高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)3

專題02不等式中恒成立、能成立、恰成立通關(guān)

第一類不等式恒成立

2〃2

1.已知函數(shù)/(%)=-——-+GR).

(1)試討論函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)情況；

(x+\)lnx-m(x-i]

(2)當(dāng)加為何值時(shí)，不等式——L----Q——^<0(尤>0且XW1)恒成立？

[一廠

【答案】(1)見解析;(2)(-8,2].

[解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：(1)由題得，求得/'(力="+2。—吁+1，設(shè)g(%)=Y+2(1—m)x+1,

x(x+l)~

由A=4機(jī)(加一2),分加<0、0<m<2,加>2三種情況討論，即可的奧函數(shù)極值點(diǎn)的情況.

(x+l)lnx一機(jī)(x-l)1,、

(2)不等式——/_2——^<?？苫癁椤?(^)>0,再由(1)函數(shù)的性質(zhì)，即可得到實(shí)數(shù)機(jī)的

1XX1

取值范圍.

試題解析：

(D由題得，/(X)的定義域?yàn)?仇+8),

設(shè)g(x)=￡+2(1-w)x+l,A=4(1-w)'-4=4w(w-2).

①當(dāng)M740時(shí)，對稱軸X="J-l<0,

故g(X)在區(qū)間(0.y)上單調(diào)遞增，

則g(x)>g(o)=l，

所以r(x)>o在區(qū)間?+8)上恒成立，

所以“X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，“X)無極值；

②當(dāng)0<加〈2時(shí)，AVO,g(x)=f+2(1—m)x+120恒成立,

故/'(x)N0在區(qū)間(0,+oo)I;恒成立，

所以在區(qū)間(0,yo)上單調(diào)遞增，,f(x)無極值；

2

③當(dāng)加>2時(shí)，令g(x)=O,得％=m-l-Jm-2m,x2,

令/'(%)>。,得。<x<%或x,％，

令/'(%)<0,得玉<無<馬，

所以/(X)在區(qū)間(0,玉)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(西,無2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(馬,”)上單調(diào)遞增，

故)(x)的極大值點(diǎn)為x=府-2nl，極小值點(diǎn)為x=m-l+J=2-2m.

綜上所述，當(dāng)初<2時(shí)，/(x)無極值點(diǎn)；

當(dāng)相>2時(shí)，/(x)的極大值點(diǎn)為x=6一1一J濟(jì)一2m,極小值點(diǎn)為x=--l+JAT?-2m.

(2)不等式——』-----一——^<0(x>0且無關(guān)1)可化為一!一/(x)>0(*).

1-x2x-l\'

由(【)知：

①當(dāng)也42時(shí)，“X)在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)，

當(dāng)xe(0,l)時(shí),/(x)</(l)=0,

所以「；/(x)>0;

x-1

當(dāng)xe(Lm)時(shí)，/(x)>/(l)=0,

所以工〃x)>0.

x-1

所以當(dāng)加42時(shí)，(*)式成立.

②當(dāng)掰>2時(shí)，〃x)在區(qū)間(--1一，小一2見1)上為；底函數(shù),/(x)>/(l)=0,

所以一一/(力<0,(*)不成立.

x-1

綜上所述，實(shí)數(shù)次的取值范圍是(V,2].

2.已知函數(shù)f(x)=x-(a+l)lnx,g(x)=--3(a6R].

x

(I)令h(x)=f(x)-g(x),討論函數(shù)h(x)的單調(diào)性；

(ID若對任意x￡[l,e],都有f(x)Zg(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴aWO時(shí)，h(x)在(1,+8)遞增，(0,1)遞減;a=l時(shí)，h(x)在(0,+8)遞增；

O〈a〈l時(shí),h(x)在(O,a)和(l,+oo)遞增,(a,l)遞減；a>l時(shí)，h(x)在(0,1)和(a,+g)遞增，(l,a)遞

消e(e+2)

減；(II)a<---------.

e+1

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：(I)求出函數(shù)h(x)的解析式和定義域，求導(dǎo)，對實(shí)數(shù)a分情況討論得出單調(diào)

性；(II)若任意xe[l,e],都有f(x)>g(x)恒成立.令h(x)=f(x)-g(x),

只需h(x)min?0即可，由(I)中的單調(diào)性，求出h(x)的最小值，再求出a的范圍?

試題-新課標(biāo)試卷解析：(I)解：h(x)=f(x)-g(x)=x-(a+l)lnx--+3,定義域?yàn)?0,+(?)

aS0時(shí)，h/x/O得x>1：h'(x)<。得0<x<1.

