第04講 矩形的判定、判定與性質(zhì)綜合（原卷版）-初中數(shù)學暑假自學課講義（9年級北師大版）

第04講矩形的判定、判定與性質(zhì)綜合掌握矩形的判定定理.學會用矩形的性質(zhì)與判定綜合解題.矩形的判定矩形的判定有三種方法：1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.對角線相等的平行四邊形是矩形.3.有三個角是直角的四邊形是矩形.要點：在平行四邊形的前提下，加上“一個角是直角”或“對角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.考點一：矩形的判定例1．下列條件不能判定一個四邊形是矩形的是（）A．四個內(nèi)角都相等 B．四條邊都相等C．對角線相等且互相平分 D．對角線相等的平行四邊形例2．下列說法不正確的是（

）A．有一個角為直角的平行四邊形是矩形 B．有三個角為直角的四邊形是矩形C．對角線相等的平行四邊形是矩形 D．對角線互相垂直的平行四邊形是矩形例3．在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O．下列條件不能判定平行四邊形ABCD為矩形的是()A．∠ABC＝90° B．AC＝BDC．AC⊥BD D．∠BAD＝∠ADC例4．能判斷一個平行四邊形是矩形的條件是（

）A．兩條對角線互相平分 B．一組鄰邊相等C．兩條對角線互相垂直 D．兩條對角線相等考點二：添加一個條件成為矩形例5．如圖，要使平行四邊形為矩形，則可添加下列哪個條件（

）A． B． C． D．例6．如圖，在平行四邊形ABCD中，在不添加任何輔助線的情況下，添加以下哪個條件，能使平行四邊形ABCD是矩形（

）A． B． C． D．例7．如圖，在四邊形ABCD中，，AC交BD于點O，再添加什么條件可以判定四邊形ABCD為矩形(

)A． B．C． D．例8．如圖，是的中線，四邊形是平行四邊形，下列條件中，能判定四邊形是矩形的是（

）A． B．平分 C． D．考點三：矩形的判定的證明例9．如圖，是平行四邊形的一條對角線，E是的中點，連接并延長交的延長線于F．(1)求證：．(2)當時，求證：四邊形是矩形．例10．如圖，在平行四邊形中，為線段的中點，延長與的延長線交于點，連接，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求四邊形的面積．例11．如圖，四邊形的對角線交于點，于E，于F，點O既是的中點，又是的中點．(1)求證：；(2)若，求證：四邊形是矩形．例12．如圖，平行四邊形的對角線交于點O，E為中點，過點C作交的延長線于F，連接．(1)求證：(2)當滿足什么條件時，四邊形為矩形？請說明理由．考點四：根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求長度例13．如圖，在矩形中，垂直平分于點，若，，則線段的長度是______．例14．四邊形的對角線相交于點，且，，則_______．例15．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ACB＝90°，過點D作DE⊥BC交BC的延長線于點E，連接AE交CD于點F，連接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，則BF＝_____．例16．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O為對角線AC的中點，點P在AD邊上，且AP=2，點Q在BC邊上，連接PQ與OQ，則PQ?OQ的最大值為______．考點五：根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求角度例17．如圖，矩形ABCD中，BE⊥AC于點E，若∠ACB＝23°，則∠DBE＝_______度．例18．如圖，在矩形中，，點在上，且，則________．例19．如圖，在中，為邊上一點，以為邊作矩形．若，，則的大小為______度．例20．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，DE平分∠ADC．若∠AOB＝60°，則∠COE的大小為____．例21．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，過點A作∠DAC的角平分線交BC的延長線于點H，取AH的中點P，連接BP，則S△ABP＝___．考點六：根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求面積例22．已知矩形，點在邊上，，連接，點在邊上，連接，平分，若，，，則的面積是___________．例23．如圖，在矩形中，平分交于點，．有下面的結(jié)論：①是等邊三角形；②；③．其中，正確結(jié)論的個數(shù)為_________．例24．如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，取EF的中點G，連接CG，BG，BD，DG，下列結(jié)論：①BE＝CD；②∠DGF＝135°；③△BEG≌△DCG；④∠ABG+∠ADG＝180°；⑤若，則3S△BDG＝13S△DGF．其中正確的結(jié)論是_____．（請?zhí)顚懰姓_結(jié)論的序號）一、單選題1．（2020·湖北·中考真題）已知中，下列條件：①；②；③；④平分，其中能說明是矩形的是（

）A．① B．② C．③ D．④2．（2020·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如果順次連接四邊形的各邊中點得到的四邊形是矩形，那么原來四邊形的對角線一定滿足的條件是（

）A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分3．（2013·河北·中考真題）如已知：線段AB，BC，∠ABC="90°."求作：矩形ABCD．以下是甲、乙兩同學的作業(yè)：對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是A．兩人都對 B．兩人都不對C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對二、填空題4．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件______________，使平行四邊形是矩形．．三、解答題5．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，?ABCD中，E為BC邊的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F，延長EC至點G，使CG=CE，連接DG、DE、FG．(1)求證：△ABE≌△FCE；(2)若AD=2AB，求證：四邊形DEFG是矩形．6．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，相交于點，，分別是，的中點．(1)求證：；(2)設，當為何值時，四邊形是矩形？請說明理由．一、單選題1．如圖，在四邊形中，對角線相交于點O，，添加下列條件，不能判定四邊形是矩形的是（

