第03講 矩形的性質(zhì)（原卷版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（9年級(jí)北師大版）

第03講矩形的性質(zhì)1.理解矩形的概念.2.掌握矩形的性質(zhì)定理.一、矩形的定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.要點(diǎn)：矩形定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角.即矩形首先是一個(gè)平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件.二、矩形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)包括四個(gè)方面：1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2.矩形的對(duì)角線相等；3.矩形的四個(gè)角都是直角；4.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.要點(diǎn)：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對(duì)稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.（2）矩形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（分別通過對(duì)邊中點(diǎn)的直線）.對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線的交點(diǎn)（即對(duì)稱中心）.（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個(gè)方面看：從邊看，矩形對(duì)邊平行且相等；從角看，矩形四個(gè)角都是直角；從對(duì)角線看，矩形的對(duì)角線互相平分且相等.考點(diǎn)一：矩形性質(zhì)的判定一、單選題例1．關(guān)于矩形的性質(zhì)、下面說法錯(cuò)誤的是（

）A．矩形的四個(gè)角都是直角 B．矩形的兩組對(duì)邊分別相等C．矩形的兩組對(duì)邊分別平行 D．矩形的對(duì)角線互相垂直平分且相等例2．下列性質(zhì)中，矩形具有但平行四邊形不一定具有的是（

）A．對(duì)邊平行且相等 B．對(duì)角線相等C．對(duì)角相等 D．對(duì)角線互相平分例3．已知矩形的兩條對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二：利用矩形的性質(zhì)求線段長例4．矩形中，，，則的長為（

）A．5 B．4 C．3 D．2例5．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線，則BD的長為（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm例6．矩形的一條邊長是a，兩條對(duì)角線的夾角為，則矩形的另外一條邊長等于（

）A． B． C． D．例7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，若BE＝EO，則AD的長是（）A．3 B． C．3 D．例8．如圖，矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作的垂線分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若，則的長度為（

）A．1 B．2 C． D．例9．如圖，在矩形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，，且，則的長度是（）A． B．2 C．8 D．例10．如圖，在矩形中，，點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，且，連接，則的最小值為（）A．22 B．24 C．25 D．26例11．如圖，矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止．過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．設(shè)是線段的中點(diǎn)，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，線段長的最小值是（）A． B． C． D．考點(diǎn)三：利用矩形的性質(zhì)求角度例12．如圖，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，已知，則的大小是（

） B． C． D．例13．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，交BD于點(diǎn)E，，則的度數(shù)為（

）A．40° B．35° C．30° D．25°例14．將長方形紙片按如圖折疊，若，則度數(shù)為（

）A． B． C． D．例15．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O．若∠BAO=55°，則∠AOD等于(

)A．110° B．115° C．120° D．125°例16．若矩形的一條對(duì)角線與一邊的夾角是，則兩條對(duì)角線相交所成的銳角是（）A． B． C． D．例17．如圖，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，則∠BDE的度數(shù)為（

）A．36° B．30° C．27° D．18°例18．如圖，在矩形中，、交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例19．如圖，在矩形中，，在上取一點(diǎn)E，使，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．不能確定例20．如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，C分別在直線a，b上，且，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例21．如圖，矩形的對(duì)角線相較于點(diǎn)O，的平分線交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例22．如圖，延長矩形的邊至點(diǎn)E，使，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四：利用矩形的性質(zhì)求面積例23．矩形的對(duì)角線長為10，兩鄰邊之比為，則矩形的面積為（

）A．48 B．24 C．50 D．以上答案都不對(duì)例24．矩形的邊長是4cm，一條對(duì)角線的長是cm，則矩形的面積是（

）A． B． C． D．例25．如圖，矩形的對(duì)角線和相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交和于點(diǎn)、，，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．例26．如圖，四邊形和四邊形是兩個(gè)矩形，點(diǎn)在邊上，若，，則矩形的面積為（

）A．2 B． C． D．例27．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)在AD上，且EB平分，若AB＝3，AE＝1，則的面積為______．例28．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P為邊AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，則PE＋PF＝________．例29．如圖，矩形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，，，，則矩形的面積為______．考點(diǎn)五：矩形的性質(zhì)與平面坐標(biāo)系例30．如圖，在長方形中，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，平行于軸，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．例31．如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），則對(duì)角線AC的長等于____．例32．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)長方形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．例33．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形中，，，將沿對(duì)角線翻折，使點(diǎn)落在處，與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．考點(diǎn)六：根據(jù)矩形的性質(zhì)證明例34．如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，在上，，求證：．例35．如圖，已知矩形中，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，，且．（1）求證：；（2）若，求：的值．一、填空題1．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，連接．若，則__________．2．（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．若，，則的長為_____．二、解答題3．（2021·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)在上，，且，垂足為．（1）求證：；（2）若，求四邊形的面積．4．（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=BC，點(diǎn)F在BC邊的延長線上，點(diǎn)P是線段BC上一點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），連接AP并延長，過點(diǎn)C作CG⊥AP，垂足為E．(1)若CG為∠DCF的平分線．請(qǐng)判斷BP與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的長．5．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖:(1)將兩張長為8，寬為4的矩形紙片如圖1疊放．①判斷四邊形AGCH的形狀，并說明理由；②求四邊形AGCH的面積．(2)如圖2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四邊形AGCH的面積一、單選題1．下列性質(zhì)中，矩形一定具有的是（

）A．四邊相等 B．對(duì)角線垂直 C．鄰邊相等 D．對(duì)角線相等2．如圖，在矩形中，兩條對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，則的長為（

）A．4 B．8 C． D．3．如果矩形的一邊與對(duì)角線的夾角為，則兩條對(duì)角線相交所成的銳角的度數(shù)為（

）A．60° B．70° C．80° D．90°4．矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，且，的周長為23，則矩形的兩條對(duì)角線的和是（

）A．18 B．28 C．36 D．465．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，若平分，則的長為(

)A． B． C． D．6．如圖，在矩形中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的長是（

）A． B． C． D．7．如圖，在矩形中，，E是的中點(diǎn)，于點(diǎn)F，則的長是（）A．1 B． C． D．28．如圖，在矩形中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，垂直平分于點(diǎn)E，則的長為（

）

A．3 B． C． D．9．如圖，在矩形中，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則的長隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（

）

A．不變 B．變長 C．變短 D．先變短再變長10．在矩形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，．連接，則下面的結(jié)論：①是等邊三角形；②是等腰三角形；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題11．矩形的對(duì)角線長13，一邊長為5，則它的面積為_____．12．矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，，則______．13．如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，若，，則的長是______．14．如圖，過矩形的對(duì)角線上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線與，那么圖中矩形的面積與矩形的面積的大小關(guān)系是_____；（填“＞”或“＜”或“=”）15．如圖，O是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，M是的中點(diǎn)．若，則四邊形的周長為___________．

16．在矩形中，，，若點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，則長為________．17．如圖，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，則CE的長為________．18．如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)在線段上，從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊作等邊，點(diǎn)和點(diǎn)分別位于兩側(cè)．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，的長為______；（2）點(diǎn)在線段上從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值為______．三、解答題19．已知：如圖，過矩形的頂點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)E．求證：．20．已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上的中點(diǎn)．求證：AE＝BE．21．已知：如圖，四邊形是矩形，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O．求證：（1）；（2）．22．已知：如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，．(1)判斷的形狀．(2)求矩形對(duì)角線的長．23．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且AE=CF，連接BD、EF．(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；(2)若EF⊥BD，求AE的長度．24．如圖所示，在矩形中，平分.（1）