所以h(x)在(1,+oo)遞增，(0,1)遞減

a=l時(shí)，h'(x)=('X'1)>0,所以h(x)在(0,+oo)遞增

X2

0<a<I時(shí)，卜及/。得0<x<a,或x>l；h'(x)<。得a<x<1.所以h(x)在(0,a)和(1,+8)遞增，(@,1)遞減

a>l時(shí)，h'(x)>。得0<x<l,或x>a；h'(x)<。得l<x〈a.所以h(x)在(0,1)和(a,+8)遞增，(1,a)遞減

綜上：a<0時(shí)，h(x)在(1,+oo)遞增，(0,1)遞減

a=l時(shí)，h(x)在(0,+00)遞增

0<a<l時(shí),h(x)在(0,a)和(1,+的遞增，(a,1)遞減

a>l時(shí),h(x)在(0,I)和(a,+8)遞增,(1,a)遞減

(II)若任意xW［l,e］,都有f(x)/g(x)恒成立.令h(x)=f(x)?g(x),

只需h(X)minN0即可

由⑴知，a<l時(shí),h(x)在“⑹遞增,h(x)min=h(I)=4-a>0,解得ag4.Xa<b所以aWl,

ae(e+2)e(e+2)

a2e時(shí)，h(x)在［1,e］遞減，h(x)=h(e)=e-(a+1)+3>0解得a<---------,又a^e,所以e<a<----------，l<a<e

millee+1e+1

時(shí)，h(x)在［l,a］遞減,［a,e］遞增.h(x)mil=h(a)=a-(a+l)lna-l+3=a+2-(a+l)lna>0.

因?yàn)閔(a)=1-(ina+-----j=-Ina--<0,所以h(a)在(1,e)遞減.所以h(a)>h(e)=1,則h(a)之0恒成立，所以

..,e(e+2)

l<a<e,綜上：a<--------.

e+1

3.已知函數(shù)f(x)是定義在(-8,0)^1(0,+00)上的偶函數(shù).當(dāng)x〈0時(shí)，f(x)=ln(-x)+x.

(I)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程；

(II)若關(guān)于x的不等式f(x)4a|x|+l恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

i—e

-2

【答案】(Dy=—x(IDa>e-l

e

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：(D根據(jù)f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=ln(-x)+x,可得當(dāng)x>0時(shí)，

11e

f(x)=lnx-x,f(x)=--l,求出式0)=,可得切線斜率，求出f(e)=l-e,可得切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式可得切線

xe

[nt]

方程；(n)令伙|=t,t6(0,+8),則原命題等價(jià)于lnt-twat+1,Vte(0,+8)恒成立，g|J—1<aVt6(0,+00)

恒成立，設(shè)g(t)=^」-l,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出g(t)的最大值為g(e2)=e-2j,從而可得實(shí)數(shù)a的

取值范圍為a?e-2一卜

試題-新課標(biāo)試卷解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以，

當(dāng)x>0時(shí)，則?xvO,故f(?x)=lnx?x,所以f(x)=lnx?x,

從而得到f(x)=ln|x|-|x|,xG(-oo,0)u(0,+oo),

11-e

(I)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=--l,所以f(e)=—

xe

]■e

所以在點(diǎn)(e,f(e))的切線方程為：y-f(e)=f(e)(x-e),即丫=---x

e

(ID關(guān)于x的不等式f(x)Wa|x|+l恒成立,即In岡.岡Wa|x|+1恒成立

令|x|=t,t€(0,+oo),則原命題等價(jià)于lnt-tgat+1，VtW(0,+oo)恒成立，

Int1Int1.1-Int12-Int

即一---1Wa,Vt€(0,+oo)恒成立，記g(t)=----bg(t)=——=—:~，

tttt

當(dāng)xW(0,e2)時(shí)，g'(t)>0，貝則(t)遞增；當(dāng)xW(e3+oo)時(shí)，g(t)<貝如①遞減；

所以，當(dāng)x=e?時(shí)，g(t)取極大值，也是最大值g(e?)=e2.1,

所以讓8(。加=81)=屋2.1,即實(shí)數(shù)a的范圍為a2e，_1.

4.已知函數(shù)f(x)=exsinx-cosx，g(x)=xcosx-ge'，其中e是自然常數(shù)?

(I)判斷函數(shù)y=f(x)在(0,|)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

(IDVX1eSx2e使得不等式fGJ+gWjNm成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(I)見解析；(H)(-oo,-1-^2).

