々.因為圓心（2,0）與點（1?1）連線的斜率為與=-1?所以此時直線/的

斜率為1,由一言二］?得。=等.

16.①②③如圖?將”等腰四面體”補成一個長方體.

設(shè)此”等腰四面體”的對棱棱長分別為。?仇c.

與之對應(yīng)的長方體的長寬高分別為,?y?=?

（,...I-..?,.H用”—</+/—"?.c?!4-6:—rtr-Fc!-a2

則1y=力，得r=-------2------，曠----9--------------------9-------

丁+―,

結(jié)合圖形?容易判斷出①②都是正確的：

對于③?由u=5?=6,c=7.得.<:=/19.j'=>/6.?=/30.

因為“等腰四面體”的體積是對應(yīng)長方體的體積減去四個小三棱錐的體枳,

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所以“等腰四面體”的體積為工＞一4/'+工―裊k=2A?故③正確;

對于④?三組對棱氏度分別為小兒，的“等腰四面體”的外接球直徑為2R=//+"蛆*&+y+由?

故④不正確.

17.解：(1)因為a=36sinA.所以sinA=3sinBsinA,......................................................................................1分

因為sinA>0?所以sinB=y..........................................................................................................................2分

因為Yc?所以BVC.所以3為銳角........................................................3分

貝Ijcos8=^^,.......................................................................................................................................................4分

由余弦定理得/=B=久.......................................................................................................5分

(2)由(1)知?cosB=±箸.................................................................6分

2>/2AF>r>a?+〃—C73r4

當(dāng)cos3u=-^-時o+.6=，3?cosC=-----元)=-~j-....................................................................................7分

cos2C=2cos2C-1=—|-；..................................................................................................................................8分

當(dāng)cos8=~"2^時沙=ysT,

cos2C=2coszC_1=5TV.......................................................................................................................................10分

18.解：(1)由題意得m-tO^=m-2O=4O-2O=2O.

工=160—100=60.〃=H+丁=60+20=80...............................2分

因為.-200X(100X20-20X60)2_25~?079

分

因為K.16oX4OX12OX8O-12^2.083>2.072.I

所以有85%的把握認(rèn)為有疲乏癥狀與注射此種疫苗力關(guān).,5分

(2)從注射疫苗的〃人中按是否仃疲乏癥狀.采用分層抽樣的方法抽出8人.可知8人中無疲乏癥狀的有6

人?仃疲乏癥狀的有2人.再從8人中隨機抽取3人.當(dāng)這3人中恰有2人有疲乏癥狀時,X=10?當(dāng)這3人

中恰有1人有疲乏癥狀時.X=13?當(dāng)這3人中沒有人有疲乏癥狀時,X=16.8分

因為P(X=10)=3/=/?P(X=13)==1|?

nV-a?c?5

P(X=16)=-^=n.......................................................................................11分

所以X的分布列如下：

袤吟告=%或

E(X)=10X+13><1|+13.75).12分

19.(1)證明：因為a.-1-3ali+為〃l1.

所以4"［一""二？3"—a"1),I.3分

即

=2.4分

a.-t1

因為“I=I，S=4.所以a?—5+1=4?............................5分

故數(shù)列｛4」一g+1)是首項為4?公比為2的等比數(shù)列.6分

(2)解:由(1)知a.T-a?+l=2”+l.....................................7分

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因為％=a“i）十（%i—a.,CH------F（《一

=（22+23+…+2"）一（”一D+L........................................................................................................8分

所以““=2"|一”-2............................................................................................................................10分

所以5=（2，+2+???+2”—《1+2+—+加一2"='"二；"‘一水"”一2〃?.............................11分

故§.=2+￡一巧地一4....................................................................................................................12分

20.⑴證明:在梯形CCnD中，因為CCt=CD=DD尸+GDi=1?

所以NDDC="1?，連接DG?由余弦定理可得DC,=73.............................................

因為8+DD?=nCh所以ACi_Lg.......................................................................

因為平面/WDQ_L平面a\D,D且交于DD>.

所以DC」平面AARD.

因為A匿平面AAiRD,所以AD_1_DQ.......................................................................

因為AD±DC\DCClDC,=D.

所以AD_l?F而CGDD.................................................................................................

(2)解:連接4G.由(1)可知AiD_L平面CCD,D.D

以Di為坐標(biāo)原點.建立如圖所示的空間宜角坐標(biāo)系D>-xyc.

............................................................................5分

因為4。，平面CGRD.

所以AC在平面CCDJ)內(nèi)的投影為DC?所以AC與平面

CCQD所成的角為/AC。?即4%?？?受........6分

在RiZXACD中.因為CD尸伍?所以八Q=3...............7分*

因為D,(0,0,0),A,(3.0.0).D(0.y.y),C(0.-j-.y).C,(0,

2.0),.....................................................................................................................................................8分

所以司5=(0?"1?.冬.萬T=(3,0?0).五芭=(-3,2?0),否丁=(一3?伴?%.

取平面AAQQ的法向址為反7=(0,普.一冬............................................9分

設(shè)平面AAiCC的法向量為”=(H，WZ).

In?Aid=-3x+21y=0,

可".研―的+彖i.Q=2.得尸<2,3.聞...............................I。分

所以co、〈和"n》==一日?.....................................................1】分

I景/A~??〃nQ

由圖可知二面角C-AAi-D為銳角.

所以二面角C-AAi-D的余弦值為...................................................12分

q

21.解：(1)由/Cr)=：+Hnx?可得.............................................】分

當(dāng)a40時?/(外V0恒成立,則人工)在《0?+8)上單調(diào)遞減.................................3分

當(dāng)a>0時,令外力>0.得］>十;令/(力V0.得0<x<-.

人"在(上?+8)上單調(diào)遞增.在(0?上)上單調(diào)遞減..........................................5分

aa

(2)因為F(.r)—fix')4-^(j-)=uln.r+J-3—.r.

［湖南省2021屆離三模擬第三次考試數(shù)學(xué)?參考答案第4頁(共5頁)］?21-03-315C?

所以萬（公=0+2工-1=#一（工>0）......................................................................................6分

xx

因為F（#有兩個極值點?所以尸。）=0有兩個大于零且不相等的解?即”小4=0有兩個不等1E根.

[△=1—8a>0?

叫舞。.解得0VaV《?

因為工1工2=￡?所以'.....................................................................................................8分

所以曲線尸F(xiàn)Cr堆尸匕GT處的切線方程為.v—（今十要卜1?一4曰）=（2后-1）（」一、停）.

即（；（6=（2怎-1）工+號1嶗一|&............................................