高中數(shù)學(xué)選1 本章復(fù)習(xí)提升

本章復(fù)習(xí)提升

易混易錯練

易錯點1混淆向量的共線、共面與線段的共線、共面

1.（2020海南?？诤Ｄ现袑W(xué)高二上期中，*?）若荏=入而+R屈（入，UWR）,則直

線AB與平面CDE的位置關(guān)系為.

2.（2020浙江諸暨中學(xué)高二上期中，*?）若直線a的方向向量為a,平面a,0的法

向量分別為n,m,則下列命題為真命題的序號是.

（1）若a，n,則直線a〃平面a；

⑵若a〃n,則直線a,平面a；

⑶若cos〈a,n>=；,則直線a與平面a所成角的大小為為

Zo

⑷若cos<m,n>=；,則平面a,3的夾角為今

3.（2020四川自貢高二上期末,*?）如圖，正方體ABCD-ABCD中,M,N分別是

AB,A.D,的中點,判斷直線MN與平面BB.D.D的位置關(guān)系，并說明理由.

易錯點2忽略定義、定理中的特殊條件

4.（2020湖南長郡中學(xué)高二上檢測，#?）下列命題正確的是（）

A.若a與b共線,b與c共線,貝Ua與c共線

B.向量a、b、c共面，即它們所在的直線共面

C.若a〃b,則存在唯一的實數(shù)入，使a=入b

D.零向量是模為0,方向任意的向量

易錯點3忽略平行向量

5.（*）已知a=（3,-2,-知，b=（-l,x-1,1）,且a與b的夾角為鈍角,則x的取值范圍

是.

易錯點4混淆向量夾角范圍與空間角范圍

6.（田：）在正方體ABCD-ABCD中，向量荏與向量前的夾角是（）

A.150°B.135°C.45°D.30°

7.（2020天津武清高三上期中，*?）在四棱錐P-ABCD中，PAL底面

ABCD,AD±AB,AB〃DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點E為棱PC的中點.

（1）求直線EB與平面PBD所成角的正弦值；

⑵若F為棱PC上一點,滿足BF1AC,求平面FAB與平面PAB夾角的余弦值.

8.(2020山東萊州第一中學(xué)高二上期末,")如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面

體中，面ABEF為正方形,AF=2FD,ZAFD=90°,且面DAF與面ABEF所成的角和面

CBE與面ABEF所成的角都是60°.

⑴證明：平面ABEF_L平面EFDC;

(2)求面BCE與面ABCD所成角的余弦值.

思想方法練

一、利用方程思想求值

1.(2020天津六校高三聯(lián)考,")如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SBC,平面

ABC,SB=SC=AB=AC=V2,BC=2,0為BC的中點.

(1)證明:S0_L平面ABC;

⑵求異面直線AB和SC所成角;

⑶設(shè)線段S0上有一點M,當(dāng)AM與平面SAB所成角的正弦值為唱時,求0M的長.

n

二、利用函數(shù)思想求最值

2.(2020山東濟寧高三上期中，")如圖，三棱柱ABC-ABG中，側(cè)棱AAi，平面

ABC,AABC為等腰直角三角形，ZBAC=90°,且AB=AA1=2,E、F分別為CG、BC的中

點.

⑴若D是AA.的中點，求證:BD〃平面AEF;

(2)若M是線段AE上的任意一點,求直線B,M與平面AEF所成角的正弦的最大值.

三、利用轉(zhuǎn)化思想求距離和空間角、判定平行和垂直

3.(#7)在長方體ABCD-ABCD中,AAH,AD=DC=b,Q是線段AC上一點,且

GQ=|CA,則點Q到平面A,DC的距離為.

4.(*?)如圖，在直三棱柱ABC-AiBC中，點D、E、F分別為線段AC、AB、A】A的中

點,AA=AC=BC,ZACB=90°.求證:

(DDE〃平面BCCB;

(2)EFJ_平面B.CE.

5.(*)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA，平面

ABCD,AD=1,PA=AB=V2,E是棱PB的中點.

⑴求異面直線EC與PD所成角的余弦值；

(2)求平面BEC與平面ECD夾角的余弦值.

答案全解全析

易混易錯練

1.答案ABc平面CDE或AB〃平面CDE

解析由通=入而+U屈(入，UWR)及共面向量定理可知向量前與向量而、CE

共面,則直線AB可能在平面CDE內(nèi)，也可能和平面CDE平行.

易錯警示本題容易因混淆了向量共面和直線共面而錯答為ABu平面CDE,向量

荏與向量而、正共面,直線AB可能在平面CDE內(nèi)，也可能和平面CDE平行.