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：⑴對函數(shù)求導(dǎo)，F(xiàn)(x)=eXsinx+eXcosx+sinx，得到函數(shù)f(x)在(03上單調(diào)遞

增，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到函數(shù)存在一個(gè)零點(diǎn)：(H)不等式f(xi)+g(xj?m等價(jià)于f(X])2m-g(X2),即

f(Xl)min2m-g(X2)max，對兩邊的函數(shù)分別求導(dǎo)研究單調(diào)性，求得最值得到g(X)取得最大值-也f(x)取得最小

值.1,故只需要?12m?(■物，解出即可.

解析:

(I)函數(shù)V=f(x在(0：上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1,理由如下:

因?yàn)閒(x)=e*sinx-cosx>所以f>(x)二e\inx?e"cosx?sinx.

因?yàn)?<x<；,所以f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(0曰上單調(diào)遞增.

f廣卜京>o,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理得函數(shù)y=?間。,；|上存在1個(gè)零點(diǎn)」

因?yàn)閒(0)=-1<0,

(II)因?yàn)椴坏仁絝(X])+g(xj>m等價(jià)于f(x)>m-g(xj,

所以內(nèi)中m，3X2e[oA使得不等式f(Xi)+g(X2)Nm成立，等價(jià)于

fx

(l)min2(m-豳力哂，即RxJmin>m-g(x2)max，

兀1_JTl

'lx€0,-時(shí),f(x)=exsinx+excosx+sinx>0，故f(x)在區(qū)間0,-上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=0口寸，f(x)取得最小值-L乂g*(x)=cosx-xsinx-,

冗1九i

當(dāng)x€0,5時(shí)，OWcosxWl,xsinx>0?垃￥之企,所以g*(x)v(),故函數(shù)g(x)在區(qū)間0,5上單調(diào)遞減.

因此，當(dāng)x=0時(shí)，g(x)取得最大值.仁，所以-12m?(■物，所以所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為

(-ooy-1--^2).

Inv

5.已知函數(shù)f(x)=xe*+—.

x

(I)求證：函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)；

(II)若對任意xe(o,+8),*6*-1然》1+1?恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】⑴見解析；(IDk<l.

“1-Inx

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：(I)求出f(x)=(x+l)eX+i一,先證明f(x)在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)，又

X

1

e2

^1)_e-eq,ND=e>0,所以f(x)在區(qū)間(0.1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，而f(x)>0在(1,+8)上恒成立，在(1,+oo)

ee

上無零點(diǎn)，從而可得結(jié)果；(II))設(shè)f(x)的零點(diǎn)為X。，即5eX°+上=0.原不等式可化為xe"1nx」.k，

XoX

令乂0)。7若31，可得Xo(l?t)=lnt,等式左負(fù)右正不相等，若tvl,等式左正右負(fù)不相等，只能

t=l，猙-Inx。.I.',即k《l求所?求.

Xox0

71-Inx

試題-新課標(biāo)試卷解析：(Df(x)=(x+l)eX+^^,

x2

1

易知f(x)在(0,e)上為正，因此f(x)在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)，又*1)e'-e?0,f(l)=e>0

ee

因此f(l)f⑴<0,即f(x)在區(qū)間(0.1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，

e

由題可知f(X)>0在(1,+8)上恒成立，即在(1,+8)上無零點(diǎn)，

則f(x)在(0,+8)上存在唯一零點(diǎn).

Xnx

(II)設(shè)f(x)的零點(diǎn)為XQ,HPxoe°+—=0.原不等式可化為xe」1

XoX

xInx

令g(x)=xe'1nx則Xe+T，由⑴可知g(x)在(0,%)上單調(diào)遞減,

x驅(qū))=-------

在(X。，+咐上單調(diào)遞增，故只求g(xj,,設(shè)x°eX°=t，

Xlnxxlnx0

下面分析\0°n+」0=0,設(shè)X/O=t，則」=-t，

Xoo'

可得即X。。-"

若t>L等式左負(fù)右正不相等，若t<l,等式左正右負(fù)不相等，只能t=l.

因此g(x#=竺上生2=_吧=1(即k<l求所求.

6.已知函數(shù)=g儲一如+1nx,其中aeR.

(I)討論函數(shù)/(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

6

(H)若函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)相,〃，其中加〈〃且〃?>]-,是否存在整數(shù)上使得不等式

/(〃)+Z</(m)<.f(〃)+3A+51n2恒成立？若存在，求整數(shù)Z的值；若不存在，請說明理由.(參考數(shù)

據(jù)：ln2?0.7,ln3?l.l)

【答案】(I)見解析；(H)左=0或左=一1.

丫I1

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：(I)求導(dǎo)褥一,令f—以+i=o,討論△,結(jié)合單調(diào)

性可得解；

(II)由(I)可知，w是方程尤2-必+1=0的兩根，所以根+〃=a,加-〃=1,可得

f(m)-f(n)=m2——^-j+ln/n2,令,二〃/,設(shè)g(r)=_；(/_』)+lnf可得

k<0

0<<g(Z)<--ln2,即0</(加)—/(")<±—ln2,進(jìn)而得所以｛3，求解即可.

