寧夏銀川市2025屆高三數(shù)學上學期統(tǒng)練三理試題含解析

Page20銀川2024-2025學年高三上學期統(tǒng)練三理科數(shù)學試題留意事項：1.本試卷共22小題，滿分150分.考試時間為120分鐘.2.答案寫在答題卡上的指定位置.考試結(jié)束后，交回答題卡.一．選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由得出，再確定即可．【詳解】對于集合A，由得，解得，即，而，所以，故選B．【點睛】本題主要考查了交集及其運算，涉及一元二次不等式的解法和集合的表示，屬于基礎題．2.設命題，則為A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應當為，即本題的正確選項為C.3.（）A.2 B. C.5 D.【答案】D【解析】【分析】先計算，然后利用除法的法則運算，然后求模即可.【詳解】解：，故．故選：D．4.若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和特別值的思路推斷即可.【詳解】依據(jù)函數(shù)圖象可得函數(shù)為偶函數(shù)，A選項，B選項，所以AB選項為奇函數(shù)，故AB選項不正確；依據(jù)函數(shù)圖象可得，而C選項，D選項，所以C選項不正確，D選項正確.故選：D.5.若函數(shù)在點（1，f（1））處的切線的斜率為1，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】由導數(shù)幾何意義得，然后由基本不等式得最小值．【詳解】由已知，所以，，當且僅當時等號成立．故選：A．6.已知，，，則的大小關系為A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大?。驹斀狻浚?，，故，所以．故選A．【點睛】本題考查大小比較問題，關鍵選擇中間量和函數(shù)的單調(diào)性進行比較．7.已知函數(shù)，直線為圖象的一條對稱軸，則下列說法正確的是（）A. B.在區(qū)間單調(diào)遞減C.在區(qū)間上的最大值為2 D.為偶函數(shù)，則【答案】D【解析】【分析】由已知得，由可求得，可推斷A選項，由此有；對于B，由得，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可推斷；對于C，由得，由此得在區(qū)間上的最大值為；對于D，，由，解得.【詳解】解：因為函數(shù)，直線為圖象的一條對稱軸，所以，所以，又，所以，故A不正確；所以，對于B，當時，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，故B不正確；對于C，當時，，在區(qū)間上的最大值為，故C不正確；對于D，若為偶函數(shù)，且，所以，解得，故D正確，故選：D.8.記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進一步求出答案.【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.9.為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變，再向左平移個單位B.橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變，再向左平移個單位C.橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再向左平移個單位D.橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再向左平移個單位【答案】B【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的函數(shù)變換規(guī)則，結(jié)合誘導公式，可得答案.【詳解】由函數(shù)，將橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變，可得函數(shù)，由，則將函數(shù)，向左平移個單位，可得，故選：B.10.設等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和分別為，，若對隨意自然數(shù)n都有，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的下標性質(zhì)將式子化為，再化為，進而得到，最終依據(jù)條件求得答案.【詳解】由題意，.故選：C.11.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)．圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形前紙窗花．圖2中正六邊形的邊長為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點在正六邊形的邊上運動，則的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】計算得出，求出的取值范圍，由此可求得的取值范圍，從而可得最小值.【詳解】如下圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，、、、、、均為邊長為的等邊三角形，當點位于正六邊形的頂點時，取最大值，當點為正六邊形各邊的中點時，取最小值，即，所以，.所以，.的最小值為.故選：D.【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標運算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．