2.答案⑵⑶⑷

解析若a，n,則直線a與平面a平行或在平面a內(nèi)，所以⑴是假命題；

若2〃4則a也是平面a的法向量，所以直線aj_平面a,所以⑵是真命題；

直線與平面的夾角的正弦值等于直線與平面法向量所成的銳角的余弦值,所以⑶

是真命題；

兩個平面的夾角與它們的法向量所成的不大于90°的角相等，所以⑷是真命題.

3.解析MN〃平面BBDD.理由如下：設(shè)正方體的棱長為1,如圖，建立空間直角坐

標(biāo)系，

貝！JB(l,1,0),匕(0,0,1),D(O,0,0),M(L；,0)NG()J),

.,.麗=(-川,1),麗=(1,1,0),西二(0,0,1),

設(shè)平面BB,D,D的法向量為n=(x,y,z),

則卜,°,

[n,DDi=0,

即1+3一。'令x=i，則y=T，z=0,

(z=0,

，n=(l,-1,0)是平面BB,D,D的一個法向量.

V/WV?n=0,MNC平面BB.D.D,

，MN〃平面BBDD.

易錯警示本題容易因忽視MNQ平面BBDD,而直接由標(biāo)?n=0,得MN〃平面

BBDD,造成步驟不完整，實際上，當(dāng)麗?n=0時,MN〃平面BBDD或MNc平面

BBDD.

4.D由于零向量與任意向量共線,所以若b為零向量,則a與c關(guān)系不確定,A錯；

向量共面時,它們所在的直線不一定共面,B錯;共線向量定理中，當(dāng)b不是零向量

時，才存在唯一的實數(shù)入，使a=、b,否則X可能不存在,C錯;D顯然正確.

易錯警示本題容易忽略零向量的特殊性和共線向量定理中的限制條件而誤認(rèn)為

A、C正確.

5.答案(何嗚+8)

解析與b的夾角為鈍角，

...a?b=-3-2(x-l)30,解得x>-2.由題意得a與b不共線，則戶號解得x/

的取值范圍是(-2,3uG，+8).

易錯警示本題容易忽略了a與b共線時的特殊情況.

6.B如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長為1,

則A(0,0,O),B(1,O,O),C,(1,1,l),Ai(O,0,1),

：.COs<AB,6〉=^^4T

.??向量版與向量焉有的夾角是135°.

7.解析⑴如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1),

所以鋸=(0,1,1),麗=(1,0,-2),而=(0,2,-2),設(shè)平面PBD的法向量為

m=(x,y,z),則由m±P5,m_L而,

m,PB=x-2z=0,

得

m,PD=2y-2z=0,

令z=l,得x=2,y=l,即m=(2,1,1),

所以cos<BE,

|BE||m|V2xV63

設(shè)直線BE與平面PBD所成角為a,則sina=|cos(屁,m>|=y,即直線BE與平面

PBD所成角的正弦值為出.

3

(2)由⑴得品(2,2,-2),PB=(1,0,-2),AC=(2,2,0).

設(shè)而=入玩(0W入W1),貝1」砂=而一而=入~PC-PB^(2X,2X,-2X)-(l,0)-

2)=(2入-1,2入，2-2人)，

BF?前=4X-2+4X=0,解得X」，

4

所以點F(Y,，，

\222/

顯然,AD=(0,2,0)是平面PAB的一個法向量，設(shè)n=(x1,ybz.)是平面FAB的法向量,

因為存=(黑，9,市=(-黑，9,

\222/\222/

71?通=；Xi+]i+)1=0,

所以

n?BF=-\1+^y1+^z1=0,

令Z1=1,則y尸-3,X1=O,所以n=(0,-3,1),

所以cos<AD,n〉_一二二一^22

2xV1010

設(shè)平面FAB與平面PAB的夾角為B,

則cosB=|cos<AD,n>|

10

即平面FAB與平面PAB的夾角的余弦值為迎.

10

8.解析(1)證明：,/四邊形ABEF為正方形，AFLEF.

VZAFD=90°,AAFIDF,

VDFnEF=F,DFc平面EFDC,EFu平面EFDC,

，AF,平面EFDC,

VAFc平面ABEF,

...平面ABEF,平面EFDC.

⑵由AF1DF,AF1EF,可得NDFE為面DAF和面ABEF所成角的平面角.

四邊形ABEF為正方形，

，BE〃AF,BE1EF,

又AF_L平面EFDC,

，BE_L平面EFDC.

VCEc平面EFDC,

ACE1BE,

可得NCEF為面CBE和面ABEF所成角的平面角，

.,.ZDFE=ZCEF=60°.