443k+5/幾22一1九2

4

試題解析:

(I)由，(x)=%一。+!=~~"+1=0得X2-辦+1=0,A=a2-4.

xx

①當(dāng)AS0時(shí)，即-2Sa42,/'(x)20,所以〃x)為增函數(shù)，沒有極值點(diǎn).

②當(dāng)A>0時(shí),即〃<—2或0>2>由x2—ax+l=0得再=9―—±,七=土^———

若。<一2,貝|［再<巧<0,當(dāng)x>0時(shí)，x2-ax+l>0,即/''(x)>0,所以/'(x)為

增函數(shù)，沒有極值點(diǎn)，若。>2,則0<N<.，當(dāng)x變化時(shí)，〃x)與/'(x)的變化情況如下表:

(0/i)q再d(再㈤e(為+8)2

八x)“+dOp十3

單調(diào)遞增+極大值-單調(diào)遞減“極小值*單調(diào)遞增Q

所以函數(shù)〃x)有兩個(gè)極值點(diǎn)綜上可知：當(dāng)aW2時(shí)，〃力極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0;當(dāng)。>2B寸，”切極值

點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2

(II)由(I)可知，〃&〃是方程V一數(shù)+1=0的兩根，所以加+〃=々,加.〃=1.

/⑻一/(〃)=—nr-am+Inm--rr-an-\-Innj=—)一〃(/篦一九)+ln'

2(2)2V

=g(/一〃+加-〃)+］麗2=一；(>——)J+lnW?令f=/，因?yàn)楦?所以

年(利，設(shè)g(/)=T=)+ln…(』))

因?yàn)間'(，)=—5(i+-r［+4=~■——~=_2^^所以g(，)在(萬』)上為減函數(shù)，所以

g⑴<g(f)<g］)因?yàn)間⑴=0,g，)=;_］n2

33

所以0<g?)<Z—ln2,即0</(加)一/(〃)<7—1112.

因?yàn)?(n)+%</(〃?)</(〃)+3A+51n2,所以％</(/〃)-,f(")<3Z-51n2

k<Q

所以｛3，解得，-21n2?&<0因?yàn)镮n2ao.7,所以』-21n2a0.25-2x0.7=-1.15,

3k+5ln2>--ln244

4

又因?yàn)?eZ,所以左=0或&=—1

所以存在整數(shù)4=0或左=一1使得不等式/(〃)+%</(根)</(〃)+3Z+51n2恒成立.

7.設(shè)函數(shù)/(月=111￥-(辦2-bx.

(1)當(dāng)。=0,方=一1時(shí)，方程〃力=〃a在區(qū)間［11］內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(2)令/(耳=/(，+(如2+云+金(o<x<3),其圖象上任意一點(diǎn)。(拓,為)處切線的斜率女恒

成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

171

【答案】(1)/%=—+1或1Wmv—7+1；(2)a>—.

ee22

Inx*

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：⑴第⑴問，令lnx+x=〃"化為m=空+1,原方程”力=初％在區(qū)

X

間［Ie?］內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為常函數(shù)y=/n與函數(shù)g(x)=2竺+1在區(qū)間［Ie?］有且只有一個(gè)交點(diǎn)，再

X

研究利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的單調(diào)性畫圖分析得到實(shí)數(shù)m的取值范圍.(2)第(2)問，

F(x)=lnx+：XG((),3］,則有攵=?伉)=號丁43,在不€(0,3］上恒成立，再分離參數(shù)求實(shí)數(shù)

。的取值范圍.

試題-新課標(biāo)試卷解析：

(1)/(x)=lnx4-x,令+x=,化為——+1,原方程/(%)=〃a在區(qū)間［1,/］內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)

解轉(zhuǎn)化為常函數(shù)y=巾與函數(shù)g(x)=U竺+1在區(qū)間［1,e?］有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

g")=L詈，容易得到g(x)在［1,e］上單調(diào)遞增，在［e,/］上單調(diào)遞減，

，g(x)皿=g(e)=g+Lg(D=Lgd)=J+l>l，

12

:.m的取值范圍是根=—+1或.

ee

(2)F(x)=lru+-,xe(O,3］,則有人=/(%)=①U4g，在%e(O,3］上恒成立，

1,1

-'：1X。=1時(shí)，——40~+Xo取得-最大fl'l—>

Cl>—.

2

8.已知函數(shù)/(力=號@,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若當(dāng)時(shí)，“X)的最大值為g(a).