詳細應用時可依據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要留意數(shù)量積運算律的應用．12.已知，若時，恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性解出，兩邊取對數(shù)，進行參變分別，求導后求出最值，得到答案.【詳解】令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，因為，，所以，，因為，所以，兩邊取對數(shù)得，即，故，令，，，當時，，當時，，故上取得最大值，，故，綜上：的最小值為.故選：C.【點睛】結(jié)合不等式特點，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)不等式問題，要利用導函數(shù)探討其單調(diào)性，結(jié)合參變分別及最值問題處理恒成立問題.二．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的正半軸重合，為其終邊上一點，則____．【答案】##0.5【解析】【分析】先利用三角函數(shù)的定義求出，再利用二倍角公式即可求解.【詳解】因為角的頂點在坐標原點，始邊與軸的正半軸重合，為其終邊上一點，所以.所以.故答案為：14.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則_______________.【答案】【解析】【分析】首先確定函數(shù)的解析式，然后求解的值即可.【詳解】由題意可得：，當時，，令可得：，據(jù)此有：.故答案為：.【點睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較簡潔看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導公式變換使其符合要求.15.實數(shù)、滿意條件，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意首先作出可行域，再令，利用截距的幾何意義求解.【詳解】由約束條件作出可行域如下圖：聯(lián)立解得，聯(lián)立解得.令，化簡得，由圖可知，當直線過點時，直線在軸上的截距最小，有最大值；過點時，直線在軸上的截距最大，有最小值.所以的最大值為.故答案為：516.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是______個．【答案】3【解析】【分析】函數(shù)的零點個數(shù)等價于函數(shù)函數(shù)與的交點個數(shù)，作出函數(shù)與的圖象，結(jié)合圖象即可求出結(jié)果.【詳解】函數(shù)有的零點個數(shù)等價于函數(shù)函數(shù)與的交點個數(shù)，作出函數(shù)與的圖象，如圖：，由圖可知，函數(shù)與有3個交點，故函數(shù)有的零點個數(shù)為3，故答案為：3.【點睛】函數(shù)零點的求解與推斷方法：（1）干脆求零點：令f(x)＝0，假如能求出解，則有幾個解就有幾個零點．（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連綿不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必需結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．（3）利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.17.在等差數(shù)列中，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，由可得，從而求出與的值即可求出的通項公式；（2）由（1）可知，則，從而利用分組求和即可求出．【小問1詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，則，所以．18.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.（2）方法一：依據(jù)值，求得的值，由（1）求得的值，從而求得的值，進而求得的值.【詳解】（1）[方法一]：正余弦定理綜合法由余弦定理得，所以.由正弦定理得.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法過點A作，垂足為E．在中，由，可得，又，所以．在中，，因此．

（2）[方法一]：兩角和的正弦公式法由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正切公式法在（1）的方法二的圖中，由，可得，從而．又由（1）可得，所以．[方法三]：幾何法+正弦定理法在（1）的方法二中可得．在中，，所以．在中，由正弦定理可得，由此可得．[方法四]：構(gòu)造直角三角形法如圖，作，垂足為E，作，垂足為點G．在（1）的方法二中可得．由，可得．在中，．由（1）知，所以在中，，從而．在中，．所以．【整體點評】（1）方法一：運用余弦定理求得，然后運用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特點，作出協(xié)助線，利用幾何方法簡潔計算即得答案，運算尤其簡潔，為最優(yōu)解；（2）方法一：運用兩角和的正弦公式求得的正弦值，進而求解；方法二：適當作出協(xié)助線，利用兩角差的正切公式求解，運算更為簡潔，為最優(yōu)解；方法三：在幾何法的基礎上，運用正弦定理求得的正弦值，進而得解；方法四：更多的運用幾何的思維方式，干脆作出含有的直角三角形，進而求解，也是很美麗的方法.19.