VAB/7EF,AB。平面EFDC,EFu平面EFDC,AB〃平面EFDC,

平面EFDCn平面ABCD=CD,ABc平面ABCD,

；.AB〃CD,，CD〃EF,

四邊形EFDC為等腰梯形，以E為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)FD=a,則E(0,0,0),B(0,2a,0),A(2a,2a,0),

EB=(0,2a,0),FC=Q,-2a,/a),~AB=(-2a,0,0),

設(shè)平面BCE的法向量為m=(x1Jy?z.),

則M?回=°，

(m,BC=0,

(2a%=0,

即{a?6c令Z1=-1,則X1=E,yi=0,則m=(百,0,T).

{^x1-2ay1+—az1=0,

同理可得平面ABCD的一個法向量為n=(0,V3,4),

設(shè)面BCE與面ABCD所成角的大小為0,

則39=21*=春『=亞，

|m|,|n|，3+lx，3+1619

.?.面BCE與面ABCD所成角的余弦值為亞.

19

思想方法練

1.解析⑴證明：：SB=SC,0為BC的中點，.*.BO=OC,SO，BC,

?.?平面SBC,平面ABC,平面SBCn平面ABC=BC,SOc平面SBC,

.?.SO_L平面ABC.

⑵?.?SB=SC=AB=AC=&,BC=2,

.■.BS1CS.BA1CA,

如圖,分別以O(shè)B,0A,OS所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(0,1,O),B(1,O,0),S(0,0,1),C(-1,O,0),

0),SC=(-1,0,-1).

.,.|cos<^4B,SC>\

\AB\?|SC|V2xV22

.?.異面直線AB和SC所成角的大小為二

3

(3)設(shè)m=(a,b,c)為平面SAB的法向量.

由⑵可得元=(1,0,-1),

則”-m=0,即產(chǎn)=；令a=l,則b=l,c=l,，m=(l,1,1).

[SB-m=0,I?。=°，

設(shè)M(0,0,t)(t￡[0,1]),則彳而=(0,-1,t),

設(shè)AM與平面SAB所成角為0.

貝sin。=|cos<m,''吧

|m|?|AM|

_|M|_V30

VsxVl+t215'

化簡得3t2-10t+3=0(0WtWD,

解得t=3(舍)或t=-,

3

.,.OM的長為；

3

2.解析(1)證明:連接DG,BG.

因為DE分別是AAi、CG的中點，

所以AD=CE,又AD〃GE,

所以四邊形ADC.E是平行四邊形，

所以AE〃DG,

因為E,F分別是CG,BC的中點，

所以EF〃BG,

所以平面AEF〃平面BDCp

又BDc平面BDG,所以BD〃平面AEF.

(2)以A為坐標(biāo)原點,AB,AC,AAi所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖，則A(0,0,0),B.(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0),A

荏=(0,2,1),萬=(1,1,0).

設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),

令z=2,得x=l,y=-l,

所以平面AEF的一個法向量為n=(l,-l,2).

設(shè)M(a,b,c),AM=入族(0W入W1),貝！1病=(0,2X,X),

所以M(0,2人,所，所以瓦法=(-2,2入,X-2),

設(shè)直線BM與平面AEF所成角為0,

貝(Isin9=|cos<n,瓦聲>|="二、

|n|?|BIM|

|1X(-2)+(-1)X2A+2X(>1-2)|

Vl2+(-l)2+22?V(-2)2+(2A)2+(A-2)2

_6_y[6

V6XV5A2-4A+8V5A2-4A+8

易知當(dāng)入=：時，(sin。)111ax=R

故直線B,M與平面AEF所成角的正弦的最大值為變.

6

3.答案近

解析如圖，以DA,DC,D.D所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

貝UD(0,0,1),C(0,V3,1),A,(V3,0,0),C,(0,W,0),：.DC=(0,遮,0),西=(百,0,-

1),CX=(V3,-V3,0),

由礙京，得喈，竽,0),

.?屈福簾)

設(shè)平面A.DC的法向量為n=(x,y,z),

由『?匹”得[皆=6

(九?DA1=0,(V3x-z=0,

取x=l,貝I[Z=V3,y=0,.-.0=(1,0,V3),

.?.點Q到平面A,DC的距離(]=畫泗=旺

IM3

4.證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AIA=AC=BC=2,

則A(2,0,0),C(0,0,0),由(2,0,2),Bi(0,2,2),D(1,0,2),E(1,1,0),F(2,0,1),

所以方=(2,0,0),屁二(0,1,-2),加=(1,-1,1),西二(0,2,2),西二(-1,1,2).

(1)顯然,襦是平面BCCB的一個法向量，

因為麗?CA=0,

所以反因為DEQ平面BCCB,

所以DE〃平面BCCB.

(2)設(shè)平面B.CE的法向量為n=(x,y,z),

則,?可=2y+2z=0,

In,EB；=-x+y+2z=0,

令z=-l,則y=l,x=-l,即n=(-l,1,-