(1)求函數(shù)g(。)的解析式；

(2)若對任意的aeR,-<k<e,不等式g(a)2kz+r恒成立，求行的最大值.

【答案】⑴見解析;⑵—.

2e

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：(1)由題意，得對a分類討論，明確函數(shù)的單調(diào)性，

從而得到函數(shù)g(a)的解析式；⑵令〃(a)=g(a)—令〃(。)的最小值恒大于等于零，從而得到心

的最大值.

試題-新課標(biāo)試卷解析：

(1)由題意，得-

當(dāng)1-aW-l,即a22時(shí)，r(x)WOn/(x)在時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)，

所以/(x)最大值為g(a)=/(-l)=e(a-l).

當(dāng)T<l—a<l,即0<a<2時(shí)，當(dāng)兀6(—1,1一。)時(shí)，/,(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l-a,l)時(shí)，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

所以/(x)的最大值為g(a)=/(l")=eaT.

當(dāng)1一。21時(shí),即時(shí),.f(x)>0,/(x)在xe[—1,1]時(shí)為單調(diào)遞增函數(shù),

所以/(x)的最大值為g(a)=〃l)=L1q.

e(a-l),a>2,

綜上得g(a)={e"T,0<a<2,

1+。,八

----,a<0.

e

(2)令〃(a)=g(a)一3T.

①當(dāng)Ova<2時(shí)，/i(a)=g(a)-ka-f=ea~l-ka-t=>/(〃)=一七，

l±l//(a)=0，得a=l+lnZ,

所以當(dāng)a?O,l+lnZ)時(shí)，〃(a)<0；

當(dāng)a￡(1+In/:,2)時(shí)，//(a)>0，

故力⑷最小值為h{\+In%)=左一左(1+\nk)-t>0=>Z<-kink.

故當(dāng)!<k<e且￡<—Zdi次時(shí)，g(a)NZzz+廣恒成立.

②當(dāng)a22,且Y-ZdnZ時(shí)，〃(a)=g(a)-(3+r)=a(e-Z)-e-f.

因?yàn)閑—%>0,

所以/z(a)單調(diào)遞增，

故/z(Q)mjn=/z(2)=2(e-Z)—e-/22(e-Z)—6+左1位=e-2k-h/dnk.

令p(k)=e-2k+Idnk,

則p'(女)=1詠一IWO,

故當(dāng)上時(shí)，p(Z)為減函數(shù)，

所以p[k}>p(e)，

又p(e)=O,

所以當(dāng)—<&<e時(shí)，>0,

即%(a)NO恒成立.

③當(dāng)aWO,且「〈TllnZ時(shí)，

〃(a)=g(a)—(kci+/)=〃(—%)H-----1,

因?yàn)椤DZ<0，

e

所以/2(。)單調(diào)遞減，

故〃(Q)min=〃(0)=L—.

令〃2(Z)=，+ZlnZ,

e

則(2)=1+In左20,

所以當(dāng)Leg,e1寸，〃僅)為增函數(shù)，

所以/”(左)>，"(』］=0，

所以/i(a)>0,即〃(a)20.

綜上可得當(dāng)-<k<e時(shí)，“fW-Idnk”是“g(a)>ka+t成立”的充要條件.

此時(shí)tk<-k2\nk.

令q(Z)=一方限，

則/㈤=一20成-％="21限+1),

令/(左)=0,得％=”.

故當(dāng)正e-igl時(shí)，夕”)>0；

\/

當(dāng)k￡e2,e時(shí),q")vO,

7

(1

所以的最大值為4e2,

IJ2e

1i_1

當(dāng)且僅當(dāng)k=e2,r=-0nZ=2e2時(shí)，取等號，

2

故比的最大值為

2e

9.已知函數(shù)/(x)=lnx-a(x2-l)(aeR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x?l時(shí)，不等式/(x)20恒成立，試求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(0,”)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(同在區(qū)間

上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減(2)?<0}

?[02

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：⑴函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,”).f'(x')=-^-2ax=.對

分類討論，明確函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)工?1時(shí)，不等式/(力20恒成立，即求/(%)的最小值大于等于零即可.

試題解析：

(D函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8).

/,(x)=--2ax=1-2aY.

XX

①。W0時(shí)，/(x)>0,故〃X)在區(qū)間(0,m)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)a>0時(shí)，令/'(x)>0,得0<x<

令/''(x)<0,得x>

上單調(diào)遞增，在區(qū)間j忌上上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)，(x)在區(qū)間

綜上所述，當(dāng)aSO時(shí)，函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增

當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)“X)在區(qū)間0,上單調(diào)遞增，在區(qū)間----,4-oo上單調(diào)遞減.