第四屆中國國際進口博覽會于2024年11月5日至10日在上海實行.本屆進博會有4000多項新產(chǎn)品?新技術(shù)?新服務.某跨國公司帶來了高端空調(diào)模型參展，通過展會調(diào)研，中國甲企業(yè)安排在2024年與該跨國公司合資生產(chǎn)此款空調(diào).生產(chǎn)此款空調(diào)預料全年需投入固定成本260萬元，生產(chǎn)x千臺空調(diào)，需另投入資金R萬元，且.經(jīng)測算，當生產(chǎn)10千臺空調(diào)時需另投入的資金R=4000萬元.現(xiàn)每臺空調(diào)售價為0.9萬元時，當年內(nèi)生產(chǎn)的空調(diào)當年能全部銷售完.（1）求2024年該企業(yè)年利潤W（萬元）關于年產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)關系式；（2）2024年產(chǎn)量為多少時，該企業(yè)所獲年利潤最大？最大年利潤為多少？注：利潤=銷售額-成本.【答案】（1）（2）當2024年產(chǎn)量為100千臺時，該企業(yè)的年利潤最大，最大年利潤為8990萬元【解析】【分析】（1）由題意可知時，R=4000，代入函數(shù)中可求出，然后由年利潤等于銷售總額減去投入資金，再減去固定成本，可求出年利潤W（萬元）關于年產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)關系式，（2）分別當和求出函數(shù)的最大值，比較即可得答案【小問1詳解】由題意知，當時，，所以a=300.當時，；當時，.所以，【小問2詳解】當時，，所以當時，W有最大值，最大值為8740；當時，，當且僅當，即x=100時，W有最大值，最大值為8990.因為，所以當2024年產(chǎn)量為100千臺時，該企業(yè)的年利潤最大，最大年利潤為8990萬元.20.已知函數(shù).（1）求的對稱中心；（2）若，，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）首先對化簡為，再利用三角函數(shù)的對稱中心即可求解.（2）首先依據(jù)得到，結(jié)合角的范圍求出，再利用三角恒等變換公式即可求解.【小問1詳解】，令，則.所以的對稱中心為，.【小問2詳解】∵，∴，∵，∴，∴，故.21.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）探討的單調(diào)性（3）若存在兩個極值點，，證明：．【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析．【解析】【分析】（1）依據(jù)導數(shù)的幾何意義求出；（2）求出導函數(shù)，設，在定義域內(nèi)分類探討解含參不等式即可求出；（3）結(jié)合（2）將問題轉(zhuǎn)為證明1，依據(jù)韋達定理轉(zhuǎn)化為考慮h（x）＝2lnx﹣x的單調(diào)性，證出即可.【詳解】（1）因為∴，當時，，∴，∴在（1，0）處的切線方程為．（2）函數(shù)的定義域為（0，+∞），函數(shù)的導數(shù)f′（x），設g（x）＝﹣x2+ax﹣1，留意到g（0）＝﹣1，①當a≤0時，g（x）＜0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此時函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；②當a＞0時，判別式△＝a2﹣4，（i）當0＜a≤2時，△≤0，即g（x）≤0，即f′（x）≤0恒成立，此時函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；（ii）當a＞2時，令f′（x）＞0，得：x；令f′（x）＜0，得：0＜x或x；∴當a＞2時，f（x）在區(qū)間（，）單調(diào)遞增，在（0，），（，+∞）單調(diào)遞減；綜上所述，當a≤2時，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，當a＞2時，在（0，），（，+∞）上減函數(shù)，在區(qū)間（，）上是增函數(shù)．（3）由（2）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，則f（x1）﹣f（x2）x1+alnx1﹣[x2+alnx2]＝（x2﹣x1）（1）+a（lnx1﹣lnx2）＝2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），則2，則問題轉(zhuǎn)為證明1即可，即證明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，則lnx1﹣lnx1，即lnx1+lnx1＞x1，即證2lnx1＞x1在（0，1）上恒成立，設，（0＜x＜1），其中h（1）＝0，求導得h′（x）10，則h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x0，故2lnx＞x，則a﹣2成立．【點睛】本題第一問考查導數(shù)的幾何意義，求曲線在某點的切線方程，其次問是利用解決含參的函數(shù)的單調(diào)性問題，都是常規(guī)問題，難點是第三問，通過消參轉(zhuǎn)化為證明，再利用導數(shù)推斷其單調(diào)性，求出最值即可證出．選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題做答，假如多做，則按所做的第一題記分.[選修4-4：極坐標與參數(shù)方程選講]22.在平面