）A． B． C． D．2．連接菱形各邊中點，可得到的“中點四邊形”是矩形，主要是因為（

）A．菱形的四條邊都相等 B．菱形的對角線互相垂直C．菱形的對角線互相平分 D．以上答案都不對3．如圖，平行四邊形中，E,F分別在邊，上，，，若，的長為（）A．10 B． C．9 D．64．如圖，已知在四邊形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，連結(jié)AC，BD，AC與BD交于點O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，則四邊形ABCD的面積為()A．4 B．5 C．6 D．75．下列敘述中能判定四邊形是矩形的個數(shù)是（

）．①對角線互相平分的四邊形；②對角線相等的四邊形；③對角線相等的平行四邊形；④對角線互相平分且相等的四邊形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．如圖，在菱形中，E、F為邊、的中點，連接、．若，，則四邊形的面積為（

）A． B．1 C．2 D．47．已知如圖，，，，，則的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．68．如圖，在平行四邊形中，，．連接AC，過點B作，交DC的延長線于點E，連接AE，交BC于點F．若，則四邊形ABEC的面積為（

）A． B． C．6 D．9．如圖，矩形在矩形的內(nèi)部，且，點，在對角線的異側(cè)．連結(jié)，，，，若矩形矩形，且兩個矩形的周長已知．只需要知道下列哪個值就一定可以求得四邊形的面積（）A．矩形的面積 B．的度數(shù)C．四邊形的周長 D．的長度10．如圖，在矩形中，為中點，過點且，分別交于，交于，點是中點，，則下列結(jié)論正確的是（

）①；②；③是等邊三角形；④A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④二、填空題11．矩形的判定定理包括：（1）___________的平行四邊形是矩形；（2）____________的平行四邊形是矩形；（3）____________的四邊形是矩形．12．四邊形中，交于O，給出條件①；②；③；④．其中能推得四邊形是矩形的是（填序號）___________．13．如圖，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，則AB與CD之間的距離為________．14．如圖，在中，，D，E分別是邊，的中點，將繞點E旋轉(zhuǎn)得，則四邊形的形狀為______．

15．如圖，△ABC的邊BC長為4cm．將△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，則陰影部分的面積為______．16．如圖，在中，，，D是上任意一點，分別作于E，于F．如果，那么________．17．如圖，是等腰直角三角形，，，點是上的一個動點（點與點、不重合），過點分別作于點，于點，連接．（1）四邊形的形狀是______；（2）線段的最小值為______．18．如圖，在矩形中，，，點分別是上的動點，點不與重合，且，點是五邊形內(nèi)點，，且．①當點為的中點時，_____________．②點到邊距離為，則的取值范圍為_____________．三、解答題19．如圖，在平行四邊形ABCD中，點P是AB邊上一點（不與A，B重合），過點P作PQ⊥CP，交AD邊于點Q，且∠QPA＝∠PCB．求證：四邊形ABCD是矩形．20．如圖，在平行四邊形中，過點作于點點在邊上，連接(1)求證：四邊形是矩形；(2)若平分求四邊形的面積．21．如圖，四個內(nèi)角的平分線圍成四邊形，猜想四邊形的形狀，并說明理由．22．如圖，在平行四邊形中，點是邊的中點，連接并延長，交延長線于點，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，則當__________時，四邊形是矩形（不用證明）23．如圖，在菱形中，對角線和交于點O，分別過點B、C作，，與交于點E．(1)求證：四邊形是矩形；(2)當，時，求的長．24．如圖，菱形的對角線和交于點O，分別過點C、D作，，和交于點E．(1)判斷四邊形的形狀并說明理由；(2)連接，交于點F，當時，求的長．25．如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點O，以OD，CD為鄰邊作平行四邊形DOEC，OE交BC于點F，連接BE．(1)求證：F為BC中點．(2)若OB⊥AC，OF=1，求平行四邊形ABCD的周長．26．如圖，已知：如圖，在四邊形中，點在邊的延長線上，平分，平分，交于點．

(1)求證：；(2)若點為的中點，求證：四邊形是矩形．27．如圖1，在中，，于點C，點E是的中點，連接并延長，使，連接．(1)求證：四邊形是矩形．(2)如圖2，點H為的中點，連接，若，，求四邊形的面積．28．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于點E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠OAE＝15°，①求證：DA＝DO＝DE；②直接寫出∠DOE的度數(shù)．29．如圖1，在平行四邊形中，的平分線交直線于點E，交直線于點F．(1)當時，G是的中點，聯(lián)結(jié)（如圖2），請直接寫出的度數(shù)______．(2)當時，，且，分別聯(lián)結(jié)、（