2a)

(2)當(dāng)aWO時(shí)，由(1),知函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［1,+8)匕單調(diào)遞增,

所以“X)2/⑴=0,所以恒成立，即aWO符合題意.

法一:當(dāng)a>0時(shí)，令/'(力=4-2ax=0,

解得：x=

令=1,解得4=—

2

①當(dāng)0<4,時(shí),1

>1,

2a

后,+ocj上單調(diào)遞減,

所以結(jié)合（1）,知函數(shù)〃x）在區(qū)間?L上單調(diào)遞增，在區(qū)間

目噌卜吟-楣=-lna--+a.

A(a)=-lna--4-a,

a

1.)=—工+3+1="'-<+1>0恒成立,

ada

又0<a<?,

2

所以雙。）在區(qū)間|0”上單調(diào)遞熠,

,使得〃(a)</?(g113

所以存在=-ln--2+-=ln2——<0,

222

即存在4€（0,工），使得f

\2）

即當(dāng)0<4<1時(shí)，不符合題意.

2

②當(dāng)時(shí),<1,

2

即r（力4o在區(qū)間I,+8）上恒成立，

所以函數(shù)/（X）在區(qū)叫1,+00）上單調(diào)遞減,

所以/(x)W/(l)=0,

顯然a2工不符合題意.

2

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為{4a40}.

法二：當(dāng)a〉0時(shí)，令g（x）=lnx-（x-l）,尤>1,

g，(x)=B_l<0=>g(x)<g6=0,

所以lor<x-l,MKh=max|l,--ij,

故在9,+oo)上，

/(x)=lar-a(x2-1)<(x-l)-a(x2-l)=(x-l)[l-a(x+l)]<(x-l)1-a^—-1+l^j=0,

不合題意，舍去.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{《aW0}.

10.己知函數(shù)/(x)=Inr.

(I)設(shè)x=l是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，求證：ex-e\wc>e；

(II)設(shè)x=x0是函數(shù)〃x)的極值點(diǎn)，且/(x)N0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(其中正

【答案】⑴見解析;(2)[—a—Ina,+8).

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：(1)由x=l是函數(shù)/(X)的極值點(diǎn)可得m=—1,只要證明/1(x)il即可;

(2))/(x)=e』—L(x>0),設(shè)g(x)=*m—L(x>0),則g[x)=*"+』>0

XXX

所以g(x)即/'(尤)在(。,+8)上單調(diào)遞增，由于X=X。是函數(shù)/(X)的極值點(diǎn)，所以X=X。是r(X)在

(0,+8)上的唯一零點(diǎn)，所以即/+機(jī)=-1叫，/(X)NO恒成立,

即/(X)的最小值恒大于等于零即可.

試題-新課標(biāo)試卷解析：

(I)證明：/^)=^+,),--(%>0)

因?yàn)閤=l是函數(shù)“X)的極值點(diǎn)，所以/'(1)=*"'—1=0,解得加=一1

經(jīng)檢驗(yàn)，加=-1符合題意

則廣(x)=e*T_、(x>0),/(x)=ex-'-\nx(x>0)

當(dāng)0<%<1時(shí)，0<ex-'<e°=l,所以/'(x)<0：

當(dāng)x>l時(shí)，ex-'>e°=l,-l<--<0,所以/'(x)>0

所以/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(L+8)上單調(diào)遞增

所以/"L="1)=1,從而/(x)21,即JlnxNl,所以e*-elnxNe

(II)/(x)="+”—2(x>0),設(shè)g(x)=e""—，(x>0),則8，(力=靖+，"+4>0

XXX

所以g(X)即/'(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增

由于彳=%是函數(shù)“X)的極值點(diǎn)，所以x=x0是/(力在(0,+8)上的唯一零點(diǎn)

所以*+"'=4-,則lne""+"'=In,即x0+m=-lrw0

%%

當(dāng)。<x</時(shí),r(x)<<($)=o；當(dāng)x>x0時(shí),r(x)>/‘(不)=()

所以函數(shù).f(x)在(X,/)上單調(diào)遞減，在(%+8)上單調(diào)遞增，

從而函數(shù)/(X)在X=/處取得最小值

Xo+

所以/(JC)>/(x0)=e"'-lnx0=—+(x0+/M)=x0+—+m

元0%

因?yàn)?(x)20恒成立，所以x0+-!-+mN0

xo

所以與+'2-m=x0+ln￥0,即2lnx0,也即xoliu:o<1=alna

%與

令7z(x)=xlnx(x>0),則有〃(％)<1=h(a)

因?yàn)楹瘮?shù)〃(x)=xlnx在(o,：)單調(diào)遞減，在(J,+8)上單調(diào)遞增，

且當(dāng)龍￡(0,1)時(shí)，/i(x)<0；當(dāng)xw(l,+oo)時(shí)，/z(x)>0,所以Xo<4

從而一毛之一。，-lii￥0>-\na,于是一玉)一1叫之一。一In。

所以加之一。一1!1。，故加的取值范圍為［一4一1皿,+8)

11.已知函數(shù)/(x)=jdnx-Z(A：—l),ksR

(1)當(dāng)&=1時(shí)，求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(1,+8)上有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)Z的取值范圍；

(3)是否存在正整數(shù)%,使得/(x)+x>0在xe(l,+o。)上恒成立？若存在，求出％的最大值；若不存在,

說明理由.

【答案】⑴見解析;⑵(1,+8);(3)見解析.

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：(1)當(dāng)&=1時(shí)，得到〃x),求得/'(X),利用/'(x)>0和_f(x)<0,

即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)由/'(x)=hw+l—左，分&W1和2>1兩種情況分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合函數(shù)的

圖象，即可求解實(shí)數(shù)上的取值范圍；

(3)假設(shè)存在正整數(shù)左，使得/(x)+x>0在x>l上恒成立，分類參數(shù)得出女<；對x>1恒成立,

設(shè)函數(shù)g(x)=生竺土土，求得g'(x),求得函數(shù)g(x)單調(diào)性與極值，即可求解實(shí)數(shù)2的最大值.

試題?新課標(biāo)試卷解析：

(1)當(dāng)1=1時(shí),/(x)=xlnx—x+1,/,(x)=lnx.

令/'(x)>0,解得x>l,令/'(x)<0,解得0<x<l,

.../(X)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)減區(qū)間為(0,1).

(2)/,(x)=lnx+l—A:,

當(dāng)左?1時(shí)，由%>i,知r(x)>o,

所以，/(X)在(1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，且圖象不間斷，

又”1)=(),.?.當(dāng)X>1時(shí)，/(%)>/(1)=0,

二函數(shù)y=在區(qū)間(1,+8)上沒有零點(diǎn)，不合題意.

當(dāng)人>1時(shí)，由/'(x)=0,解得x=ei>l,

若則廣(x)<0,故/(x)在(1,/T)上是單調(diào)減函數(shù)，

若x>e*T,則/'(x)>0,故/(x)在卜匕+8)上是單調(diào)增函數(shù)，

.?.當(dāng)l<x<e&T時(shí)，/(%)</(1)=0,

又???/9)=加"—左(婕-1)=左>0,“X)在(1,+8)上的圖象不間斷,

...函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(l,+oo)上有1個(gè)零點(diǎn)，符合題意.

綜上所述，k的取值范圍為(1,+8).

(3)假設(shè)存在正整數(shù)3使得了(尤)+%>0在x>l上恒成立,

rlnV4-X

則由x>l知x—l>0,從而&<對％>1恒成立(*)

X-1

、，/、xlnx+xx-2-lnx

記g(x)=1~^得g'(x)

(if

設(shè)〃(x)=x-2-lnr,“(x)=l-工-->0,

在(1,+8)是單調(diào)增函數(shù),

又力(3)=1-如3<0,〃(4)=2—ln4)0,/z(x)在［3,4］上圖象是不間斷的,

,存在唯一的實(shí)數(shù)不e(3,4),使得〃(毛)=0,

?,?當(dāng)1<犬<與時(shí)，J(二)<0,g[x)v0,g(x)在(1,M)上遞減,

當(dāng)玉)時(shí),/?(%)>0,g'(x)>0,g(x)在仇上遞增，

.?.當(dāng)x=x0時(shí)，g(x)有極小值，即為最小值，g(x0)=他”%，

玉)一1

又〃一2—lnx()=0,lnx(,=/-2,...g(x0)=x0,

由(*)知，k<x0,又不?3,4),左eN*,，上的最大值為3,

即存在最大的正整數(shù)左=3,使得/(x)+x>0住X€(l,+8)上恒成立.

12.已知函數(shù)/(X)=G?_樂+1nx,(a,bGR).

⑴若。=1,8=3,求函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)若8=0時(shí)，不等式/(x)W()在［1,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)當(dāng)a=l,0〉1^,記函數(shù)/'(X)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)的兩個(gè)零點(diǎn)是X1和々(玉<々)，求證:

1O

【答案】(1)(2)a<——;(3)見解析.

2e

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：(I)代入a=l,力=3時(shí)，得到了(%),求得/(力，即可求解函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間；

(2)把不等式/(x)W0在［l,+oo)上恒成立，轉(zhuǎn)化為aW—坐在區(qū)間［l,+oo)上恒成立，令〃(x)=-號，

利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.

⑶方法一：求得了'(X)，得須，巧是方程2/一笈+1=0的兩個(gè)根，即無尼=耳

化簡/(王)一)=￥—一'Tn(2石),/e(2,+oo),令夕⑺=/(x,)-/(x2),利用導(dǎo)數(shù)求得。⑺的

?■

最小值，即可證明結(jié)論；

試題解析：

(1)由題意：x>0,a=l,b=3時(shí)，/(X)=x*—3x+lnx

2x2-3x+l_(2x-l)(x-l)

所以尸(x)=2x—3+—

x

令/得七">0,因?yàn)閤>0,所以0cx或x>l

x2

所以『(x)的單調(diào)城區(qū)間為

(2)〃=0時(shí)，/(x)=ax2+lnx,

不等式/(x)<0在［1,M)上恒成立即為：a<-坐在區(qū)間［1,4^0)上恒成立

令〃(x)=—華，則〃(x)=21n：T,令〃(x)=0得：x=&,

因?yàn)闀r(shí)，〃<x)<0,xw(&,+oo)時(shí)，/z'(x)>0,

所以/?(x)在匕單調(diào)遞減，在(&,+00)上單調(diào)遞增

所以〃(X)而“=/?(")=——，所以aK--L.

(3)方法一：因?yàn)閍=l,所以〃x)=x2-bx+lnx,從而/'(》)=二----:——(x>0)

X

由題意知，毛，巧是方程ZV—bx+lnO的兩個(gè)根，故毛毛=；.

記g(x)=2x，-bx+1,則gj：產(chǎn)/■>0,因?yàn)榉剿詆；[一、i,0

fin,

g(2)=9-2b<0,所以再e”1j，々e(Z+oo),且如=2*+1(i=1,2).

/(再)-〃電)=?-宕)-(如-%)+ln*=-(x；-蜀+ln工

2Xj

因?yàn)樵偎?(再)一〃電)=君一，7-山|2引，Xj€(Z-H?).

令，=2^e(8,+oo),<p(t)=f(x1)-f(x2)=^--lnt.

2,2t

因?yàn)?'(。==^之0,所以0⑴在(&+00)單調(diào)遞熠，

所以°(r)>°(8)=￡-31n2,即7?(再)-f(w)>￡-31n2.

1616

2Y2_bx+1

方法二：因?yàn)椤?1,所以/(尢)=12一法+lnx,從而/(%)=-----------(x>0).

由題意知，/，3是方程2f—法+1=0的兩個(gè)根.記g(x)=2x2-bx+l,則g[3)=Qo,

因?yàn)樗?g(2)=9—28<0,

所以不€(、,：)，x2e(2,+oo),且/(x)在［%,%］上為減函數(shù).

所以/(玉)一/(%2)>/(；)-/(2)=需_q+ln；)—(4_2人+ln2)=/一卷一31112.

因?yàn)閎>2,故)>工.2_國_31n2=國_31n2.

2八"八,421616

13.已知函數(shù)“X)=(2—a)lnx+，+2ox(a<0).

X

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

（2）若對任意的〃￡（一3,-2）,%，％6[1,3],恒有（m+ln3）a_21n3>-〃w）|成立，求實(shí)數(shù)相

的取值范圍.

13

【答案】（1）見解析；（2）m<---.

3

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：（1）當(dāng)a<0時(shí)，求導(dǎo)，對導(dǎo)數(shù)因式分解，比較兩根的大小，確定函數(shù)f（x）

單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意aG（-3,-2）及X”X2G[1,3]>恒有（m+ln3）a-21n3>|f（xi）-f3）|成立,求函數(shù)f（x）

的最大值和最小值，解不等式，可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

試題-新課標(biāo)試卷解析：

/、小/\2-6!1clax"+（2——1

⑴尸（x=-------7+2”-------，

XXX

當(dāng)a<-2時(shí)，-4<!，

a2

令/'（x）<0得0<x<—!?或無〉

a2

令/'（工）>0得一

當(dāng)一2<a<0時(shí)，得—>—,

a2

令/'（x）<0得0<x<，或x>-L,

2a

令/'（x）>0得g<x<—L；

當(dāng)a=—2時(shí)，/'（x）=-（2v-lr<0,

的遞減區(qū)間為（0,—和（；,+8）,遞增區(qū)間為（一：,；

綜上所述，當(dāng)。<一2時(shí)f（x）

當(dāng)”=一2時(shí)，"X）在（0,+8）單調(diào)遞減;